Primera entrega

Introducción a la primera entrega

El texto que estoy escribiendo tiene como finalidad formar parte de un blog para comunicar los resultados de un ejercicio de aplicación de las matemáticas al mundo del color*. Este ejercicio sería llamado por muchos con el nombre de investigación, sin embargo mi finalidad es modelar los colores. Lo que significa describirlos mediante un ente matemático sin necesariamente obtener una nueva teoría. Creo que aporto ideas nuevas y conclusiones válidas, no obstante no he hecho una revisión de la literatura de la ciencia del color.

Los lectores que dispongan de un buen nivel de matemáticas disfrutarán viendo que aquello que se les explicó en clase puede ser aplicado al mundo real. Aquellos que no han tenido la suerte de haber profundizado en matemáticas pueden ojear el blog y ver cómo las matemáticas les pueden ayudar. Espero abrirles el apetito sobre conocimientos matemáticos.

No sé si en el pasado también ocurría lo mismo, pero aprecio que está en auge el modelado de partes de la realidad. El mundo, la realidad, tiene una parte cuantitativa que se puede describir mediante las matemáticas. Es más, a mi entender, la misión de la matemática (pura) es la de proveer al matemático (aplicado), científico o cualquier usuario de ellas, las herramientas necesarias para poder describir esa parte cuantitativa de la realidad.

Si hacemos uso de los libros de la escuela veremos que las matemáticas existen desde tiempos remotos. Por lo que ya disponemos de muchas herramientas para describir la realidad cuantitativa que deseemos. No obstante, se está haciendo un error común en todos los modelos que observo. No es grave y se puede pasar por alto, pero corremos el peligro de pillarnos los dedos si antes no verificamos que es así. En todos los modelos se supone una geometría euclidiana y el álgebra de la aritmética ordinaria. Esto se cumple en la mayoría de las veces, pero no siempre es así.

Dicho lo anterior me marco el objetivo de modelar los colores viendo primero qué ente algebraico se comporta igual que los colores. Luego pasaré a estudiar su geometría. Sería deseable poder describir las leyes de armonía del color mediante lenguaje matemático con ayuda del análisis y finalmente seguro que puedo hacer algún ejercicio de estadística sobre los colores. Todo ello no es más que un ejercicio de matemática aplicada.

Tipos y definición del color

Escala de 21 grises.

Las definiciones son necesarias para expresar con claridad y con precisión los objetos, entes o la parte de la realidad que se va a estudiar y, en mi caso, a modelar. Así queda expresado el interés de este apartado, donde doy una definición de color* y distingo diferentes tipos de ellos.

El color es algo que todos los videntes conocemos y no sabemos muy bien como explicar. No encontramos una buena definición que nos agrade. Así que, propongo como reto explicar qué es este ente llamado color a un ciego de nacimiento de forma que éste pueda hacerse una idea. No es un capricho, sino una manera de saber cuando se ha dado con una buena definición.

Los ciegos pueden percibir la forma de los objetos mediante el tacto y si este es muy grande haciendo uso también de la traslación de sí mimos. El color es una propiedad de las imágenes mentales que permite distinguir unas formas de otras y por tanto unos objetos de otros además de su situación. Todo eso en pocos segundos gracias a la vista. Es como la propiedad del sonido, el timbre, que permite distinguir la voz de quien habla incluso diferentes de instrumentos musicales y más entes sonoros.

Esas propiedades de las imágenes que se producen en la mente van ligadas a ciertas características de las neuronas y de la mente humana, éstas, a la vez, van ligadas a propiedades de la retina o células ópticas, las cuales cambian sus características según las diferentes cualidades de la luz percibida en el ojo. Las cualidades de la luz que llega a los ojos van ligadas también a propiedades de la materia sobre la que han incidido los rayos de luz. La materia tiene ciertas propiedades que hace cambiar la luz de color o no de tal forma que altera el comportamiento del rayo. El rayo nace dependiendo de la materia que lo origina. Aquí termina la cadena.

Se puede mirar directamente a la luz y saltarse un paso y se puede hacer incidir la luz sobre la materia varias veces antes de ser percibida por el ojo. Pero siempre veremos una interacción entre la materia y la luz debido a que las células foto-receptoras del ojo son materia.

Una vez dicho lo anterior extiendo el concepto de color de las imágenes mentales a las distintas propiedades de la luz, color-luz*, de la materia, color-materia o color-pigmento o color- tinta o color-pintura*, de la células, color-celular, y color de las neuronas, color-neurona.

Según la teoría convencional, la del instituto, por ejemplo, nace la luz debido a algún material que lo produce y lo hará con algún color, hasta llegar a la superficie de algún objeto de materia en el cual el rayo de luz incidirá y cambiará o no su condición de color. Este cuando llegue a la retina del ojo provocará unas señales neuronales que llegarán al cerebro produciendo las imágenes mentales que percibimos. Como se ve, es todo un engranaje ligado a las propiedades de los entes que van interactuando unos con otros y dan lugar al fenómeno de la vista.

