Quinta entrega

Las formas se pueden mezclar entre ellas y dar lugar a otras formas. Los informáticos han desarrollado una técnica, el morphing, que permite la mezcla de rostros de personas. Pero, ¿se puede hacer lo mismo de forma algebraica? ¿Se pueden sumar entes matemáticos de manera que sea lo mismo que mezclar formas? ¿Cuál sería el resultado de sumar rectángulos diferentes?

Todos los objetos materiales que conocemos tienen una forma en concreto. Los seres vivos no escapan a dicha condición como hemos visto en Las formas naturales. Por razones de supervivencia, la descendencia adopta, en muchos casos, formas entremezcladas pertenecientes a sus progenitores.

Los seres vivos tienen en su interior su forma codificada en el ADN. Ello me hace pensar que existe un mecanismo independientemente de la intuición de cada uno que nos permite hacer mestizajes entre las apariencias visuales. Por ello, creo que hay una matemática detrás.

Para llegar a esa matemática, primero debemos saber cuando decimos que dos formas son iguales, para ello necesitamos establecer cuando un criterio es de igualación. Tenemos la suerte que este camino ya ha sido realizado. A continuación, os hablo de las leyes de igualación.

Las leyes de igualación

En innumerables ocasiones necesitamos comparar dos objetos para decir si son iguales. Llegaremos a dicha conclusión si vemos que se cumple cierto criterio. Por ejemplo, puedo tomar dos monedas y compararlas entre sí para decir que su valor es el mismo, 50cts, y, por tanto, decir que las monedas son iguales.

Existe un criterio para igualar objetos que casi no se usa: el absoluto. Este criterio exige que se compartan todas las características entre los dos objetos. Ello implica, en muchos casos, observar una infinidad de rasgos, algo materialmente imposible. Pero, ¿cuando se puede decir que un criterio es de igualación?¿Qué leyes debe cumplir un criterio para ser de igualación?

El criterio absoluto debe cumplir dichas leyes. Además, otros criterios no absolutos, también deben cumplir esas leyes. Aquí trataremos de partir de lo más simple y llegar a lo más complejo, si es necesario, para que no quede ninguna ley por enunciar. A veces, llegar a ese nivel de sencillez es sumamente difícil.

La primera ley obvia y que no puede faltar es la siguiente: la comparación de cualquier objeto con sigo mismo debe de dar un resultado afirmativo, es decir, el criterio de igualación debe decir que todo objeto es igual a sí mismo. Sin esta ley, el criterio absoluto no sería un criterio de igualación, algo que no estamos dispuestos a asumir. A esta ley se le llama reflexiva y, en notación matemática, es:

• \(a\Re a,\:\forall a\in A\)

La segunda ley, también obvia, nos dice que el criterio debe dar el mismo resultado tanto si toma uno primero y luego otro, como si se toma al revés, es decir, la simetría: si comparo a con b debe dar lo mismo que si comparo b con a. Puede parecer absurda esta ley, pero siempre observamos primero un objeto y luego otro, si el orden influyese, no sería un buen criterio. Esta es la ley de simetría y su notación es:

• \(a\Re b\rightarrow b\Re a,\:\forall a,b\in A\)

La tercera ley recibe el nombre de transitiva. Como se ha visto, necesitamos comparar los objetos de dos en dos, por lo que debemos de asegurarnos que, dado un grupo de elementos iguales, siguen siendo iguales independientemente de cómo los emparejemos. Los matemáticos lo escribimos así:

• \(a\Re b,\,b\Re c\rightarrow a\Re c,\:\forall a,b,c\in A\)

Por último, me queda por argumentar que no son necesarias más leyes que exigir a los criterios de igualación candidatos. Tristemente, debo decir que hasta aquí llega mi bagaje matemático. Solo puedo afirmar que la experiencia nos lleva a decir que a 2018 no ha sido necesaria una cuarta condición. Por tanto, nos conformamos con estas tres.

