Quinta entrega

Primero, lo prioritario

Monigote mostrando un trabajo hecho con el ordenador a otros dos monigotes de forma simpática.
Esta página debería ser el índice de la quinta entrega, si siguiese mi pauta de publicación. Sin embargo, debo priorizar la comunicación de algunos de los resultados, frutos de esta actividad bloguera. En el último curso del Máster de Bioestadística un profesor nos dijo con otras palabras:
“El científico tiene la obligación moral de compartir sus hallazgos.”
Me convenció. Sí. Aunque todos desembolsamos de nuestra parte dinero, tiempo y esfuerzo… la sociedad también ha hecho posible que llegásemos a ser científicos. Además, si conseguimos hacer buenos aportes sucederá el efecto contrario o inverso: obtener lo invertido inicialmente (dinero, tiempo, esfuerzo…) de regreso en proporción beneficiosa. Una forma de comprobar que los aportes son buenos, según está organizada la sociedad científica de hoy en día, es mediante la comunicación a través de una revista especializada en el tema, en mi caso este tema es colorimetría. Así que, me centraré en escribir y publicar un artículo. Una vez escrito, si no es publicado, entenderé que las aportaciones deben ser más relevantes. Esto no es más que seguir con el empeño de intentarlo. No se trata de fracaso o éxito, sino de seguir mejorando las técnicas desarrolladas personalmente y esperar su fruto. Todo lo anterior no significa que dejaré de hacer publicaciones. A partir de hoy, las publicaciones en viernes se van de vacaciones y sigo con las del martes. Así que, te espero los martes a las 17:00. PD: Ahora mismo estoy pensando en publicar en una revista de acceso abierto, lo que me permitirá, en caso de aceptación, escribir un enlace del blog al artículo.

Primer intento de publicación académica

El día 1 de junio de 2018, finalmente, entregué un artículo a la revista Óptica Pura y Aplicada (OPA) en cuyo público se encuentran expertos en colorimetría. Su respuesta fue temprana y decía que rechazaba la posibilidad de procesar el texto, es decir, la entrega hecha no se somete a la revisión por pares. Una respuesta muy desalentadora; es como si dijese: no te queremos escuchar.

La revisión por pares es un procedimiento que suele usarse en las revistas de ciencia. Este les permite determinar si un artículo está listo para publicar, si requiere de algunas modificaciones o si se rechaza. Todo ello en el supuesto que quieran procesar el artículo. En mi caso no se ha dado ese supuesto. Veamos algunos motivos.

Por un lado, el PDF que les entregué va dirigido a todo académico y profesional que trabaje en el mundo del color por lo que no tiene ni un vocabulario científico ni técnico, mas bien genérico. Esto es necesario para poder abarcar a todo ese grupo de interesados por el color. Pero, la revista es científica.

Por otro lado, el resultado no surge de un laboratorio, algo que David Mas, editor de OPA, echaba en falta. Si ojeamos la revista, se ve claro que gran cantidad de sus artículos cuentan experiencias del laboratorio. No obstante, ello no significa que sean todos y tampoco es una exigencia que esté en las bases.

Llegados aquí podríamos preguntarnos ¿por qué elegí esta revista?. La razón es sencilla. La revista OPA es la revista de la Sociedad Española de Óptica donde, dentro de ella, está el Comité del Color (español). Así que, pensé que sería un buen público al que dirigirme. Pero, parece ser que, al menos, no es el medio.

Independientemente de los hechos, quiero agradecer a David la recomendación de otra revista para dirigirme a un grupo más amplio. Esta revista conecta las dos culturas (ciencias y letras). Tal vez sea demasiado amplio, pero es una buena posibilidad para ser escuchado.

En estos momentos recuerdo que me dijeron que: si una persona no se integra, no es culpa de la sociedad, sino de ella. No obstante, la naturaleza nos enseña que una semilla germina si se dan las condiciones ambientales necesarias. Por tanto, no se trata de culpar a una parte, se trata de dejarse llevar por el viento para cambiar la ubicación y tener la posibilidad de encontrar otras condiciones ambientales.