Cadena de intervinientes en el color.
Cadena de engranajes intervinientes en la visión del color.

Creo que queda claro a qué me refiero cuando digo color-luz y color-materia. Son los factores principales en los que me basaré para modelar el mundo del color. Una vez en las neuronas entiendo que se ha producido la imagen el cerebro. Por último la células de la retina son materia que hacen posible la vista y no por ello dejan de ser materia. Es decir, una vez el rayo dentro del ojo, me olvido que pasa, lo ignoraré para no complicar el modelo y supondré que se da la imagen mental.

Discrepancia con Juan Carlos Sanz

Juan Carlos Sanz es un estudioso del color* a quien le debo parte de este trabajo gracias a su obra “El libro del color”. Con esta discrepancia no quiero menospreciar su trabajo. Sólo es una observación que hago y que no coincido con él. Si consiguiera escribir un trabajo con sólo un desacuerdo o crítica por parte del lector me sentiría satisfecho. La diversidad del pensamiento es más amplia que el número de colores diferentes.

En dicho libro Juan Carlos dice que el color no es pigmento que para mi equivaldría a decir que la materia no tiene colores. También dice que el color no es luz, lo que interpreto que la luz no tiene color. Finaliza diciendo que el color es información y sensación.

Es cierto que el mundo de los colores es un mundo “oscuro”, pero para mi la información, entendida como un mensaje que viaja a través de un canal, emitida por un emisor y … no existe exactamente así. Me explico:

La información, desde mi punto de vista, es el contenido con el trabaja nuestra mente racional, principalmente, aunque también están los sentimientos. La información en la realidad de este universo espacio-temporal y energético-material se hace posible porque existen entes que cambian ligeramente sus propiedades. Ese cambio de características bajo cierto contexto, cierto intérprete y demás factores que no voy a detallar, hacen posible la información. Además hay entes que cambian su posición espacial manteniendo sus propiedades (o con pérdidas despreciables) que hacen posible la comunicación de la información. Sea luz, sonido, electricidad, etc.

Debo esclarecer antes de terminar este artículo que en muchos ámbitos es mejor ignorar toda esa cadena de pequeños cambios en las propiedades de los entes que posibilitan la información y suponer que un mensaje viaja por el espacio tomándose cierto tiempo sin tener en cuenta los cambios que se dan en la realidad porque se van a estudiar otro tipos de cambios.

El negar que esos cambios en la propiedades de los entes que hacen posible la información existen es una cosa e ignorarla es otra. Si hay información debemos concluir que existe toda una cadena que la hace posible. Esta aclaración es necesaria cuando hablamos sobre el color, como se verá más adelante.

Referencias

«El libro del color», Juan Carlos Sanz. Alianza Editorial. Madrid. 2003.

Los colores y la ciencia

Colores y ciencia

Una vez he definido el color*, tengo la pregunta siguiente: ¿a qué parte de la ciencia pertenece? Si tengo en cuenta que el color es una propiedad de la luz, diré que a la física. Si tengo en cuenta que el color es posible a ciertas células, a la biología. Si tengo en cuenta que manifiesta propiedades de la materia, a la química. Pero también depende de la geometría de los objetos (a la geometría) y dan lugar a otros colores, al álgebra. Así podría seguir incluyendo a la medicina, a la psicología y otras ciencias. Por tanto se trata de una parte multidisciplinaria. Es lo mismo que decir que quien quiera estudiar el color tendrá que tener en cuenta otras disciplinas.

Lo que voy hacer es emprender una aventura matemática. Para ello dispongo los conocimientos universitarios de álgebra y geometría y los de física y química de alguien que ha superado el instituto. Esta aventura tiene el objetivo de hacer un modelo del color. Espero con ello poner de manifiesto el valor de tener conocimientos matemáticos a la hora de describir la realidad.

Álgebra

Composición de aplicaciones.

En la facultad, en el instituto y, así, en muchos otros sitios nos ponemos a estudiar álgebra sin apenas saber qué es. Dicen muchos que el álgebra es una generalización de la aritmética. Aunque P. Abbott* mejora la afirmación diciendo que es una extensión. La aritmética es el estudio de las propiedades de la suma y el producto (sin olvidar la resta y la división). Esto está muy bien, pero dice poco de sí a efectos prácticos.

Mi forma de ver el álgebra es la siguiente. Si tenemos un conjunto de objetos, estos pueden interactuar entre sí. De modo que al juntar dos objetos o más dará lugar a otro objeto del mismo conjunto o no. Si se da la primera opción y pertenece al mismo conjunto lo llamaremos como ley de composición interna*, si no como ley de composición externa.