Estas leyes no se obtienen a partir de algún principio, solo son argumentadas. Tampoco son leyes que se cumplen forzosamente, sino que deben cumplirse. Por tanto, debemos diferenciarlas de las demás leyes y las llamaremos axiomas. Por otro lado, se basan en comparaciones dos a dos, por lo que establece una relación entre dos objetos, ello nos lleva a decir que “definen” una relación binaria. Además de binaria, establece cuando un criterio es de igualación o cuando esa relación nos dice que dos objetos son equivalentes. Por todo lo anterior, las leyes de igualación las llamamos, en matemáticas, relaciones binarias de equivalencia (R.B.E.).

Axiomas de una relación binaria de equivalencia:

1. \(a\Re a,\:\forall a\in A\)
2. \(a\Re b\rightarrow b\Re a,\:\forall a,b\in A\)
3. \(a\Re b,\,b\Re c\rightarrow a\Re c,\:\forall a,b,c\in A\)

Los números racionales

Un ejemplo de relación binaria de equivalencia o como lo llamaba en este texto, criterio de igualación, reside en los racionales. Todos hemos visto en la escuela que \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\),\(\frac{4}{2}=\frac{2}{1}\) porque se cumple \(\exists r\in\mathbb{Q}/2r=4\) y\(\exists s\in\mathbb{Q}/3s=6\), es decir, si hacemos la división que representa la fracción, el resultado es el mismo. También se puede decir que dos fracciones son equivalentes cuando se cumple el producto cruzado, i.e., \(\tfrac{n_{1}}{m_{1}}=\tfrac{n_{2}}{m_{2}}\leftrightarrow n_{1}m_{2}=n_{2}m_{1}\forall n_{1},n_{2},m_{1},m_{2}\in\mathbb{N}\). Veamos que es una R.B.E.:

1. \(a\Re a,\:\forall a\in A\)
   \(nm=nm\rightarrow\frac{n}{m}=\frac{n}{m}\forall n,m\in\mathbb{N}\)
   Sí se cumple.
2. \(a\Re b\rightarrow b\Re a,\:\forall a,b\in A\)
   \(\frac{n_{1}}{m_{1}}=\frac{n_{2}}{m_{2}}\rightarrow n_{1}m_{2}=n_{2}m_{1}\rightarrow\) \(n_{2}m_{1}=n_{1}m_{2}\rightarrow\frac{n_{2}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{m_{1}}\)
   Sí se cumple.
3. \(a\Re b,\,b\Re c\rightarrow a\Re c,\:\forall a,b,c\in A\)
   \(\frac{n_{1}}{m_{1}}=\frac{n_{2}}{m_{2}},\frac{n_{2}}{m_{2}}=\frac{n_{3}}{m_{3}}\rightarrow\)\(n_{1}m_{2}=n_{2}m_{1},n_{2}m_{3}=n_{3}m_{2}\rightarrow\)
   \(n_{1}=n_{3}\frac{m_{1}}{m_{3}}\rightarrow\) \(n_{1}m_{3}=n_{3}m_{1}\rightarrow\frac{n_{1}}{m_{1}}=\frac{n_{3}}{m_{3}}\)
   Sí se cumple.

No es muy fácil ver este tipo de razonamiento formal en bachiller por lo que puede asustar a muchos. No obstante, no es necesario entenderlo, basta con verlo y así tener una idea de cómo trabajamos los matemáticos. Es igual que en lógica, pero con letras que representan números y muchos símbolos más.

Este concepto es crucial en matemáticas. Como todos, en primaria, aprendimos que no podemos sumar peras con naranjas porque son objetos distintos. Pero desde otro punto de vista, podemos decir que son equivalentes porque son frutas. En el caso anterior ya podemos sumar 2 frutas (que pueden ser dos peras) con dos frutas más (que pueden ser naranjas). El criterio de ser fruta cumple los axiomas de la relación binaria de equivalencia.

Por ello, para sumar formas, primero hay que tener un criterio que nos diga qué tipo de formas son iguales. Luego hay que obtener una suma que cumpla los axiomas de ley de composición interna* (LCI) y finalmente que tenga un sentido para la intuición humana. Por el momento, si tienes curiosidad de alguna cosa espero que la comentes así como las dudas que puedan surgir.

Aquí mostraré cómo se pueden mezclar cuadrados. Dejaré en el aire si es la única suma posible porque me basta con tener una. Los cuadrados son cuadriláteros regulares cuyos lados son iguales.

