Formalizando

Formalizando el monoide de los colores-luz

En este artículo voy a decir lo mismo que en el anterior, pero de forma más formal. Doy por supuesto que todo color-luz puede ser producido mediante la ley de composición interna anteriormente explicada y los colores-luz básicos o primarios son R, G y B. Además, la suma del mismo color no da una especie de color doble, sino el mismo. Así que voy a expresar por R el formado sólo por rojo, RG el formado por un rayo rojo y otro rayo verde (green) … así sucesivamente hasta llegar a casos como R^{2}G^{5}B^{1} que es el resultado de sumar dos rayos rojos con cinco rayos verdes y uno azul.

Así que \mathbb{L} = \{R^{n}G^{m}B^{l}tales que n, m, l \in \mathbb{N} \}. Donde se entiende que RRGGRBGBBRR = R^{5}G^{3}B^{3}. Además el R^{0}G^{0}B^{0} sería el transparente. Con ello expreso que 0 \in \mathbb{N}.

Voy a seguir con la operación + de colores. De alguna forma ya la he tenido en cuenta al definir el conjunto de colores. Así R^{n}G^{m}B^{l}+R^{n'}G^{m'}B^{l'}=R^{n+n'}G^{m+m'}B^{l+l'}. A modo de ejemplo, téngase en cuenta lo siguiente: R^{2}G^{3}B^{1} + R^{1}G^{1}B^{2} = RRGGGB + RGBB = RRGGGBRGBB = R^{3} G^{4}B^{3} se puede decir que no es más que la yuxtaposición de letras. Que es lo mismo que hacemos con los rayos, ponerlos unos y otros iluminando la misma zona de blanco.

Las características que un monoide debe cumplir son las de existencia de elemento neutro, que es el R^{0}G^{0}B^{0}, y la asociativa. No es necesario un elemento simétrico. Además cumple la conmutativa que no es obligatorio y nos vendrá bien, generalmente. Estas características se demuestran fácilmente.

Es un buen momento para definir sobre \mathbb{L} la siguiente relación binaria de equivalencia:

R^{n}G^{m}B^{l} \simR^{n'}G^{m'}B^{l'} \Leftrightarrow \exists q \in \mathbb{Q}^{*}\, /\, n \cdot q=n'\:m\cdot q=m'\:l\cdot q=l'

es de equivalencia porque con q=1 cumple la reflexiva, con el inverso de q, \cfrac{1}{q}, se cumple la simétrica y con la multiplicación de los dos “q's” correspondientes la transitiva.

  1. \forall n, m, l \in \mathbb{N} se tiene que n \cdot 1 = n, m \cdot 1 = m , l \cdot 1 = l \Rightarrow R^{n}G^{m}B^{l}\sim R^{n}G^{m}B^{l}
  2. R^{n}G^{m}B^{l}\sim R^{n'}G^{m'}B^{l'}\Rightarrow \exists q \in \mathbb{Q}^{*}/\ n \cdot q = {n'} , m \cdot q = {m'} , l \cdot q = {l'}  como \frac{1}{q}\in\mathbb{Q}^{*}\Rightarrow n'\cdot\frac{1}{q}=n\:m'\cdot\frac{1}{q}=m\:l'\cdot\frac{1}{q}=l\Rightarrow R^{n'}G^{m'}B^{l'}\sim R^{n}G^{m}B^{l}.
  3. Dados R^{n_{1}} G^{m_{1}} B^{l_{1}} \sim R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}}  y R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}} \sim R^{n_{3}}G^{m_{3}}B^{l_{3}} entonces \exists q_{1},q_{2}\in\mathbb{Q}^{*}/n_{1}\cdot q_{1}=n_{2},m_{1}\cdot q_{1}=m_{2},l_{1}\cdot q_{1}=l_{2},n_{2}\cdot q_{2}=n_{3}, m_{2}\cdot q_{2}=m_{3},l_{2}\cdot q_{2}=l_{3}\Rightarrow n_{1}\cdot q_{1}\cdot q_{2}=n_{3},m_{1}\cdot q_{1}\cdot q_{2}=m_{3}, l_{1}\cdot q_{1}\cdot q_{2}=l_{3}. Como q_{1}\cdot q_{2}\in\mathbb{Q}^{*}\Rightarrow R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}}\sim R^{n_{3}}G^{m_{3}}B^{l_{3}}.

