Imagen de un espacio geométrico inspirado en la constelación de Orión.

El espacio geométrico

En geometría se estudia el espacio. El espacio que todos conocemos se le llama espacio euclidiano de dimensión 3. Este es cuadrado o llano. Cuando los astrónomos se preguntan si el universo es plano o curvo, lo que están intentando hacer es determinar en qué espacio geométrico vivimos. En tiempos de Newton el espacio euclidiano de dimensión 3 encajaba muy bien para lo que se quería obtener. Hoy en día, hemos avanzado y aspiramos a más, es cuando surge la duda anterior. Los geómetras han puesto al alcance de los interesados multitud de espacios geométricos, aunque no les han llamado así. Uno de los nombres es espacio afín, variedades diferenciables, geometría riemanniana, etc.

Ahora voy a centrarme en explicar cómo funciona el espacio. Un espacio está lleno de localizaciones. Estos son entendidos como puntos en donde podemos permanecer, situarnos y sobre todo de los que podemos abandonar y ocupar otros. Así el espacio geométrico es un conjunto de puntos donde es posible el movimiento. Aquí jugamos con dos conjuntos, el conjunto de localizaciones (que son los puntos) y el conjunto de movimientos que se pueden hacer. Es abstracto, pero funciona así.

Por ejemplo, imaginemos que tenemos el conjunto de localizaciones formadas por las casillas del tablero del ajedrez. Y tenemos sobre él sólo el alfil. Éste únicamente se puede mover por la diagonal, de modo que no puede cambiar el color de la casilla. Aquí se estaría definiendo un espacio geométrico muy peculiar el cual no he estudiado. Imaginemos que tenemos sobre el tablero una torre; se puede mover de lado o arriba y abajo. Aquí tendríamos otro espacio geométrico, que tampoco he estudiado en la facultad ni es muy necesario.

Dicho lo anterior estamos en disposición de entender que un conjunto de objetos puede ser un espacio geométrico si definimos unos movimientos a través de él. Si del objeto A se puede pasar al objeto B, del B al C y así indefinidamente, tendremos un espacio geométrico. Dicho de forma más técnica habría que hacer uso del álgebra porque, para ir bien, el conjunto de movimientos debe formar un ente algebraico (o tener una estructura algebraica). Para el caso del espacio afín euclidiano ese conjunto de movimientos debe formar un espacio vectorial y dos condiciones más que definen el movimiento en ese conjunto de puntos formados por la recta real, el plano, …

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