Desarrollo formal de la suma de cuadriláteros II (Anexo)

En los últimos apartados de la quinta entrega describo una suma de cuadriláteros cuyos vértices forman parte de la circunferencia de radio uno. Veamos que este conjunto existe y cuales son sus peculiaridades.

Sea \(\left[\left(x,y\right)\right]\in{\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\), entonces defino su unitario a \(\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\), donde\(\left\Vert (x,y)\right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}}\). Al conjunto de todos los cuadriláteros unitarios los representaré por la letra\(\mathcal{U}\).

Creo que todos coincidiremos en afirmar que para cada elemento de \({\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\) hay uno y solo uno que es unitario. A partir de ahora me quedo con este.

Resulta fácil ver que la definición de unitario no depende del elemento elegido, ya que se eleva al cuadrado. Sin embargo, estos elemento no son una «sub-estructura» algebraica de la anterior debido a que su suma deja de ser unitaria.

La suma de unitarios según la suma anterior no es una L.C.I. en\(\mathcal{U}\).

Sea\(\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\in\mathcal{U}\), entonces:

\(\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\oplus\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}+\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}+\left(\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}}\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{2\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}},\sqrt{2\left(\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}}\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{2}\frac{\left|x\right|}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\sqrt{2}\frac{\left|y\right|}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\sqrt{2}\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\)
Por tanto tenemos que \(\sqrt{2}\left\Vert \left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right\Vert =\sqrt{2}\).

Así concluyo que la suma no pertenece a \(\mathcal{U}\).

Delante este inconveniente no he encontrado otro remedio que el definir una nueva suma la cual sí se mantenga dentro de la circunferencia unitaria.

Sea \(\left[\left(\frac{x_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert },\frac{y_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert }\right)\right],\left[\left(\frac{x_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert },\frac{y_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert }\right)\right]\mathcal{\in U}\), defino una suma entre ellos como sigue:

\(\begin{array}{cccccc}
\boxplus: & \mathcal{U} & \times & \mathcal{U} & \longrightarrow & \mathcal{U}\\
& ([(x_{1},y_{1})] & , & [(x_{2},y_{2})]) & \longmapsto & \left[\left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right]
\end{array}\)

\(\left(\mathcal{U},\boxplus\right)\) es una estructura algebraica no asociativa.

Veamos primero que \(\boxplus\) es una L.C.I.

Sea \(\left[\left(\frac{x_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert },\frac{y_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert }\right)\right],\left[\left(\frac{x_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert },\frac{y_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert }\right)\right]\mathcal{\in U}\), entonces es cierto que \(\left[\left(\frac{x_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert },\frac{y_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{x_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert },\frac{y_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert }\right)\right]\in\mathcal{U}\).

Veamos que\(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right\Vert =1\).

\(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right\Vert = \\
\sqrt{\left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)^{2}} = \\
=\sqrt{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}+\frac{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}} = 1\)

Por tanto, sí se verifica que la suma es unitaria y por ello es una L.C.I.

En segundo lugar veamos que no cumple la asociativa. Para ello me bastará con un contraejemplo.

Veamos que \(\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right],\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right],\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]\in\mathcal{U}\).

\(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right\Vert =\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}=1\) \(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right\Vert =\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}=1\) \(\left\Vert \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\Vert =\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}=1\)

Así tenemos tres elementos del mismo conjunto,ie, de \(\mathcal{U}\).

