¿Cómo saber si un conjunto es un espacio vectorial?

Imaginemos que tenemos un conjunto de elementos reales y nos preguntamos, si es o no un espacio vectorial. Incluyo en los elementos reales a cualquier objeto científico además de los valores que puedan tomar sus propiedades. En caso que sean elementos matemáticos el resto del artículo nos servirá de igual modo. Sin más paso a responder la pregunta.

Técnica básica

Debido a que las matemáticas se basan en el método axiomático para definir sus objetos de estudio, tenemos una técnica común para todos ellos. Por ello, cuando queremos saber si un conjunto es un espacio vectorial se trata de demostrar que se cumplen los axiomas que los definen.

Así que debemos demostrar que:

  1. El conjunto tiene una operación interna o mejor dicho una ley de composición interna o suma.
  2. El conjunto con dicha ley u operación cumple los axiomas de grupo abeliano:
    1. Asociativa
    2. Elemento neutro
    3. Simétrico
    4. Conmutativa
  3. El conjunto dispone de una operación externa o ley de composición externa para un cuerpo en concreto, K. A la operación externa lo llamaremos producto.
  4. El conjunto junto las dos leyes anteriores, la interna y la externa o la suma y el producto, debe cumplir las siguientes condiciones:
    1. Distributiva de la suma de escalares respecto el producto anterior.
    2. Distributiva del producto respecto la suma de vectores.
    3. Pseudo asociativa
    4. El elemento neutro multiplicativo del cuerpo K es también “neutro” en la operación externa.

Aquí termina la técnica que es útil tanto para otros conjuntos (sean de entes reales o de entes matemáticos). En el caso que queramos demostrar que es un ente matemático diferente deberemos tomar otros axiomas.

Ejemplo físico para saber si un conjunto es un espacio vectorial

Un ejemplo fácil de entes reales que forman un espacio vectorial son las fuerzas (físicas) aplicadas en un mismo punto. Para ello vamos a identificar la operación interna (LCI). Luego veremos que es un grupo abeliano, elegiremos un cuerpo adecuado, definiremos un producto (exterior) y finalmente, veremos los últimos axiomas.

Demostración intuitiva

Se observa fácilmente que dadas dos fuerzas aplicadas a un mismo punto, el resultado es el mismo que si aplicásemos cierta fuerza diferente (generalmente). La tercera fuerza la llamaremos fuerza suma. Se cree que se cumple para todo par de fuerzas. Así que, ya tenemos un conjunto de fuerzas que se suman, es decir, hemos encontrado la ley de composición interna.

A continuación, debemos seguir en física para demostrar que se cumplen los axiomas de grupo abeliano: asociativa, elemento neutro, simétrico y conmutativa. Si alguna de las propiedades anteriores no se puede demostrar y se cree firmemente que es cierto, sugiero establecer la propiedad como principio científico.

Con lo dicho ya tenemos mucho, pero aún nos falta trabajo por realizar como es: identificar el cuerpo, definir o descubrir la ley externa y demostrar que se cumplen propiedades necesarias. El cuerpo en cuestión son los números reales. ¿Por qué? Esto se verá más adelante de manera parcial. Puedo decir que aquí hay todo un trabajo empírico de búsqueda el cual no voy a desarrollar, ya que es más propio de la física y lo desconozco. Sin embargo, sé la respuesta porque se estudia antes e llegar a la universidad.

Seguimos. Dada una fuerza, F, y un numero real, k, puedo encontrar otra fuerza, G, que sea G = k · F, es decir, G es k veces más grande (o pequeño) proporcionalmente que F. Así que hemos encontrado una ley de composición externa entre el conjunto de fuerzas y el cuerpo de los reales.

A continuación, debemos seguir en física para demostrar que se cumplen el resto de axiomas propios de un espacio vectorial. Resulta fácil demostrar a nivel intuitivo que se cumple: las distributivas, la pseudo asociativa y que 1 multiplicado por cualquier fuerza no la altera, es decir, los últimos 4 axiomas.

Esta es la explicación parcial a la que hacía referencia para encontrar el cuerpo adecuado ya que, en caso que no se hubiesen cumplido los axiomas anteriores, deberíamos seguir buscando entre los cuerpos disponibles en matemáticas. Así hemos llegado a que nuestro cuerpo para este caso son los reales.

La demostración es adecuada para el bachillerato donde se trabaja bastante a nivel intuitivo y guiado por el profesor. Para una demostración más rigurosa y científica se debe acceder al nivel universitario. Esto escapa para el propósito de este artículo que solo pretende mostrar de manera práctica para qué sirven los axiomas y para qué sirven las matemáticas.

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