Los diferentes conjuntos numéricos tienen una o más leyes de composición interna, por ejemplo la suma y el producto. Y para los que han llegado al estudio de los espacios vectoriales les recordaré que el producto escalar entre dos vectores daba un número, esto es una ley de composición externa.

El álgebra queda un poco olvidada a la hora de modelar la realidad. Según he dicho se da por supuesto que se sigue una álgebra ordinaria, como es la de \( \mathbb{R}\), \( \mathbb{Z}\), \( \mathbb{N}\), etc. Sería una buena costumbre el asegurarse que se da esa álgebra. Aunque en la mayoría de las veces se el supuesto es válido, una pequeña afirmación le daría mucha calidad al modelo.

También forma parte del álgebra el estudio de los conjuntos ordenados, los grafos y otros entes matemáticos que escapan al interés de este blog. Al menos de momento.

Referencias

«Álgebra. Aprende tú solo». P. Abbott. Ediciones Pirámide S.A. Madrid 1994

La geometría

Elementos geométricos sobre un plano en el espacio tridimensional.

La geometría es estudiada por los niños desde muy pronto y con ese nombre según el currículo de la enseñanza española. Veo también que en muchos otros países sucede lo mismo. Dicen que su origen reside en la ciencia del estudio de la tierra, de ahí la primera parte, “geo”. Las principales preguntas a responder podrían ser, cómo expresar que ese trozo de tierra es de alguien y el otro trozo pertenece al vecino. Como saber cuanto trozo de tierra hay ahí y qué parcela de tierra es la más grande. Así con muchas más preguntas.

El estudio de la geometría también nos lleva al estudio de la dimensión, el volumen y el espacio. Por lo que tiene sentido en ciencia preguntarse si el espacio es curvo. Una pregunta más completa sería la de responder qué forma tiene el espacio en qué vivimos. Estas cuestiones tienen sentido al tener resueltas las preguntas anteriores.

Como he dicho en el artículo de álgebra, cada vez que se va hacer un modelo de una parte de la realidad sería conveniente preguntarse en qué geometría se encuentra esa parte de la realidad. Siempre se puede decir que por simplicidad y por falta de información adicional se supone una geometría convencional (la euclidiana, \( \mathbb R^{n}\)).

El mundo de los colores* quedará modelado cuando describa su álgebra y su geometría.

El espacio geométrico

Imagen de un espacio geométrico inspirado en la constelación de Orión.

En geometría se estudia el espacio. El espacio que todos conocemos se le llama espacio euclidiano de dimensión 3. Este es cuadrado o llano. Cuando los astrónomos se preguntan si el universo es plano o curvo, lo que están intentando hacer es determinar* en qué espacio geométrico vivimos. En tiempos de Newton el espacio euclidiano de dimensión 3 encajaba muy bien para lo que se quería obtener. Hoy en día, hemos avanzado y aspiramos a más, es cuando surge la duda anterior. Los geómetras han puesto al alcance de los interesados multitud de espacios geométricos, aunque no les han llamado así. Uno de los nombres es espacio afín*, variedades diferenciables, geometría riemanniana, etc.

Ahora voy a centrarme en explicar cómo funciona el espacio. Un espacio está lleno de localizaciones. Estos son entendidos como puntos en donde podemos permanecer, situarnos y sobre todo de los que podemos abandonar y ocupar otros. Así el espacio geométrico es un conjunto de puntos donde es posible el movimiento. Aquí jugamos con dos conjuntos, el conjunto de localizaciones (que son los puntos) y el conjunto de movimientos que se pueden hacer. Es abstracto, pero funciona así.

Por ejemplo, imaginemos que tenemos el conjunto de localizaciones formadas por las casillas del tablero del ajedrez. Y tenemos sobre él sólo el alfil. Éste únicamente se puede mover por la diagonal, de modo que no puede cambiar el color de la casilla. Aquí se estaría definiendo un espacio geométrico muy peculiar el cual no he estudiado. Imaginemos que tenemos sobre el tablero una torre; se puede mover de lado o arriba y abajo. Aquí tendríamos otro espacio geométrico, que tampoco he estudiado en la facultad ni es muy necesario.

Dicho lo anterior estamos en disposición de entender que un conjunto de objetos puede ser un espacio geométrico si definimos unos movimientos a través de él. Si del objeto A se puede pasar al objeto B, del B al C y así indefinidamente, tendremos un espacio geométrico. Dicho de forma más técnica habría que hacer uso del álgebra porque, para ir bien, el conjunto de movimientos debe formar un ente algebraico (o tener una estructura algebraica). Para el caso del espacio afín euclidiano ese conjunto de movimientos debe formar un espacio vectorial y dos condiciones más que definen el movimiento en ese conjunto de puntos formados por la recta real, el plano…

Los modelos

Un modelo matemático es la síntesis de una parte de la realidad en unos entes creados por las matemáticas. Una vez se consigue lo anteriormente dicho se le pueden hacer preguntas y obtener respuestas. Si realmente el modelo coincide bastante con la realidad las respuestas obtenidas serán plausibles o satisfactorias, si bien no dan de lleno en lo cierto.

