Cuarta entrega

Introducción a la cuarta entrega

Puerta abierta con el número 4 que invita a entrar en una habitación con más luz.

Esta nueva entrega, aunque corta, es el resultado de bastante esfuerzo. Sigo la costumbre de empezar con un texto para recordar las anteriores. Luego, ofrezco una forma nueva de representar la esfera. A continuación, basándome en esa nueva forma, presento una gráfica de la esfera de unos colores*. Sigo, en otro apartado, con una imagen convencional de dicha forma geométrica. Y, finalmente, un resumen en forma de conclusiones.

La esfera que he anunciado no es validada ni rechazada. Sin embargo, la intuición me dice que he encontrado algo valioso. Espero, en el futuro, encontrar una manera de verificar mi intuición. Mientras, ofrezco mis resultados con el fin de compartir algo de valor. Sin nada más que introducir, animo al lector a continuar la lectura para conocer dicha esfera.

Retomando el hilo de la tercera entrega

Flecha hacia atrás.

En las anteriores entregas era necesario haber leído sus precedentes. La presente es un texto más, independiente de las demás y no es tan fuerte dicha necesidad. No obstante, para que no parezca un texto suelto y sin conexión, escribiré un breve resumen de las anteriores. De ese modo, consta que es la cuarta entrega de una serie de textos que buscan un objetivo: modelar los colores matemáticamente.

En la primera entrega, puse de manifiesto el objetivo de conseguir el propósito mencionado en el párrafo anterior. Definí qué es el color*, luego distinguí entre los colores-materia*, los colores-luz* y los colores-mentales*. Esta distinción se necesita debido a una cadena de interacciones: la materia tiene un color que hace cambiar el color de la luz y este último evoca un color en la mente.

Más adelante, explicaba qué son los modelos matemáticos, el requisito de la geometría y del álgebra para modelar. Luego, me centraba en los colores-luz para desarrollar un modelo de un subconjunto de ellos, lo formalizo y le doy una forma geométrica. Finalmente, valido el modelo diciendo que tengo todos los colores que la luz produce al pasar por un prisma.

En la segunda entrega, para obtener más colores, defino un concepto nuevo llamado el punto de color: punto que muestra un color dependiendo de donde lo ves. Si me muevo en el espacio cada punto de observación le puedo asignar un color, el percibido desde allí. Por motivos prácticos decido moverme de manera que el conjunto de movimientos anterior sea una esfera.

La esfera obtenida anteriormente da lugar a un conjunto de colores más amplio que el obtenido en la primera entrega. No obstante, sigue faltando un conjunto notable de colores. En un intento de llegar a más colores, reflexiono sobre como está construida la esfera anterior y amplio los colores representados como explico más adelante.

Si el semieje positivo es emitir un color, el negativo es absorber dicho color. Este hecho me lleva a tener una zona negra de colores distintos debido a que no emiten ningún color, solo absorben. Esta parte la puedo iluminar con luz blanca y, por extensión, todos los colores de la esfera correspondiente al punto de color. Así, obtengo otra esfera, la correspondiente al punto de color iluminado.

En la tercera entrega, doy posibles relaciones entre lo que estoy haciendo y lo que necesita, no el ser humano, sino la naturaleza. Así, explico que la misión de un ser inteligente en la naturaleza es la misma que la de otro ser vivo: garantizar la vida. Una vez la vida ha conquistado todos los rincones del planeta Tierra, es buena idea exportar la naturaleza a otros planetas.

La vida se codifica a través de cuatro sustancias. Si las encajamos dentro de las matemáticas, las ventajas serán múltiples. Por ejemplo, responder a la pregunta ¿cómo evolucionará la naturaleza si, dado un planeta, lo «germinamos» de unos seres vivos o de un pequeño ecosistema? Esta pregunta recuerda a los avances matemáticos hechos en Teoría del Caos (Matemático).

Los colores, según lo visto, vienen codificados por 3 letras. Si aprendemos de ellos, tengo la esperanza de que podamos «extrapolar» los resultados a la codificación de los seres vivos en 4 letras (sustancias). Finalizo, la entrega demandando unos entes matemáticos nuevos porque no creo que, con las matemáticas actuales, se pueda conseguir un modelo matemático del color para extrapolar a la vida.

El disco: una forma más para representar la esfera en el plano

Esquema de una representación esférica en el plano.

