Aplicaciones reales de los espacios vectoriales

En este articulo veremos algunas de las aplicaciones reales más relevantes de los espacios vectoriales. Así que, empezaré por la fuerzas, seguiré con los colores, pasaré a hacer unos comentarios sobre las imágenes vectoriales y, finalmente, terminaré con otras magnitudes de la física consideradas como vectoriales.

No debemos confundir todo lo multidimensional en un vector como se explica al final del post dentro de algún ejemplo. Debemos tener clara la diferencia entre vector y escalar. Los vectores forman un grupo abeliano el cual suele ser el producto cartesiano del cuerpo de los reales por sí mismo junto con su suma. Los escalares, en cambio, son solo el cuerpo de los reales.

Las fuerzas

Las fuerzas forman un espacio vectorial como dicen los físicos, pero tenemos que ir un poco más allá y verlo por nuestro propio razonamiento. A continuación, expongo un razonamiento que demuestra que el conjunto de las fuerzas aplicadas en un punto son un espacio vectorial. En este post anterior defino el concepto de espacio vectorial de forma axiomática.

Las fuerzas son un grupo abeliano

En el conjunto de fuerzas que parten desde un mismo punto, tenemos que toda fuerza se puede sumar a cualquier otra y da lugar a una nueva fuerza. Con la afirmación anterior tenemos definida una ley de composición interna, es decir, una suma. También debe cumplir las siguientes propiedades.

  • Asociativa. Dos fuerzas sumadas a una tercera fuerza es igual a la aplicación de las tres fuerzas a la vez.
  • Elemento neutro. La inacción es la fuerza 0.
  • Simétrico. Una fuerza puede contrarrestar otra fuerza, lo que da lugar a una resta o a la fuerza simétrica.
  • Abeliano. Las fuerzas son conmutativas.

Por tanto, las fuerzas forman un grupo abeliano.

Las fuerzas se pueden alterar en proporción de un real

Para seguir viendo que el conjunto de fuerzas que parte de un punto forma un espacio vectorial real debemos tener un producto. Como sabemos que una fuerza se puede multiplicar por un número real y, con ello, obtener otra fuerza, tenemos un producto que puede cumplir las demás propiedades. Veamos.

  • Toda fuerza se suele caracterizar por su dirección, sentido y su módulo o cantidad, al igual que una flecha. Así al multiplicar una fuerza por un real lo único que altera es la cantidad de fuerza o su módulo, manteniendo fijas la dirección y el sentido de ella. Por tanto, es otra fuerza.
  • Toda fuerza multiplicada por uno no se altera.
  • Toda unión de fuerzas multiplicada por un escalar da como resultado la misma fuerza que resulta de multiplicar cada fuerza por el escalar y sumadas, posteriormente.
  • Del mismo modo sucede si tenemos dos escalares sumándose y multiplicando un vector.
  • Así sucede lo mismo cuando se da que los sumados son multiplicadores.

Con todo lo expuesto en este apartado sobre las fuerzas, queda demostrado que son un espacio vectorial. Así podemos escribir en forma de vector, toda aquella fuerza que ejerzamos en un mismo punto. Si ejercemos la fuerza en distintos puntos sería otro cantar.

Los colores según los físicos

Después de un largo proceso deductivo los físicos obtienen que los colores forman un espacio vectorial en los cuales solo es visible o conocido por nosotros los colores del cubo RGB, que ocupan el espacio formado por [0,1]³. Lee mi crítica en Los colores no son RGB ni HSV.

Las imágenes vectoriales contienen vectores

Reduciendo todo lo posible con la pérdida mínima de detalles, pero sin poder evitar ambigüedades se puede decir que una imagen vectorial está formada por fórmulas matemáticas. Estas suelen expresarse en expresiones polinómicas. Como vimos, los polinomios son vectores en su dimensión.

Por ejemplo, una recta en el plano, se puede expresar como un polinomio de grado uno. Otro no tan sencillo sería una circunferencia; una de ellas se puede expresar como x² + y² = 1, que es lo mismo que x² + y² – 1 = 0. Esto es un polinomio de grado dos y de dos variables. Con lo cual es un vector matemático.

Por tanto, hasta donde sé una imagen vectorial contiene vectores matemáticos, pero no me atrevo a decir que toda ella sea un vector, ya que no conozco más detalles de este tipo de imágenes. Ello da pie a que al ampliar la imagen no se vea pixelada o mal definida.

Las demás magnitudes vectoriales de la física

Los físicos diferencian las magnitudes en dos tipos: las escalares y las vectoriales. Siguiendo la lógica vista al principio, las magnitudes escalares son aquellas que se pueden expresar con el cuerpo de los reales. Ello da paso a pensar que todas las magnitudes vectoriales forman un grupo abeliano (aunque no sirva cualquier grupo abeliano) de manera que llega a ser un espacio vectorial. De hecho los físicos siempre usan a \(\left(\mathbb{R}^{n},+\right)\) para sus magnitudes de más de una dimensión.

Así, como hemos visto, las fuerzas son un ejemplo claro. Pero tenemos más como el campo magnético y el campo eléctrico, la velocidad y la aceleración, la tensión eléctrica o el voltaje, etc. Para todos estos ejemplos se puede aplicar el razonamiento anterior de las fuerzas. En mi modo de trabajar, así es como creo que se deberían usar las matemáticas.

Advertencia

Además de los ejemplos expuestos tenemos que algunos autores consideran la posición como una magnitud vectorial. Personalmente, discrepo encarecidamente en que sea una magnitud porque estas no se pueden sumar. Una magnitud debe tener la posibilidad de suma. Así, puedo sumar la velocidad y obtengo otra, lo mismo sucede con la temperatura, la aceleración, los campos magnéticos y un gran etc. Pero ¿qué posición obtengo de sumar dos de ellas? La respuesta a esta pregunta no la encontrarás en las matemáticas actuales.

Creo que la confusión viene de la siguiente coincidencia que explico seguidamente. Las posiciones espaciales generalmente vienen representadas por el conjunto \(\mathbb{R}^{3}\) mientras que las demás magnitudes vectoriales de la física se usa \(\left(\mathbb{R}^{3},+\right)\), el cual es un espacio vectorial real. Como vemos es el mismo conjunto, pero uno tiene definida una suma y el otro no. Esta diferencia la debemos respetar o acabaremos diciendo que todos los frutos rojos saben a tomate, por ejemplo.

Conclusiones

Hemos visto algunas de las aplicaciones reales más relevantes de los espacios vectoriales. Unos conocidos como las fuerzas, la velocidad, la aceleración y otros no tan conocidos como los colores. Además, hemos entendido un poco por qué se llaman imágenes vectoriales. A la vez os he mostrado una forma para argumentar que un conjunto de entes físicos se comporta como un conjunto de entes matemáticos. Fíjate que al decir “se comporta” estoy incluyendo la suma que es lo que define su comportamiento. Por último, hemos visto un ente que se confunde con un vector por su similitud. Tal vez otro día comente porque la densidad carece de dimensión.

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1 comentario en «Aplicaciones reales de los espacios vectoriales»

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