Dicho en palabras más comunes. Si tomo R y le sumo R, tendré R. Por tanto si tomo R^{2}G^{3}B^{5} será lo mismo que si multiplico por 2 todos los superíndices, R^{4}G^{6}B^{10} . Sin embargo esta relación binaria de equivalencia no es compatible con la suma, + , porque no se cumple:

\begin{array}{c}  R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}}\sim R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}}\\  R^{n_{3}}G^{m_{3}}B^{l_{3}}\sim R^{n_{4}}G^{m_{4}}B^{l_{4}}  \end{array} \Rightarrow \left( R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}}+R^{n_{3}}G^{m_{3}}B^{l_{3}} \right) \sim \left(R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}}+R^{n_{4}}G^{m_{4}}B^{l_{4}} \right)

Ejemplo:

Un caso donde se ve que no se cumple la condición anterior:

\cfrac{\begin{array}{ccc}  R^{1}G^{2}B^{3} & \sim & R^{2}G^{4}B^{6}\\  R^{3}G^{4}B^{5} & \sim & R^{9}G^{12}B^{15}  \end{array}}{\begin{array}{ccc}  R^{4}G^{6}B^{8} & \not\sim & R^{11}G^{16}B^{21}\end{array}} 

Para expresar que tendré en cuenta la relación binaria de equivalencia definida en el conjunto \mathbb{L}, lo denotaré como \mathbb{L}_{r}. Ambos contienen a todos los colores luz que se puedan hacer, ya que me baso en la idea que ya he dicho de que todo color luz puede ser generado por la unión de rayos de los colores R , G  y B . No obstante en el segundo conjunto, \mathbb{L}_{r} , no están repetidos como lo están en el primero, \mathbb{L} . Esta afirmación es intuitiva.

A continuación definiré una nueva suma en \mathbb{L}_{r} . Para distinguirla de la de antes la notaré como \oplus .

Definición:

Sean R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}},R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}} \in \mathbb{L}_{r} defino su suma, \oplus, como: R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}} \oplus R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}} = R^{n_{1} \cdot max_{2} + n_{2} \cdot max_{1}} G^{m_{1} \cdot max_{2}+m_{2} \cdot max_{1}}B^{l_{1} \cdot max_{2} + l_{2}\cdot max_{1}}, donde max_{1} = \max \left \{ n_{1}, m_{1}, l_{1} \right \} y max_{2}= \max \left \{ n_{2}, m_{2}, l_{2} \right \}.

Proposición

La nueva suma, \oplus, sí es compatible con la relación binaria de equivalencia definida.

Prueba:

Como el máximo será uno de los tres números, voy a suponer que es l_{i} según sea la terna. Veamos que:

\cfrac{\begin{array}{ccc}  R^{n_{1}}G^{m_{1}}B^{l_{1}} & \sim & R^{n_{2}}G^{m_{2}}B^{l_{2}}\\  R^{n_{3}}G^{m_{3}}B^{l_{3}} & \sim & R^{n_{4}}G^{m_{4}}B^{l_{4}}  \end{array}}{\begin{array}{ccc}  R^{n_{1}\cdot max_{3}+n_{3}\cdot max_{1}}G^{m_{1}\cdot max_{3}+m_{3}\cdot max_{1}}B^{l_{1}\cdot max_{3}+l_{3}\cdot max_{1}} & \sim & R^{n_{2}\cdot max_{4}+n_{4}\cdot max_{2}}G^{m_{2}\cdot max_{4}+m_{4}\cdot max_{2}}B^{l_{2}\cdot max_{4}+l_{4}\cdot max_{2}}\end{array}} 

Sabemos que \exists q_{1} \in \mathbb{Q}^{*}/n_{1} \cdot q_{1} = n_{2} y \exists q_{3} \in \mathbb{Q}^{*}/n_{3} \cdot q_{3} = n_{4} .

Como max_{i} = l_{i}, R^{n_{2} \cdot l_{4} + n_{4} \cdot l_{2}} G^{m_{2} \cdot l_{4}+m_{4} \cdot l_{2}} B^{l_{2} \cdot l_{4}+l_{4} \cdot l_{2}} \, = \,R^{n_{1} \cdot q_{1} \cdot l_{3} \cdot q_{3}+n_{3} \cdot q_{3} \cdot l_{1} \cdot q_{1}} \ldots \,= \, R^{q_{1} \cdot q_{3}(n_{1} \cdot l_{3}+n_{3} \cdot l_{1})} \ldots \,= \,R^{q_{1}\cdot q_{3}(n_{1}\cdot max_{3}+n_{3}\cdot max_{1})} \ldots \sim R^{n_{1} \cdot max_{3} + n_{3} \cdot max_{1}} \ldots

\boxtimes 

Afirmación: (\mathbb{L}_{r}, \oplus) es un monoide abeliano.

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