La dinámica de sistemas ha conseguido predecir a grandes rasgos nuestro presente hace 40 años atrás como bien explica El País  (Fernando Prieto). Para ello recomiendo leer el libro Los límites del crecimiento 30 años después. Los autores de dicho libro elaboraron un modelo informático mediante técnicas avanzadas y bajo la perspectiva de la Teoría de Sistemas. Así lo afirman ellos. Pero un modelo informático no es más que un modelo matemático implementado en el ordenador. En vez de hacer los cálculos a mano los hace el ordenador.

Esto, a quien no cree en las matemáticas le puede parecer pura coincidencia. Hay quien cree que las matemáticas no sirven para predecir. No es cierto. Repetidamente vemos que la lógica nos ayuda a describir, explicar y predecir la realidad. Así es como se construyen los entes matemáticos. Son entes ordenados, lógicos y de lo más variopinto para ayudar a la ciencia y a otros en su trabajo.

Mucho estudiosos de ciencias humanas (de letras) se encuentran ante la sorpresa que deben “matematizar” sus teorías o sus observaciones porque está de moda. Así lo expresan muchos. Parece que les disguste. Sin embargo las matemáticas son una ayuda a su trabajo, aunque primero hay que entenderlas y ese sí que parece ser un punto flaco en la actualidad. Pero, entonces, deberían pedir avances en didáctica de las matemáticas en vez de tener cierto rechazo.

Abejas en un panal casi perfecto.
Parte de la realidad a describir.

Las bibliotecas son lugares donde tenemos almacenado todo nuestro saber entre otros contenidos de interés para la humanidad. Centrémonos en las bibliotecas de las facultades multidisciplinarias donde puedes encontrar de todo. Si los libros estuviesen en motones, sería una suerte encontrar aquello que queremos. Pero hay un cierto orden, una lógica y una pequeña numeración. Esto facilita mucho encontrar lo que necesitamos en ese momento.

Las matemáticas se construyen para ser la estantería de la realidad, es decir, del conocimiento. Expresar nuestras ideas con ayuda de las matemáticas, nos ayuda a decir mucho en poco esfuerzo y de forma ordenada y lógica. Se busca facilitar la expresión de cualquier clase de idea, no el bloqueo. Si añadimos los entes matemáticos, nos ayudará a expresar mejor nuestros pensamientos.

Ocurre muchas veces que tenemos pensamientos contradictorios y ese pensamiento bloquea la expresión matemática. De alguna forma nos está ayudando a no decir tonterías. También puede ocurrir que las matemáticas no están lo suficientemente avanzadas para expresar algo verdaderamente complejo. En esos casos debemos darnos cuenta que podemos recurrir al texto sin números. Costará muchas frases, pero se llegará.

Si la lógica está sumergida en la realidad, las matemáticas facilitará su expresión porque se forjaron con argumentos de peso.

Para finalizar les daré una observación. Se tiende a hacer siempre una idealización de la realidad. Que será considera como cierta, pero no la describirá con total detalle. Un ejemplo de esto está en decir que el panal de abejas es hexagonal. Pero ¿para qué más precisión?

Panal de abejas perfecto.
Modelo de la parte de la realidad anterior.

Observe la figura 1 y la figura 2 de este texto y entenderá mejor lo que digo. En la figura 1 tenemos la parte de la realidad a describir y en la figura 2 el modelo matemático o geométrico. Hay una diferencia, pero no es válido. Se puede considerar como cierto el modelo de la figura 2.

Referencias

Los límites del crecimiento 30 años despúes. Galaxia Gutenberg, S.L.

El color-luz

Tres leds de colores en gama de grises.

La experiencia cotidiana de cualquiera de nosotros nos hace darnos cuenta que al cambiar el color* de la luz, cambia el color de los objetos. Aunque sólo es una apariencia porque si volvemos a la luz original, los colores vuelven a ser los mismos. También apreciamos que sobre un objeto blanco vemos e intuimos que el color en que vemos el objeto es igual al color de la luz. Así que iluminar el color blanco es una forma de saber cual es el color de la luz.

Leyendo el libro de David Bryant «Física. Aprende tú solo.» se llega a comprender que la luz blanca, como decía Newton, está compuesta por todos los colores. Además nos cuenta que hay tres colores-luz* básicos. Estos colores son el Rojo (R), el Verde (G) y el Azul (B) por sus siglas en inglés. De ahí que en informática tengamos el conjunto de colores RGB.

A continuación voy a jugar con esos colores. Voy a definir una operación binaria que consiste en coger un rayo (o una luz) de un color y iluminar la misma zona de blanco que con otra luz (otro rayo). Es difícil coger un rayo y otro, por lo que me conformaré con tomar dos luces con la mismas características, pero de color distinto.