Sea \(C=\{cuadrados\}\), si \(c_{i}\in C\), donde \(i=1,2\), puedo expresar el cuadrado en notación vectorial, \(c_{i}=(a_{i},a_{i})\) donde \(a_{i}\in\mathbb{R}^{+}\).

Defino la suma de cuadrados, \(\oplus\), de la siguiente manera:

\(\begin{array}{ccccccc} \oplus & : & C & \times & C & \rightarrow & C\\
& & (c_{1} & , & c_{2}) & \mapsto & c_{3}=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right) \end{array}\)

Veamos que \(\left(C,\oplus\right)\) es un monoide abeliano.

• Veamos que es una Ley de Composición Interna:
  Si \( c_{3}=c_{1}\oplus c_{2}\), entonces \(c_{3}\in C, \forall c_{i}\in C\)?\(c_{3}=c_{1}\oplus c_{2}\Rightarrow c_{3}=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)\Rightarrow c_{3}\in C\) porque sus dos coordenadas son iguales.
• Veamos que cumple con la asociativa
  Sea \(c_{i}\in C\),\(\:i=1,2,3\).
  Entonces: \((c_{1}\oplus c_{2})\oplus c_{3}=\)
  \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)\oplus\left(a_{3},a_{3}\right)=\)
  \(\left(\sqrt{\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)^{2}+a_{3}^{2}},…\right)=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}},…\right)=\)
  \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\right)^{2}},…\right)=(a_{1},a_{1})\oplus\left(\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\right)^{2},…\right)=\)
  \(c_{1}\oplus(c_{2}+c_{3})\).
• Veamos cuál es el neutro.
  \((0,0)\in C\) es el neutro.

Aunque el neutro es un punto, tiene las dos coordenadas iguales y es conveniente considerarlo como el cuadrado nulo.

• Por último, la conmutativa
  \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)=\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}},\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}}\right)\)

\(\blacksquare\)

Esta es una entrada con mucha notación matemática. Lo que viene a decir es que los cuadrados se pueden sumar de forma rigurosa, no solo intuitivamente. En fin, un paso más para llegar a la meta.

La suma de rectángulos es una generalización de la suma de cuadrados. Veámoslo:

Sea \(R\) el conjunto formado por todos los rectángulos. En él defino la R.B.E. siguiente:
Dado un \(i\in\{1,2\}\), \(r_{i}\in R\) tales que, si sus lados son \(a_i, b_i\),

\(r_{1}\sim r_{2}\longleftrightarrow\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}\).

Es fácil demostrar que es una relación binaria de equivalencia porque se basa en una igualdad. Esta R.B.E. se inspira en la semejanza de triángulos. A las clases de equivalencia las denotaré, [a,b] donde a representa la altura y b, la base. No confundamos con (a,b) que sería un caso concreto (un rectángulo) de la clase (de rectángulos equivalentes) [a,b]. En cada clase de equivalencia podemos definir una suma entre los rectángulos de manera que la suma es otro rectángulo de la clase. Esto lo conseguiremos con la siguiente suma:

\((a_{1},b_{1})\oplus(a_{2},b_{2})=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)\)

donde \((a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2})\in[a,b].\)

