El producto cartesiano de conjuntos en matemáticas

El producto cartesiano es una técnica para crear un conjunto nuevo a partir de otros. Esta técnica mecánica la heredan las matemáticas de la Teoría de conjuntos. Así que, tenemos un ejemplo de cómo las matemáticas nacen de la filosofía, ya que los filósofos son los encargados de desarrollar dicha teoría. Una vez conocemos los conjuntos numéricos esenciales \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\), con este producto, las posibilidades de obtener otros se multiplican indefinidamente.

A continuación, explicaré en qué consiste el producto cartesiano. Luego, veremos unos ejemplos y, finalmente, ofreceré algunos de sus usos más habituales, es decir, para qué sirve.

Explicación

Mientras un pintor adjunta colores unos al lado de otro para formar una imagen y, así expresar una situación, por ejemplo, el matemático crea nuevos conjuntos para trabajar con ellos y así poder expresar conocimientos, por ejemplo. Debemos tener en cuenta que los conjuntos que normalmente se usan en matemáticas son numéricos por lo que el producto cartesiano dará lugar a otros conjuntos numéricos.

Sean los conjuntos A = {a1, a2, a3} y B = {b1, b2}, se dice que el producto cartesiano de A por B y se denota como A × B, al conjunto siguiente {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2), (a3, b1), (a3, b2)}.

A = {a₁, a₂, a₃}

B = {b1, b2}

A × B = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2), (a3, b1), (a3, b2)}

Como ves, solo se trata de tomar un elemento del primer conjunto, la coma y luego un elemento del segundo conjunto. Para dar significado de un solo elemento lo encrerramos entre paréntesis. Los elementos se eligen de manera que se abarque todo el segundo conjunto por cada elemento del primer conjunto, es decir, de forma exhaustiva.

Nota: Se parece en cierto sentido a la distributiva de la suma respecto de la multiplicación. (x+y+z)(a+b)=xa+xb+ya+yb+za+zb.

Muchas veces se suele recurrir a una tabla para obtenerlos a todos:

×b1b2
a1(a1, b1)(a1, b2)
a2(a2, b1)(a2, b2)
a3(a3, b1)(a3, b2)
Producto cartesiano como tabla

Sería genial que te haya resultado sencillo, al fin y al cabo no es ninguna excentricidad matemática. De todos modos, si no entiendes algo o tienes curiosidad por algo, puedes preguntar en los comentarios; eres bien recibido.

Definición del producto cartesiano de conjuntos

Dados dos conjuntos cualesquiera representados por las letras A y B, llamaremos producto cartesiano denotado como A × B a {(a,b) / a є A, b є B}.

Ejemplos

Los ejemplos más utilizados del producto cartesiano en matemáticas son \(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3, …,\mathbb{R}^n\).

donde, por ejemplo, \(\mathbb{R}^{2}=\left\{{(x,y)/x\in{\mathbb{R}},y\in{\mathbb{R}}}\right\}\)

También tenemos \(\mathbb{N}^2\) , \(\mathbb{N}^3\).

Y ¿por qué no? \(\mathbb{N}\times{}\mathbb{R}=\left\{{(n,x) / n\in{\mathbb{N}}, x\in{\mathbb{R}}}\right\}\)

Usos del producto cartesiano de conjuntos

El producto cartesiano, en concreto \(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^{3}\), se usan para numerar los puntos del plano y del espacio respectivamente. La forma habitual que para conseguirlo es la que se explica en secundaria. Nótese que al recurrir a una regla para situar los puntos a una distancia medida en centímetros, estamos utilizando el concepto de métrica del cual os hablaré algún día.

El producto cartesiano también se usa en combinatoria para conseguir todas las combinaciones posibles en algunos casos. Si queremos obtener todas las parejas que se puedan formar entre los elementos de dos conjuntos, esto se logra con el producto cartesiano. Ello nos da lugar al siguiente uso no tan conocido.

En las bases de datos tenemos otro uso de este producto (ver también Los conjuntos en nuestra rutina). Aquí se suele multiplicar los conjuntos que forman los valores de los campos buscados para obtener todos registros que coincidan con la consulta. Por ejemplo, tengo una base de datos de personas con sus características físicas. Si busco aquellas que sean de pelo castaño y ojos azules, la máquina realiza el producto cartesiano para cada valor de los campos color de pelo, color de ojos, esto es, (castaño, marrones), (castaños, azules), (rubio, marrones), (rubio, azules), etc. Luego pasa a quedarse con los registros que coincidan con (castaño, azules).

Finalmente, muchas veces en ciencia se necesita contemplar dos variables a la vez de manera que una varía independientemente respecto de la otra, es decir, queremos obtener todas las parejas de valores posibles. Ello es útil para expresar la relación que hay entre estas dos magnitudes o para decir que pasará para cada par de valores. En física y otras ciencias naturales o sociales están continuamente usando este tipo de ejemplos.

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