Si junto un rayo R y otro G, tendré otro color, que llamaré RG. Así evito pensar mucho. Es lo mismo que si junto un rayo G y otro R. Con lo cual es conmutativo RG = GR. Ahora podría juntar un rayo B al resultado anterior. Según la teoría, el color RGB lo veremos blanco. Como es conmutativo es lo mismo RGB que GRB que GBR que …

Una ley muy importante para el álgebra es la asociativa. Veamos que se cumple. Como es conmutativo un color A + (B + C) = ABC = (A + B) + C. Obviamente. En luz da igual el orden en que ilumine la misma zona de color blanco que el resultado final será el mismo color-luz.

Así que tengo un conjunto de objetos que interactúan entre sí mediante la unión de rayos iluminando la misma zona de color blanco. Sea \( \mathbb{L}\) el conjunto de colores-luz. Sea \( +\) la operación de iluminar la misma zona de un objeto blanco con una o dos rayos de colores. Entonces, se cumple que \( +\) es una ley de composición interna* (es decir obtendremos otro color), se cumple la asociativa y la conmutativa (es decir el orden no importa).

Dos rayos incidentes en la misma zona y no coincidentes en mismo ojo.
Un rayo incide en un ojo y el otro incide en el otro sin que ninguno de los dos sepa del otro. Esto nos dice que hay una forma de sumar dos rayos sin que ninguno altere el color del otro.

El resumen técnico anterior nos dice que falta un elemento importante, un color-luz que no altere ningún color-luz. Este es el rayo con ausencia de color. ¿Existe? Si existe, no lo percibimos por lo que es difícil encontrarlo. Pensemos por un momento y reflexionemos. Si desplazo mi vista de lugar percibo otros rayos, me enseñan otras imágenes. Esto es gracias a que la luz en sí es “transparente”. Si un rayo de luz se cruza con otro que no llegará a incidir sobre la retina, no altera el color. Eso hace que si ilumino ahora con un sólo rayo de forma que no incida sobre mi ojo, este pasará desapercibido por mi.

En la figura de los dos rayos se ve como una misma zona blanca puede ser iluminado por un rayo rojo y otro azul de forma que un observador vea rojo y otro azul.

Por lo tanto, hasta ahora tengo que \( ( \mathbb{L}, +)\) forman lo que en álgebra se conoce como un monoide* conmutativo. Además tiene una peculiar propiedad. Si sumo un rayo rojo y otro rayo rojo, veré el mismo color rojo. Esto es \( R^{l} = R\), sea l natural que sea.

Referencias

«Física. Aprende tú sólo.» David Bryant. Ediciones Pirámide S.A. Madrid. 1993

Formalizando el monoide de los colores-luz

Formalizando

En este artículo voy a decir lo mismo que en el anterior, pero de forma más formal. Doy por supuesto que todo color-luz puede ser producido mediante la ley de composición interna anteriormente explicada y los colores-luz básicos o primarios son \( R\), \( G\) y \( B\). Además, la suma del mismo color no da una especie de color doble, sino el mismo. Así que voy a expresar por R el formado sólo por rojo, RG el formado por un rayo rojo y otro rayo verde (green) … así sucesivamente hasta llegar a casos como \( R^{2}G^{5}B^{1}\) que es el resultado de sumar dos rayos rojos con cinco rayos verdes y uno azul.
Así que \( \mathbb{L} = \{R^{n}G^{m}B^{l}\) tales que \( n, m, l \in \mathbb{N} \}\). Donde se entiende que \( RRGGRBGBBRR = R^{5}G^{3}B^{3}\). Además el \( R^{0}G^{0}B^{0}\) sería el transparente. Con ello, expreso que \( 0 \in \mathbb{N}\).
Voy a seguir con la operación \( +\) de colores. De alguna forma ya la he tenido en cuenta al definir el conjunto de colores. Así \( R^{n}G^{m}B^{l}+R^{n’}G^{m’}B^{l’}=R^{n+n’}G^{m+m’}B^{l+l’}\). A modo de ejemplo, téngase en cuenta lo siguiente: \( R^{2}G^{3}B^{1} + R^{1}G^{1}B^{2} = \) \( RRGGGB + RGBB = RRGGGBRGBB =\) \( R^{3} G^{4}B^{3}\) se puede decir que no es más que la yuxtaposición de letras. Que es lo mismo que hacemos con los rayos, ponerlos unos y otros iluminando la misma zona de blanco.
Las características que un monoide debe cumplir son las de existencia de elemento neutro, que es el \( R^{0}G^{0}B^{0}\), y la asociativa. No es necesario un elemento simétrico. Además cumple la conmutativa que no es obligatorio y nos vendrá bien, generalmente. Estas características se demuestran fácilmente.
Es un buen momento para definir sobre \( \mathbb{L}\) la siguiente relación binaria de equivalencia:
\( R^{n}G^{m}B^{l} \sim\) \( R^{n’}G^{m’}B^{l’} \Leftrightarrow \exists q \in \mathbb{Q}^{*}\, /\, n \cdot q=n’\:m\cdot q=m’\:l\cdot q=l’ \)
es de equivalencia porque con \( q=1\) cumple la reflexiva, con el inverso de \( q\), \( \cfrac{1}{q}\), se cumple la simétrica y con la multiplicación de los dos «\( q’s\)» correspondientes la transitiva.