En este apartado voy a explicar como representar una esfera en forma de disco. Ello me permitirá representar todos los colores* de la esfera (solo la superficie) en un plano; así los podremos ver en una imagen. A pesar que se pierdan algunas propiedades geométricas de la esfera, es conveniente.

Dado un punto cualquiera de ella, tiene un solo punto «opuesto», la antípoda. Al unir ambos puntos, obtengo un eje de la esfera el cual coincide con su diámetro. Puedo, entonces, tomar un plano perpendicular al eje en el punto que quiera. Ello me da una intersección con la esfera de manera que su forma es la circunferencia. En la imagen de abajo se puede apreciar mejor.

Intersección entre la esfera y un plano que pasa por el centro.
Imagen 1: Circunferencia resultado de la intersección entre un plano y la esfera.

Dicho lo anterior, tengo la opción de partir desde uno de los extremos con el plano perpendicular al eje e ir hacia el otro extremo, su antípoda. Las diferentes circunferencias que obtengo crecen de tamaño debido a que el radio es mayor. Eso me permite, desde el inicio hasta la mitad de la esfera, registrar las circunferencias en un plano. Véase la imagen situada debajo de esta línea.

Las distintas intersecciones entre la esfera y planos perpendiculares al eje.
Imagen 2: Circunferencias intersección entre la esfera y cada uno de los planos.

Una vez llegado a media esfera, el radio de la circunferencia disminuye. En este caso, puedo usar otro disco, pero prefiero la opción de seguir con el mismo. Para ello, aumentaré el radio de manera que cada nueva circunferencia sea más grande que la anterior. Es decir, en vez de decrecer un \( \varepsilon\), crecerá ese mismo valor. Si el radio de la intersección del plano con la esfera es de \( r_{i}\) y el de la esfera es de \( r_{e}\), la nueva circunferencia en el disco será de \( r_{c}=r_{e}+(r_{e}-r_{i})=2r_{e}-r_{i}\). Si \( \varepsilon=r_{e}-r_{i}\), entonces \( r_{c}=r_{e}+\varepsilon\).

La proyección de la esfera en el plano propuesta.
Imagen 3: Proyección de las circunferencias en el plano.

La antípoda es un punto y la intersección del plano perpendicular con la esfera también. Este punto tiene la propiedad de estar al «lado» de todos los puntos de la «última» circunferencia. Para mantener dicha característica, representaré dicho punto como una circunferencia situada en la frontera del disco, es decir la más exterior del disco. Pero, todos sus puntos serán del mismo color. Así se puede ver en la imagen de arriba.

Un disco con colores

Discos en gris de una misma esfera con los colores ordenados.

Una vez visto el apartado anterior, represento un disco con colores. Su representación, véase la imagen 1, sigue las instrucciones descritas anteriormente. En la imagen 2 he tomado como centro de la proyección el blanco hasta llegar a su antípoda, el negro. Los colores que represento se desprende de tomar como circunferencia central los colores que van de R a G, de G a B y de B a R. Luego, hago un difuminado cromático hasta llegar al blanco o al negro, según con qué color* quiera enlazar.

Los dos posibles discos que surgen cuando se quiere representar la esfera con unos colores ordenados.
Imagen 1: Esquema del disco. A la izquierda el que corresponde con la esfera que tiene el punto blanco en el centro y a la derecha, la misma esfera vista desde la antípoda del blanco.

En la imagen 3, represento la misma esfera, pero vista desde el otro extremo del eje, es decir, el negro en el centro y el blanco en el exterior. La circunferencia central, la de radio máximo en la esfera, es la misma en ambos discos. Con ambas representaciones puedo tener una idea de cómo es una esfera pintada con unos colores.

Disco del negro (dentro) al blanco.
Imagen 2: El disco de los colores visto desde el punto negro.
Disco del blanco (dentro) al negro.
Imagen 3: El disco de los colores visto desde el punto blanco.

La esfera de los discos

Esquema gráfico para pasar de los discos a la esfera.

La esfera a la que hacen referencia los discos anteriores abarca una diversidad de colores mayor que las anteriores que registraban el punto de color*. Además, no hay ningún punto con el color repetido. No obstante, quedan colores por representar. En la imagen de abajo se puede apreciar como es la esfera.

La esfera correspondiente a los discos anteriores.
Imagen 1: La esfera correspondiente a los discos anteriores.

