Dependencia lineal de vectores

En esta entrada veremos la definición de sistema linealmente independiente y el de sistema linealmente dependiente en un espacio vectorial o dicho de otro modo cuando hay una dependencia lineal entre los vectores. Para ello necesitamos conocer los axiomas de los espacios vectoriales y la definición de combinación lineal. Como sugieren las palabras, cuando un sistema no es independiente será dependiente desde la perspectiva lineal.

Así tenemos que el concepto de combinación lineal nos permite dividir todos los conjuntos de vectores en dos grandes bloques. Esto es gracias al vector nulo, es decir, el neutro para la suma en \(V\). Pasemos ya a ver la definiciones.

Definición de sistema linealmente independiente

Diremos (o se dice) que un conjunto de vectores forman un sistema linealmente independientes cuando el vector nulo solo se obtiene como combinación lineal multiplicando los vectores del sistema por 0. Dicho de manera más formal y sencilla:

Sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, sean \(v_1 , v_2 , … , v_n ∈ V^{*}\). Los vectores anteriores son un sistema linealmente independiente si:

\(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=\overrightarrow{0}\rightarrow\alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{n}=0\) donde \(\alpha_{1}\in K\)

Definición de sistema linealmente dependiente

Como ya se ha dicho anteriormente cuando no es independiente es dependiente. Esto es, cuando el vector nulo es combinación lineal del sistema de vectores.

Formalmente tendríamos que, tomando lo dicho anteriormente, cuando existe al menos un \(\alpha_{i}\neq0\), entonces es dependiente.

Notas

  1. El asterisco como superíndice de un conjunto se usa para designar que el vector nulo o, más genéricamente, el elemento neutro se excluye del conjunto.
  2. Recordemos que en secundaria llamábamos función lineal a aquella que se expresa como un polinomio de grado uno sin la constante. Si pensamos en un polinomio de varias variables, pero de grado uno, seguiremos en el concepto de linealidad matemática. Esta vez sucede lo mismo al pasarlo a los vectores, es decir, si en vez de x, y, z y las demás variables usamos los vectores tenemos la misma idea.
  3. En esta página puedes consultar las referencias.

Dime si te ha gustado la entrada pulsando el botón de arriba.

Deja un comentario