Ejemplos matemáticos de espacios vectoriales

En un artículo anterior vimos una explicación de los axiomas de los espacios vectoriales en vistas de entender cómo podía ser tan versátil. Así que, en esta entrada veremos algunos de los ejemplos más importantes de esta estructura algebraica tan famosa y tan usada en el mundo laboral de los especialistas.

Recordemos que un espacio vectorial es una estructura compuesta a partir de dos: un grupo abeliano y un cuerpo. Para que formen una un solo ente algebraico se debe definir un producto entre el cuerpo y el grupo abelinao de manera que cumpla los axiomas que se dice en el artículo del enlace anterior.

Para finalizar esta pequeña introducción, debe quedar claro que los elementos del grupo abeliano reciben el nombre de vectores y los elementos del cuerpo son llamados escalares.

Los vectores reales, \(\mathbb{R}^{n}\)

Dado que la mayoría de magnitudes se miden en números reales, tenemos que la ciencia recurre muchos a este conjunto, \(\mathbb{R}^{n}\). En concreto, esto es, el grupo abeliano \(\left(\mathbb{R}^{n},+\right)\) para algún n natural junto con el cuerpo es \(\mathbb{R}\).

En este tipo de espacio encaja muy bien con la idea intuitiva y gráfica de flecha. Así tenemos que es lo mismo trabajar con vectores reales que con flechas.

Los polinomios reales

Los polinomios pueden definir un espacio vectorial si fijamos el grado. Por ejemplo, los polinomios de segundo grado, estos son ax² + bx + c, se pueden expresar como (a, b, c). Esta última notación nos recuerda más a los vectores de tres dimensiones en \(\mathbb{R}\). Se puede demostrar que sí son un espacio vectorial y, por lo tanto, que no es fruto de una casualidad.

Las matrices reales

A partir del cuerpo \(\mathbb{R}\) podemos definir las matrices, \(\mathrm{Mat_{n\times m}\left(\mathbb{R}\right)}\). De ese modo obtenemos otro espacio vectorial diferente al anterior.

Para que sean espacio vectorial necesitamos una suma interna que es la que se obtiene de sumar coordenada a coordenada. Además, necesitamos el producto de una matriz por un escalar, este es el que se da al multiplicar todas las coordenadas por el escalar. Esto se ve más claramente en un caso; tomemos \(\mathrm{Mat_{2\times 3}\left(\mathbb{R}\right)}\).

Suma

\(\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}+b_{12} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13}\\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}
\end{array}\right)\)

Producto

\(\alpha\cdot\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\alpha\cdot a_{11} & \alpha\cdot a_{12} & \alpha\cdot a_{13}\\
\alpha\cdot a_{21} & \alpha\cdot a_{22} & \alpha\cdot a_{23}
\end{array}\right)\)

El conjunto de las matrices, cuyos valores pueden ser cualquier número real, \(\mathrm{Mat_{n\times m}\left(\mathbb{R}\right)}\), junto con su suma forman un grupo abeliano. Si, además, definimos la multiplicación de un escalar o un valor real por una matriz, tendremos un espacio vectorial real o, dicho de otro modo, un \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial.

Las funciones reales

El conjunto formado por todos las funciones reales de variable real son también un espacio vectorial. Así tenemos que dadas \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) se puede definir la suma \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\).

Por otra parte se puede definir el producto \(\left(\alpha\cdot f\right)=\alpha\cdot f(x)\), donde \(\alpha \in \mathbb{R}\). Con ello quedaría definida la estructura de espacio vectorial.

Otros

Para tener otros espacios vectoriales basta con tomar otro cuerpo y seguir los mismos pasos que en los ejemplos anteriores. Por ejemplo, si tomamos a \(\mathbb{Q}\) como cuerpo, tenemos que \((\mathbb{Q}, +)\) es un grupo abeliano y su producto verificará los axiomas de espacio vectorial.

Una vez sabido lo anterior es fácil obtener vectores cuyos valores pertenecen a dicho cuerpo o, en su lugar, matrices, polinomios, funciones, etc. En el caso de tener cuerpos discretos también obtendríamos espacios vectoriales discretos.

Conclusión

A lo largo del artículo hemos visto diferentes espacios vectoriales matemáticos de lo más variopinto. Sucede lo mismo con sus aplicaciones científicas, informáticas y prácticas. De hecho se dice que los colores están dentro de un espacio vectorial real de dimensión tres.

Una cualidad muy importante a recordar es su ayuda al intelecto para pensar en más de una dimensión. Esto es así porque no todo depende de un factor, es decir, en la mayoría de los casos se necesitan más de una variable para explicar, entender o predecir los fenómenos y los hechos. Por ello, quien aprende espacios vectoriales le resulta más fácil ver la rica complejidad del universo y la vida.

Bibliografía

Un libro teórico en el que podrás encontrar la definición de muchas estructuras algebraicas y sus propiedades, aunque carece de ejemplos, es:

Olivert Pellicer, Joaquín. «Estructuras de álgebra multilineal», Servei de publicacions de la Universitat de València.

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