1. Veamos que es una ley de composición interna.
   1. Queremos que: \(A_{3}=A_{1}+A_{2}\).
   2. Queremos que \(\frac{a_{3}}{b_{3}}=\lambda\), donde \(\lambda=\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}\).
   3. Entonces:
      \(\frac{a_{3}}{b_{3}}=\frac{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}{\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}=\sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}=\sqrt{\frac{\lambda^{2}b_{1}^{2}+\lambda^{2}b_{2}^{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}=\lambda\)
      Como: \(A_{1}=a_{1}b_{1}, A_{2}=a_{2}b_{2}, A_{3}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=\)
      \(\lambda b_{1}b_{1}+\lambda b_{2}b_{2}=\lambda\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)=\)
      \(\lambda b_{3}^{2}=\frac{a_{3}}{b_{3}}b_{3}^{2}=a_{3}b_{3}\).
   4. Por tanto: \(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=a_{3}b_{3}\Rightarrow A_{3}=A_{1}+A_{2}\)
2. Veamos que es asociativa.
   Sea \(r_{i}\in R\), donde \(i=1,2,3\).
   Entonces \((r_{1}\oplus r_{2})\oplus \)
   \(r_{3}=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)\oplus(a_{3},b_{3})=\)
   \(\left(\sqrt{\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)^{2}+a_{3}^{2}},\sqrt{\left(\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)^{2}+b_{3}^{2}}\right)=\)
   \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}\right)=\cdots\)
3. Veamos que tiene elemento neutro.
   \((0,0)\in R\) es el neutro.
   Aunque el neutro es un punto, tiene las dos coordenadas con la proporción que queramos. No veo ningún impedimento para considerarlo un rectángulo (degenerado).
4. Veamos que es abeliano.
   \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)=\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}},\sqrt{b_{2}^{2}+b_{1}^{2}}\right)\)

Ejemplo gráfico de  una suma de dos rectángulos.

En la figura de arriba los lectores pueden observar como el área de B es añadida al área de A de forma que se conserva su proporción base/altura. Ello nos da un rectángulo de la misma familia o clase de equivalencia. Por tanto, hemos sumado dos rectángulos respetando que son entes iguales de una misma familia, es decir, hemos sumado manzanas con manzanas.

Usaré el nombre de cuadriláteros ortogonales para englobar al conjunto de los cuadrados y los rectángulos porque todos sus ángulos son de 90°. Si tomo solo los que están inscritos dentro de una circunferencia de radio 1, tendré a los representantes de cada una de las clases de equivalencia que definí en el artículo anterior. Mientras antes demostraba que eran objetos iguales y los podíamos sumar, este artículo se limita al plano intuitivo.

Disponemos una manera geométrica para sumar a todos estos cuadriláteros. Para ello debemos tener un punto de vista para considerar a todos los cuadriláteros ortogonales como entes iguales. Este punto de vista lo conseguimos cuando identificamos un punto de la circunferencia como un cuadrilátero ortogonal; ese punto es un vértice y los demás, son el resultado de las simetrías con los ejes. Como se puede ver en las siguientes figuras.

Con esta identificación tendríamos que los podemos sumar porque el resultado sería otro punto. No obstante, más que un punto de la circunferencia sería el vector posición de dicho punto. Se suman los vectores y se reduce a norma uno para tenerlo en la circunferencia. En las imágenes siguientes les muestro como funciona la suma dentro de una circunferencia.

Dados dos vectores posición de dos puntos de la circunferencia o de radio uno definen otro vector posición del punto medio en la circunferencia, es decir, la intersección entre la bisectriz de los vectores iniciales y la circunferencia. Todo lo que he dicho es intuitivo y espero formalizarlo más adelante.

Un cuadrilátero ortogonal se caracteriza por tener cuatro vértices y por tener todos sus ángulos rectangulares. Si los vértices están debidamente bien identificados con los extremos de vectores de \(\mathbb{R}^{2}\) y suponemos que son unidos por un segmento rectilíneo, tendremos que dichos vectores caracterizan al cuadrilátero. Por ello voy a definir un cuadrilátero ortogonal de la siguiente manera:

Definición: Sea \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\) defino como cuadrilátero ortogonal al conjunto formado por los vectores simétricos a \((x,y)\) respecto los ejes, es decir, \(\left\{ (x,y),(-x,y),(x,-y),(-x,-y)\right\}\).

Observación: Sean b y a la base y la altura de cualquier cuadrilátero ortogonal, entonces tenemos que existe un vector \((x_{0},y_{0})\) tal que \(2x_{0}=b\) y \(2y_{0}=a\).

Veamos un ejemplo gráfico:

Definición: Defino como cuadriláteros ortogonales degenerados a todo cuadrilátero que tenga una base nula o una altura 0.

