¿Cuál es la propiedad conmutativa de un conjunto?

En primer lugar, para responder a esta pregunta, quiero decir que la propiedad conmutativa se le atribuye a algunas operaciones matemáticas dentro de un conjunto numérico. En segundo lugar, una operación matemática recibe el nombre de ley de composición interna para englobar a todo tipo de operación interna y distinguirlas de otras como las externas. Para estas últimas operaciones disponemos el concepto de leyes de composición externa.

La propiedad conmutativa es aquella que nos ofrece esta frase tan conocida: «el orden de los factores no altera el producto». Pero esto no es una definición rigurosa, más bien es una pista para acordarse. La definición de abajo expresa de manera formal cuál es la propiedad conmutativa.

Nota: Agradecimientos a Thomas Griggs por su foto (superior) en Unsplash.

Definición

Sean a, b dos elementos cualesquiera pertenecientes al conjunto C, entonces si se cumple a + b = b + a, diremos que la suma, +, cumple la conmutativa o que el conjunto C junto con la operación interna + es abeliano (= conmutativo).

Ejemplos de leyes conmutativas

En lo que sigue veremos unos ejemplos de leyes de composición interna que cumplen la conmutativa.

  • En el conjunto de los naturales, la suma es conmutativa: n + m = m + n para todo n y m natural.
  • En el conjunto de los naturales, la multiplicación es conmutativa: n · m = m · n para todo n y m natural.
  • En el conjunto de los racionales, la suma es conmutativo: p + q = q + p para todo p y q racional.

Mientras que las dos primeras no se demuestra por su dificultad, la tercera es más factible de demostrar a partir de las dos primeras. Veamos una demostración.

Si p y q son racionales, entonces existen un a, b , c, d naturales que a/b = p y c/d = q. Sabemos que se cumple que a/b + c/d =

p + q = a/b + c/d = (a·d + c·b)/b·d = conmutativa de + en N = (c·b + a·d)/b·d = conmutativa de · en N = (c·b + a·d)/d·b = c/d + a/b = q + p

Ejemplos de leyes no conmutativas

También es interesante conocer ejemplos en donde no se cumple la conmutativa.

  • La resta en los conjuntos de los enteros
  • La división en el conjunto de los racionales
  • Por extensión, las mismas leyes (operaciones) en conjuntos que contengan a los anteriores como los reales o los complejos.

Nota histórica: Se toma como sinónimo de conmutativo el término abeliano en honor a Niels Henrik Abel.

Bibliografía

Todo ello se ve con más detalle en álgebra. Un libro sobre estructuras algebraicas es el siguiente:

  • Olivert Pellicer, Joaquín. Estructuras de álgebra multilineal. UNIVERSITAT DE VALÈNCIA, 2014.

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