  1. \( \forall n, m, l \in \mathbb{N}\) se tiene que \( n \cdot 1 = n, m \cdot 1 = m , l \cdot 1 = l \Rightarrow R^{n}G^{m}B^{l}\sim R^{n}G^{m}B^{l}\)
  2. \( R^{n}G^{m}B^{l}\) \( \sim \) \( R^{n’}G^{m’}B^{l’}\) \( \Rightarrow \) \( \exists q \in \mathbb{Q}^{*}\) \( /\ \) \( n \cdot q = {n’} \), \( m \cdot q = {m’} \), \( l \cdot q = {l’} \) como \( \frac{1}{q}\in\mathbb{Q}^{*}\Rightarrow n’\cdot\frac{1}{q}=n\:m’\cdot\frac{1}{q}=m\:l’\cdot\frac{1}{q}=l\Rightarrow R^{n’}G^{m’}B^{l’}\sim R^{n}G^{m}B^{l}\).
  3. Dados \( R^{n_{1}} G^{m_{1}} B^{l_{1}} \sim R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}} \) y \( R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}} \sim R^{n_{3}}G^{m_{3}}B^{l_{3}}\) entonces \( \exists q_{1},q_{2}\in\mathbb{Q}^{*}/n_{1}\cdot q_{1}=n_{2},m_{1}\cdot q_{1}=m_{2},l_{1}\cdot q_{1}=l_{2},n_{2}\cdot q_{2}=n_{3},\) \( m_{2}\cdot q_{2}=m_{3},l_{2}\cdot q_{2}=l_{3}\Rightarrow n_{1}\cdot q_{1}\cdot q_{2}=n_{3},m_{1}\cdot q_{1}\cdot q_{2}=m_{3},\) \( l_{1}\cdot q_{1}\cdot q_{2}=l_{3}\). Como \( q_{1}\cdot q_{2}\in\mathbb{Q}^{*}\Rightarrow R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}}\sim R^{n_{3}}G^{m_{3}}B^{l_{3}}\).

Dicho en palabras más comunes. Si tomo \( R\) y le sumo \( R\), tendré \( R\). Por tanto si tomo \( R^{2}G^{3}B^{5} \) será lo mismo que si multiplico por 2 todos los superíndices, \( R^{4}G^{6}B^{10} \). Sin embargo esta relación binaria de equivalencia no es compatible con la suma, \( + \), porque no se cumple:
\( \begin{array}{c}
R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}}\sim R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}}\\
R^{n_{3}}G^{m_{3}}B^{l_{3}}\sim R^{n_{4}}G^{m_{4}}B^{l_{4}}
\end{array} \) \( \Rightarrow \left( R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}}+R^{n_{3}}G^{m_{3}}B^{l_{3}} \right) \sim \left(R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}}+R^{n_{4}}G^{m_{4}}B^{l_{4}} \right)\)

Ejemplo:

Un caso donde se ve que no se cumple la condición anterior:

\( \cfrac{\begin{array}{ccc}
R^{1}G^{2}B^{3} & \sim & R^{2}G^{4}B^{6}\\
R^{3}G^{4}B^{5} & \sim & R^{9}G^{12}B^{15}
\end{array}}{\begin{array}{ccc}
R^{4}G^{6}B^{8} & \not\sim & R^{11}G^{16}B^{21}\end{array}} \)

Para expresar que tendré en cuenta la relación binaria de equivalencia definida en el conjunto \( \mathbb{L}\), lo denotaré como \( \mathbb{L}_{r}\). Ambos contienen a todos los colores luz que se puedan hacer, ya que me baso en la idea que ya he dicho de que todo color luz puede ser generado por la unión de rayos de los colores \( R \), \( G \)  y \( B \). No obstante en el segundo conjunto, \( \mathbb{L}_{r} \), no están repetidos como lo están en el primero, \( \mathbb{L} \). Esta afirmación es intuitiva.
A continuación definiré una nueva suma en \( \mathbb{L}_{r} \). Para distinguirla de la de antes la notaré como \( \oplus \).

Definición:

Sean \( R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}},R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}} \in \mathbb{L}_{r}\) defino su suma, \( \oplus\), como: \( R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}} \oplus R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}} = R^{n_{1} \cdot max_{2} + n_{2} \cdot max_{1}} G^{m_{1} \cdot max_{2}+m_{2} \cdot max_{1}}B^{l_{1} \cdot max_{2} + l_{2}\cdot max_{1}}\), donde \( max_{1} = \max \left \{ n_{1}, m_{1}, l_{1} \right \}\) y \( max_{2}= \max \left \{ n_{2}, m_{2}, l_{2} \right \}\).