Sea \(\mathbb{R}^{2}\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\). Defino la relación binaria de equivalencia siguiente \((x_{1},y_{1})\sim(x_{2},y_{2})\) sii \(\mid x_{1}\mid=\mid x_{2}\mid y \mid y_{1}\mid=\mid y_{2}\mid\). Esto es lo mismo que decir que dos elementos de \mathbb{R}^{2} son equivalentes si y solo si sus extremos son vértices del mismo cuadrilátero ortogonal (degenerado o no).

Propiedad: Veamos que sí es una R.B.E.

Para que sea una R.B.E debe cumplir estas tres condiciones.

• Reflexiva. \((x_{1},y_{1})\sim(x_{1},y_{1})\) porque \(\left|x_{1}\right|=\left|x_{1}\right| y \left|y_{1}\right|=\left|y_{1}\right| \).
• Simétrica. Si \((x_{1},y_{1})\sim(x_{2},y_{2})\), entonces \((x_{2},y_{2})\sim(x_{1},y_{1})\). Si \(\left|x_{1}\right|=\left|x_{2}\right| y \left|y_{1}\right|=\mid y_{2}\mid\), entonces \(\left|x_{2}\right|=\left|x_{1}\right| y \left|y_{2}\right|=\left|y_{1}\right|\).
• Transitiva. Si \((x_{1},y_{1})\sim(x_{2},y_{2}) y (x_{2},y_{2})\sim(x_{3},y_{3})\) entonces \(\left(x_{1},y_{1}\right)\sim\left(x_{3},y_{3}\right)\). \(\left|x_{1}\right|=\left|x_{2}\right|=\left|x_{3}\right| y \left|y_{1}\right|=\left|y_{2}\right|=\left|y_{3}\right|\).

La demostración anterior por evidente que sea es necesaria para ver que desde cierta perspectiva se pueden sumar independientemente del vector que tomemos, si consideramos a \(\mathbb{R}^{2}\) un espacio vectorial, o elemento de la clase de equivalencia.

Considero \({\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\), es decir, el conjunto de clases de \({\mathbb{R}^{2}}\) definidas por la equivalencia anterior, para definir la suma como sigue

\(\begin{array}{cccccc}
\oplus: & {\mathbb{R}^{2}}/{\sim} & \times & {\mathbb{R}^{2}}/{\sim} & \longrightarrow & {\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\\
& ([(x_{1},y_{1})] & , & [(x_{2},y_{2})]) & \longmapsto & \left[\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right]
\end{array}\).

Observación: Es evidente que la suma anterior no depende del elemento elegido de la clase, ya que se eleva al cuadrado cada una de las coordenadas del vértice elegido.

Propiedad: La suma anterior es una L.C.I.

Como \((x_{1},x_{2})\) y \((y_{1},y_{2})\) pertenecen a\(\mathbb{R}^{2}\) tenemos que\(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\in\mathbb{R}\) y\(\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\in\mathbb{R}\). Entonces\(\left[\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right]\in{\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\), ya que,\(\left[\left(b,a\right)\right]=\left\{ \left(b,a\right),\left(-b,a\right),\left(b,-a\right),\left(-b,-a\right)\right\}\).

Con todo lo anterior he conseguido que cada vector se identifique con un cuadrilátero. He definido una suma diferente entre los vectores de manera que coincide con la suma de áreas cuando estos dos son semejantes (según demostraba en Suma de formas rectangulares), ya que he tomado la misma suma. No obstante, si los cuadriláteros no son semejantes, esto no ocurre.

Veamos un ejemplo de esta suma.

En la imagen anterior podemos observar tres cuadriláteros ortogonales. Si nos fijamos en sus vértices superiores de la derecha, el del medio es del cuadrilátero suma. Este no forma parte de ningún punto intermedio de la recta que une a los vértices respectivos de los cuadriláteros sumados. También se ve claramente que ningún par de los tres cuadriláteros está inscrito en una misma circunferencia. Observe el lector que al igual que el rectángulo vertical está inscrito en una circunferencia, se puede inscribir cualquier cuadrilátero dentro de una circunferencia dada.

Propiedad: El área del cuadriláteros suma no siempre es la suma de las áreas de los cuadriláteros sumados.