Esta vez incluyo el código R, algoritmo de abajo, que genera la imagen anterior para que pueda ser contrastada. Me baso en una función de R, rainbow, la cual simula el arco iris o el paso de la luz blanca por el prisma. Los colores que de R a G, de G a B y B a R incluye a los que contiene la luz blanca.

He utilizado, también, la función colorRampPalette para obtener un escalado de cada uno de los colores generados por rainbow al negro y otro, al blanco. Además, mencionaré que las librerías de R son: plot3D y rgl. La primera posibilita la representación de imágenes en perspectiva 3D y la segunda ofrece la posibilidad de representaciones interactivas en la pantalla.

# Esfera correspondiente a los discos -------------------------------

# Librerias ---------------------------------------------------------

library("plot3D") # Para representaciones de imágenes en 3D
library("rgl") # Para representaciones interactivas en 3D

# Nucleo ------------------------------------------------------------


# Parametros para obtener una cantidad finita de puntos 
# y colores de la esfera

k <- 16 nf <- 2*k # Recomendable que sea par
nc <- 4*k+1 # Recomendable que sea impar

UV <- mesh(seq(-pi/2,pi/2,length.out = nf),seq(0,2*pi,length.out = nc))

# Puntos de la esfera

x3 <- cos(UV$x)*sin(UV$y)
y3 <- cos(UV$x)*cos(UV$y)
z3 <- sin(UV$x)

# Generación de los colores

matcol <- matrix(nrow = nc, ncol = nf)
rb <- rainbow(nc) # hsv -> RGB IEC standard 61966

for(i in 1:nc){
 matcol[i,] <- colorRampPalette(colors = c(rgb(0,0,0), rb[i],
 rgb(1,1,1)), interpolate ="spline")(nf)
}

# Imagen de los colores (RGB IEC standard 61966) a representar en 2D

image2D(matcol)
write.table(x = t(matcol), file = "MatrizColores.txt", sep = ";")


# Vista en 3D interactiva de la esfera

surface3d(x = x3, y = y3, z = z3, col = t(matcol), lit = FALSE, smooth = FALSE)


# 12 vistas diferentes de la esfera para el papel

plot.new()
antes <- par(mar=c(0.2,0.2,0.2,0.2), mai= c(0.2,0.2,0.2,0.2), mfrow=c(3,4))

surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 0, phi = 0)
surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 90, phi = 0)
surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 180, phi = 0)
surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 270, phi = 0)

surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 0, phi = 60)
surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 90, phi = 60)
surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 180, phi = 60)
surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 270, phi = 60)

surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 0, phi = -60)
surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 90, phi = -60)
surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 180, phi = -60)
surf3D(x3,y3,z3, colvar = t(matcol), theta = 270, phi = -60)

par(antes)

Debo decir que los colores del disco han sido generados de una forma diferente a los colores de la esfera, por tanto, puede haber diferencias. Estas no importan para captar la idea intuitiva que manifiesto. Al igual que en geometría no importa la precisión gráfica del dibujo, aquí tampoco importa la precisión cromática. Debemos usar la intuición y la lógica; más adelante pasaremos a las mediciones.
No olvide el lector que el centro de la esfera contendría al color del agua, el transparente.

Conclusiones de la cuarta entrega

Conclusiones

Esta nueva esfera de colores* que ofrezco es un sistema de ordenamiento de los colores* parcial porque solo contiene a un subconjunto de ellos. Según mis conocimientos sobre este tema, no hay ninguna esfera igual a esta. Cuando alguien ha tomado como referencia la esfera para situar los colores en el espacio, ha llenado su interior de más colores. De ese modo, pretendían o conseguían tener a todos ellos. Dichas esferas tampoco coinciden externamente con la propuesta.

Además, después de acabar los estudios de licenciatura de matemáticas y tras haber pasado un tiempo, no sé de nadie que represente la esfera en forma de discos. Tal vez exista, pero lo desconozco. Geométricamente, no le veo aplicación, pero para conocer el exterior de una esfera cromática, sí. Por último, quiero decir que en las próximas entregas espero explicar por qué la esfera me inspira tanto para representar el color.


A continuación expongo el índice de esta entrega para leer los artículos por separado.

  1. Introducción
  2. Retomando el hilo
  3. El disco: una forma más para representar
  4. Un disco con colores
  5. La esfera de los discos
  6. Conclusiones