Proposición

La nueva suma, \( \oplus\), sí es compatible con la relación binaria de equivalencia definida.

Prueba:

Como el máximo será uno de los tres números, voy a suponer que es \( l_{i}\) según sea la terna. Veamos que:
\( \cfrac{\begin{array}{ccc}
R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}} & \sim & R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}}\\
R^{n_{3}}G^{m_{3}}B^{l_{3}} & \sim & R^{n_{4}}G^{m_{4}}B^{l_{4}}
\end{array}}{\begin{array}{ccc}
R^{n_{1}\cdot max_{3}+n_{3}\cdot max_{1}}G^{m_{1}\cdot max_{3}+m_{3}\cdot max_{1}}B^{l_{1}\cdot max_{3}+l_{3}\cdot max_{1}} & \sim & R^{n_{2}\cdot max_{4}+n_{4}\cdot max_{2}}G^{m_{2}\cdot max_{4}+m_{4}\cdot max_{2}}B^{l_{2}\cdot max_{4}+l_{4}\cdot max_{2}}\end{array}} \)
Sabemos que \( \exists q_{1} \in \mathbb{Q}^{*}/n_{1} \cdot q_{1} = n_{2}\) y \( \exists q_{3} \in \mathbb{Q}^{*}/n_{3} \cdot q_{3} = n_{4} \).
Como \( max_{i} = l_{i}\), \( R^{n_{2} \cdot l_{4} + n_{4} \cdot l_{2}} G^{m_{2} \cdot l_{4}+m_{4} \cdot l_{2}} B^{l_{2} \cdot l_{4}+l_{4} \cdot l_{2}} \, = \,R^{n_{1} \cdot q_{1} \cdot l_{3} \cdot q_{3}+n_{3} \cdot q_{3} \cdot l_{1} \cdot q_{1}} \ldots \,= \, R^{q_{1} \cdot q_{3}(n_{1} \cdot l_{3}+n_{3} \cdot l_{1})} \ldots \,= \,\) \( R^{q_{1}\cdot q_{3}(n_{1}\cdot max_{3}+n_{3}\cdot max_{1})} \ldots \sim R^{n_{1} \cdot max_{3} + n_{3} \cdot max_{1}} \ldots\)
\( \boxtimes \)
Afirmación: \( (\mathbb{L}_{r}, \oplus)\) es un monoide abeliano.

La geometría del color-luz

Jarrón

En los artículos anteriores se define el conjunto \( \mathbb{L}\), \( \mathbb{L}_{r}\), \( + \), \( \oplus\) (suma de colores-luz* sobre \( \mathbb{L}\) y \( \mathbb{L}_{r}\)). También he visto que (\( \mathbb{L}\), \( +\)) forma un monoide* abeliano (ente algebraico anterior al grupo abeliano). En este veremos la geometría que tiene el conjunto \( \mathbb{L}_{r} \).

En segundo de la licenciatura de matemáticas se estudia la geometría diferencial clásica donde se ve geometría intrínseca. Esta última trata de conocer la forma de un lugar geométrico (una variedad diferenciable) sin tener en cuenta que están incluidos en un espacio más grande. Por argumentos que a continuación explicaré no tendré en cuenta esta técnica.

El motivo de no usar dicha técnica se debe a que tengo es un ente discreto, es decir, numerable. \( \mathbb{L}_{r}\) es una partición (o visto de otra forma un subconjunto) de \( \mathbb{L}\) y éste último se puede identificar con \( \mathbb{N}\mathbb{\times N}\mathbb{\times N}=\mathbb{N}^{3} \), el cual es numerable. Por tanto los demás también son numerables. No confundir numerable con finito.

Lo que haré es dotarle de una forma que sea coherente con la manera en que se ha definido. Para ello partiré del hecho que se comporta como si tuviera tres dimensiones. Igual que \( \mathbb{R}^{3} \). Partiendo de las imágenes de abajo (la figura de la izquierda y la figura de la derecha).

Los ejes R-G-B en grises.
Los ejes de color* en el espacio tridimensional visto a 40º de giro.
Ejes R-G-B en grises.
Los ejes de color en el espacio tridimensional visto a 120º de giro.

Los ejes de las tres dimensiones del color vistos desde dos ángulos diferentes.

Una vez visto esto muchos pensarán en un retículo o malla de puntos equivalente a los puntos de \( \mathbb{N}^{3}\), pero no voy a hacer eso. Voy a basarme en el mismo sistema de la rosa de los vientos. Aquello de Norte, Sur, Este, Oeste, Sureste, …

Así que, a RG lo sitúo en el medio de R y G. Como SurEste, que estaba a la mitad de Sur y Este. Lo mismo con RB, a la mitad de R y de B. RG² lo sitúo a la mitad de RG y G. Imaginen el resultado. El próximo artículo consistirá en la solución.