Para demostrarlo bastará con un caso o, como se suele decir en el argot matemático, un contraejemplo. Considero \(\left[(2,3)\right],\left[(4,5)\right]\in{\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\). Sus áreas son 24 y 80 respectivamente. Su cuadrilátero suma es\(\left[\left(\sqrt{4+16},\sqrt{9+25}\right)\right]=\left[(\sqrt{20},6)\right]\) cuya área es \(4\sqrt{720}\simeq107.33\neq104\).

Acabar aquí parece un final triste, pero en el próximo artículo veremos más. Continuara…

En los últimos apartados de la quinta entrega describo una suma de cuadriláteros cuyos vértices forman parte de la circunferencia de radio uno. Veamos que este conjunto existe y cuales son sus peculiaridades.

Sea \(\left[\left(x,y\right)\right]\in{\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\), entonces defino su unitario a \(\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\), donde\(\left\Vert (x,y)\right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}}\). Al conjunto de todos los cuadriláteros unitarios los representaré por la letra\(\mathcal{U}\).

Creo que todos coincidiremos en afirmar que para cada elemento de \({\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\) hay uno y solo uno que es unitario. A partir de ahora me quedo con este.

Resulta fácil ver que la definición de unitario no depende del elemento elegido, ya que se eleva al cuadrado. Sin embargo, estos elemento no son una “sub-estructura” algebraica de la anterior debido a que su suma deja de ser unitaria.

La suma de unitarios según la suma anterior no es una L.C.I. en\(\mathcal{U}\).

Sea\(\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\in\mathcal{U}\), entonces:

\(\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\oplus\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}+\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}+\left(\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}}\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{2\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}},\sqrt{2\left(\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}}\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{2}\frac{\left|x\right|}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\sqrt{2}\frac{\left|y\right|}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\sqrt{2}\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\)
Por tanto tenemos que \(\sqrt{2}\left\Vert \left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right\Vert =\sqrt{2}\).

Así concluyo que la suma no pertenece a \(\mathcal{U}\).

Delante este inconveniente no he encontrado otro remedio que el definir una nueva suma la cual sí se mantenga dentro de la circunferencia unitaria.

Sea \(\left[\left(\frac{x_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert },\frac{y_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert }\right)\right],\left[\left(\frac{x_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert },\frac{y_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert }\right)\right]\mathcal{\in U}\), defino una suma entre ellos como sigue:

\(\begin{array}{cccccc}
\boxplus: & \mathcal{U} & \times & \mathcal{U} & \longrightarrow & \mathcal{U}\\
& ([(x_{1},y_{1})] & , & [(x_{2},y_{2})]) & \longmapsto & \left[\left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right]
\end{array}\)

\(\left(\mathcal{U},\boxplus\right)\) es una estructura algebraica no asociativa.

Veamos primero que \(\boxplus\) es una L.C.I.

Sea \(\left[\left(\frac{x_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert },\frac{y_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert }\right)\right],\left[\left(\frac{x_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert },\frac{y_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert }\right)\right]\mathcal{\in U}\), entonces es cierto que \(\left[\left(\frac{x_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert },\frac{y_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{x_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert },\frac{y_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert }\right)\right]\in\mathcal{U}\).

Veamos que\(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right\Vert =1\).

\(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right\Vert = \\
\sqrt{\left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)^{2}} = \\
=\sqrt{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}+\frac{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}} = 1\)

Por tanto, sí se verifica que la suma es unitaria y por ello es una L.C.I.

En segundo lugar veamos que no cumple la asociativa. Para ello me bastará con un contraejemplo.

Veamos que \(\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right],\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right],\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]\in\mathcal{U}\).

\(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right\Vert =\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}=1\) \(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right\Vert =\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}=1\) \(\left\Vert \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\Vert =\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}=1\)

Así tenemos tres elementos del mismo conjunto,ie, de \(\mathcal{U}\).