\(\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\boxplus\left(\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]\right) = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right] \) \(\left(\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right]\right)\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}},\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}},\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}}\right)\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{5}{4}},\sqrt{\frac{3}{4}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{5}{4}},\sqrt{\frac{3}{4}}\right)\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{3}{4}}},\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{3}{4}}}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{\sqrt{2}}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{40}}{8},\frac{\sqrt{24}}{8}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{40}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{40}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{24}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{24}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{40}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{24}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{40}{64}+\frac{1}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{40}{64}+\frac{1}{4}},\sqrt{\frac{24}{64}+\frac{3}{4}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{24}{64}+\frac{3}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{40}{64}+\frac{1}{4}},\sqrt{\frac{24}{64}+\frac{3}{4}}\right)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{41}{68}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{41}{68}},\sqrt{\frac{27}{68}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{27}{68}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{41}{68}},\sqrt{\frac{27}{68}}\right)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{41}{68}}}{\sqrt{\frac{41+27}{68+68}}},\frac{\sqrt{\frac{27}{68}}}{\sqrt{\frac{41+27}{68+68}}}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{41}{68}}}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{\frac{27}{68}}}{\sqrt{2}}\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{\frac{41}{136}},\sqrt{\frac{27}{136}}\right)\right]\)

 

Si \(\left[\left(x_{1},y_{1}\right)\right],\left[\left(x_{2},y_{2}\right)\right]\in\mathcal{U}\) y ,\(\left[\left(x_{3},y_{3}\right)\right]=\left[\left(x_{1}y_{1}\right)\right]\oplus\left[\left(x_{2},y_{2}\right)\right]\), entonces\(\left\Vert \left(x_{3},y_{3}\right)\right\Vert =\sqrt{2}\).

Como \(\left\Vert \left(x,y\right)\right\Vert =1\Rightarrow\sqrt{x^{2}+y^{2}}=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}=1 y x_{3}=\sqrt{x_{1}+x_{2}},y_{3}=\sqrt{y_{1}+y_{2}}\), se tenemos que:

\(\left\Vert \left(x_{3},y_{3}\right)\right\Vert = \\
\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert = \\
\sqrt{\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right)^{2}+\left(\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)^{2}} = \\
\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}} = \\
\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} = \\
\sqrt{1+1} = \\
\sqrt{2}\).

\(\left[\left(x_{1},y_{1}\right)\right]\boxplus\left[\left(x_{2},y_{2}\right)\right]=\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{x_{1}+x_{2}},\sqrt{y_{1}+y_{2}}\right)\right]\)

Así que podemos decir que hemos conseguido, si cuento con la aprobación del lector para hablar en plural, un conjunto, \(\mathcal{U}\), de cuadriláteros únicos, desde el punto de vista de la semejanza, con una estructura algebraica no asociativa, no confundir con «álgebras no asociativas», que me permite sumar unos cuadriláteros con otros.

La suma entre el rectángulo \(\left[\left(\frac{\sqrt{65}}{65},\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)\right]\) y \(\left[\left(\frac{8\sqrt{65}}{65},\frac{\sqrt{65}}{65}\right)\right] es \left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\).

\(\left[\left(\frac{\sqrt{65}}{65},\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{8\sqrt{65}}{65},\frac{\sqrt{65}}{65}\right)\right] = \\
\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{65}}{65}\right)^{2}+\left(\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{65}}{65}\right)^{2}}\right)\right] = \\
\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{\frac{65}{65^{2}}+\frac{64\cdot65}{65^{2}}},\sqrt{\frac{64\cdot65}{65^{2}}+\frac{65}{65^{2}}}\right)\right] = \\
\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{\frac{65\cdot65}{65^{2}}},\sqrt{\frac{65\cdot65}{65^{2}}}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\).

Todo lo anterior lo podemos ver de forma gráfica en la imagen siguiente. Los dos rectángulos elegidos han sido fuertemente diferenciados; siendo uno muy plano y el otro muy alto. Su suma nos da el cuadrado. El cuadrado es la suma de dos rectángulos cuyos vectores tengan sus coordenadas intercambiadas.

Suma de cuadriláteros inscritos en
la circunferencia de radio uno.

 

Para finalizar, comentaré que tenemos un inconveniente: no se cumple la asociativa en \(\mathcal{U}\). Esta propiedad, la asociativa, es una condición muy querida entre los amantes al álgebra. Tan querida que me resulta muy extraño encontrar un trabajo sobre una estructura no asociativa, no confundir con un álgebra no asociativa. Todo esto no debe desmoronarnos. Todo lo contrario, ello significa que tenemos trabajo para rato.

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