Los colores en su lugar

En este artículo ofrezco una aproximación al hecho de colocar todos los colores* en un lugar donde les corresponda tal y como he explicado anteriormente.

Octavo de esfera con el subconjunto de los colore-luz.
Aproximación geométrica de la forma del subconjunto de los colores-luz obtenidos mediante el proceso explicado durante la primera entrega. ®

Debo decir que esta imagen y el objeto que representa están registrados como diseño industrial (los números de los diseños son 0523028 la figura de arriba y 0522861 la figura de abajo). Lo he hecho para poderla vender o ceder y obtener una recompensa económica para seguir adelante.

Esfera de colores resultado de repetir la aproximación geométrica.
Esfera inspirada en la aproximación geométrica del subconjunto de los colores-luz. ®

A partir de ella se puede hacer una esfera repitiendo ese cuadrante alrededor del origen.

Conclusiones

Una observación que salta a la vista es el hecho de no estar el negro ni los colores* oscuros. El negro es un color muy frecuente. Sin embargo su ausencia no invalida el modelo anterior. Con los colores-luz* R, G y B se generan toda esa gama. Obviamente no existe la luz negra. Aunque la ausencia de luz es el negro, aquí no se habla de la luz sino sólo de los colores de la luz. Una luz que no carezca de color, como he dicho, es transparente. La luz transparente es producida en este caso por los rayos que no inciden en la retina del ojo. Están, pero no alteran el color que se percibe.

No obstante me sigo preguntando si están todos los colores-luz. Se puede saber si acedemos al arco iris o al prisma. Ambos dan como resultado el espectro de la luz blanca. Veamos el resultado de un espectro en la figura de abajo.

Espectro de la luz blanca.
Espectro de la luz blanca.

Se puede apreciar a simple vista que están todos los colores. Sólo cambia un poco que en este último tiene más colores, pero si ese octavo de esfera (figura «Aproximación geométrica…») hubiera tenido más colores los incluiría. Lo que significa que no es una deficiencia del modelo sino de la implementación informática.

El gráfico anterior («Espectro…») se ha generado con R, un software estadístico, siguiendo el algoritmo de esta web. Si la visitamos se puede apreciar una diferencia entre la figura («Espectro…») y el espectro que ellos consiguen. Por lo que hace pensar que la función de R de los colores, rgb, debe mejorar.

Octavo de esfera con el subconjunto de los colore-luz.
Aproximación geométrica de la forma del subconjunto de los colores-luz obtenidos mediante el proceso explicado durante la primera entrega.®

Otra observación es el tipo de movimiento. Como es un monoide* no todo movimiento tiene simétrico. Lo que equivaldría a decir que sólo se puede ir hacia adelante. A lo sumo cabe la posibilidad de dar unos giro y otros y que estos te devuelvan al punto de partida. El ir hacia adelante solamente es algo que me recuerda al vivir. Sólo podemos sumar momentos y no se pueden restar ninguno. Lo que motiva a estudiar los monoides que parecen estar en el olvido.

Una observación más, para finalizar, relacionada con el movimiento. Este no sólo va hacia adelante forzosamente en la mayoría de casos sino que siempre queda a la mitad. Recordemos que el color suma lo situábamos en la mitad de los sumandos. Esto significa que habrá lugares donde nunca lleguemos, pero podremos estar tan cerca como queramos al sumar una y otra vez el mismo valor. Lo que sugiere definir una métrica y seguir en topología.

Aquí finaliza la primera entrega. Espero que les halla resultado atractivo. Que a unos les acerque al conocimiento de la realidad fuera de los números y a otros les acerque al mundo de las lógicas numéricas. Las matemáticas quizás actúen de luz iluminando partes de la realidad. En dicho caso, si la miramos nos molestarán, si las enfocamos donde no hay objetos, no iluminarán nada, ahora bien, si la utilizamos bien … ¡Qué bonita experiencia tendremos!

Esfera colores-luz interactiva

Abajo, como podéis ver, os dejo una imagen interactiva para que os hagáis una idea mejor de la esfera; resultado de repetir ocho veces la superficie que obtuve a partir del monoide* de los colores-luz*.


A continuación expongo el índice de la primera entrega para leer las entradas de una en una.

  1. Introducción
  2. Tipos y definición del color
  3. Discrepancia con Juan Carlos Sanz
  4. Los colores y la ciencia
  5. Álgebra
  6. La geometría
  7. El espacio geométrico
  8. Los modelos
  9. El color-luz
  10. Formalizando el monoide de los colores-luz
  11. La geometría del color-luz
  12. Los colores en su lugar
  13. Conclusiones
  14. Esfera colores-luz interactiva

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