Espacio afín

El espacio donde habitamos suele ser llamado espacio afín (euclídeo) en geometría. No obstante, también hay otro, el espacio de Riemann, que se utiliza cuando estudiamos el universo. El espacio afín euclidiano es un espacio plano, no curvo, mientras que el espacio de Riemann es un espacio curvo. Se puede decir que ambos son útiles en su campo, es decir, si vamos a estudiar el espacio de forma local, el afín nos simplificará los cálculos con una precisión suficiente. Pero, si vamos a trabajar con grandes distancias, necesitamos el de Riemann.

Definición

Un espacio afín , \(A \neq {{\emptyset}}\), sobre un cuerpo \(\textit{K}\) es una terna \((A,E,\psi)\) donde \(A\) es un conjunto, \(E\) es un espacio vectorial y \(\psi\) es una aplicación que cumplen:

  1. \(\psi_{p}:A\longrightarrow E,\:q\mapsto\psi(p,q)\) es biyectiva \(\forall p\in A\).
  2. \(\psi(p,q)+\psi(q,r)=\psi(p,r)\) se cumple \(\forall p,q,r\in A\).

Definición extraída de [Castellet_et_al_2016] página 184.

Explicación intuitiva

Un espacio es un ente lleno de lugares en los cuales podemos permanecer y movernos o desplazarnos. Si estamos de acuerdo con la afirmación anterior, tenemos media parte del trabajo. Si tomo el total lugares en los que podemos habitar, tendré un conjunto que llamaré A, distinto al vacío. Además, se exige el desplazamiento, entonces, tendré el conjunto de movimientos o «saltos» que se permiten o son posibles. Finalmente, el desplazamiento junto con los lugares deberán cumplir unas normas o condiciones que vienen definidas por \(\psi\).

Esta es la definición intuitiva de espacio afín. La definición matemática es mucho más rigurosa. Ella no se restringe a espacios donde podemos habitar. Va más allá y tiene en cuenta algunos lugares donde se producen movimientos. Es decir, un espacio afín no solo se identifica con el espacio físico.