\(\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\boxplus\left(\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]\right) = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right] \) \(\left(\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right]\right)\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}},\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}},\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}}\right)\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{5}{4}},\sqrt{\frac{3}{4}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{5}{4}},\sqrt{\frac{3}{4}}\right)\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{3}{4}}},\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{3}{4}}}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{\sqrt{2}}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{40}}{8},\frac{\sqrt{24}}{8}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{40}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{40}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{24}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{24}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{40}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{24}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{40}{64}+\frac{1}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{40}{64}+\frac{1}{4}},\sqrt{\frac{24}{64}+\frac{3}{4}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{24}{64}+\frac{3}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{40}{64}+\frac{1}{4}},\sqrt{\frac{24}{64}+\frac{3}{4}}\right)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{41}{68}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{41}{68}},\sqrt{\frac{27}{68}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{27}{68}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{41}{68}},\sqrt{\frac{27}{68}}\right)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{41}{68}}}{\sqrt{\frac{41+27}{68+68}}},\frac{\sqrt{\frac{27}{68}}}{\sqrt{\frac{41+27}{68+68}}}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{41}{68}}}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{\frac{27}{68}}}{\sqrt{2}}\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{\frac{41}{136}},\sqrt{\frac{27}{136}}\right)\right]\)

Si \(\left[\left(x_{1},y_{1}\right)\right],\left[\left(x_{2},y_{2}\right)\right]\in\mathcal{U}\) y ,\(\left[\left(x_{3},y_{3}\right)\right]=\left[\left(x_{1}y_{1}\right)\right]\oplus\left[\left(x_{2},y_{2}\right)\right]\), entonces\(\left\Vert \left(x_{3},y_{3}\right)\right\Vert =\sqrt{2}\).

Como \(\left\Vert \left(x,y\right)\right\Vert =1\Rightarrow\sqrt{x^{2}+y^{2}}=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}=1 y x_{3}=\sqrt{x_{1}+x_{2}},y_{3}=\sqrt{y_{1}+y_{2}}\), se tenemos que:

\(\left\Vert \left(x_{3},y_{3}\right)\right\Vert = \\
\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert = \\
\sqrt{\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right)^{2}+\left(\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)^{2}} = \\
\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}} = \\
\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} = \\
\sqrt{1+1} = \\
\sqrt{2}\).

\(\left[\left(x_{1},y_{1}\right)\right]\boxplus\left[\left(x_{2},y_{2}\right)\right]=\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{x_{1}+x_{2}},\sqrt{y_{1}+y_{2}}\right)\right]\)

Así que podemos decir que hemos conseguido, si cuento con la aprobación del lector para hablar en plural, un conjunto, \(\mathcal{U}\), de cuadriláteros únicos, desde el punto de vista de la semejanza, con una estructura algebraica no asociativa, no confundir con «álgebras no asociativas», que me permite sumar unos cuadriláteros con otros.

La suma entre el rectángulo \(\left[\left(\frac{\sqrt{65}}{65},\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)\right]\) y \(\left[\left(\frac{8\sqrt{65}}{65},\frac{\sqrt{65}}{65}\right)\right] es \left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\).

\(\left[\left(\frac{\sqrt{65}}{65},\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{8\sqrt{65}}{65},\frac{\sqrt{65}}{65}\right)\right] = \\
\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{65}}{65}\right)^{2}+\left(\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{65}}{65}\right)^{2}}\right)\right] = \\
\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{\frac{65}{65^{2}}+\frac{64\cdot65}{65^{2}}},\sqrt{\frac{64\cdot65}{65^{2}}+\frac{65}{65^{2}}}\right)\right] = \\
\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{\frac{65\cdot65}{65^{2}}},\sqrt{\frac{65\cdot65}{65^{2}}}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\).

Todo lo anterior lo podemos ver de forma gráfica en la imagen siguiente. Los dos rectángulos elegidos han sido fuertemente diferenciados; siendo uno muy plano y el otro muy alto. Su suma nos da el cuadrado. El cuadrado es la suma de dos rectángulos cuyos vectores tengan sus coordenadas intercambiadas.

Para finalizar, comentaré que tenemos un inconveniente: no se cumple la asociativa en \(\mathcal{U}\). Esta propiedad, la asociativa, es una condición muy querida entre los amantes al álgebra. Tan querida que me resulta muy extraño encontrar un trabajo sobre una estructura no asociativa, no confundir con un álgebra no asociativa. Todo esto no debe desmoronarnos. Todo lo contrario, ello significa que tenemos trabajo para rato.