En el mundo de la música se ve más claro. Hay muchos instrumentos queridos por un grupo reducido. En Valencia, por ejemplo, tenemos la dolçaina (o dulzaina). Se mantiene viva gracias a la pasión de algunos valencianos por mantener la tradición. En los EE.UU. tienen sus instrumentos para el country como el banjo, el dobro…

Todo ello me lleva a sentirme como si fuese una dulzaina que ha querido tocar en una banda clásica. Tal vez deba hacer como las semillas, dejarme llevar y encontrar esas condiciones ambientales o ese pequeño entorno dispuesto a escucharme. Lo que pretendo, un modelo matemático del color, no es trivial y no va a salir a la primera.

O… quizás… no deba moverme de este blog. Aquí se están dando ciertas condiciones gracias a vuestro seguimiento que me motivan en mi pretensión dicha en el lema de la cabecera. Lo pensaré. Si tiene algún consejo o comentario, será bien recibido.

Introducción a la quinta entrega

A continuación, después de tanto tiempo, les ofrezco la quinta entrega. Su demora se debe a cierto intento por publicar en una revista científica y otras causas. Espero que ello no interfiera y que os guste. Es muy amena. De hecho, me salgo del mundo de los colores para entrar en el mundo de las formas sin olvidar mi objetivo inicial que explicaré en el siguiente post.

Seguidamente, en el tercer post, trataré las formas que podemos encontrarnos en la naturaleza. Son observaciones simples sobre el ADN y la forma que nos llevará a intuir que, detrás de todo ello, se esconde un mismo trasfondo matemático que en el de los colores. Una vez he abierto este tema es un imperativo dejarles claro los recientes antecedentes del Proyecto del Genoma Humano. Además, les hablaré de un posible camino para obtener un sistema de numeración de las formas encontradas en la naturaleza.

Posteriormente, vendrá la cuarta entrada donde les relacionaré los colores con las formas desde un punto de vista no nuevo y que les he expresado anteriormente. Es un artículo corto, pero necesario para insistir en que lo que tengo no es una relación fuerte, sino un parecido que da mucho que pensar.

Detrás de la cuarta, les ofreceré dos ideas para unir o sumar formas. Esto es necesario si queremos que las formas sean representadas por números. El conocimiento del ADN mejorará si tenemos un espacio matemático donde encajarlo. Por ello, si los genes de la forma interactúan entre sí para dar lugar a una nueva forma, tenemos que existe un procedimiento matemático que lo represente.

En la próxima entrada a la quinta, entraré en matemáticas y les comentaré que dos cuadrados pueden ser sumados y cómo sumarlos. De esa manera obtendremos que el conjunto formado por los cuadrados tiene una estructura algebraica. Ello da pie a pensar en la existencia de otras sumas.

La entrada venidera, trataré de explicar una extensión de lo hecho en los cuadrados aplicado a los rectángulos. A diferencia del caso anterior, en los rectángulos debo definir unos tipos de rectángulos donde dentro de ellos podemos sumarlos.

En el penúltimo post de esta entrega, les ofrezco una generalización de lo dicho a un conjunto más amplio, pero de forma intuitiva. Finalmente, a modo de resumen, destacaré las principales ideas de la entrega en una última entrada.

Retomando el hilo de la cuarta entrega y anteriores

Flecha hacia atrás.

Debido a unas secuelas que mantengo des del pasado, uno de mis propósitos antes de iniciar este proyecto era dedicar un tiempo al mantenimiento de mis conocimientos. Para ello debía modelar un ente real. Decidí que ese modelo estuviese relacionado, aunque fuese remotamente, con una ayuda a la desaparición de las secuelas. Esa ayuda pasa por la medicina, en concreto por las células madre.

Estas células están fuertemente relacionadas con el ADN, el cual tiene cierta similitud, o parecido, con el color*. En un principio, vi que codificar los colores, u obtener un sistema de numeración de ellos, sería un problema más sencillo que descodificar el genoma humano1. Dicho en otras palabras, el modelo matemático del color nos sugeriría algunas ideas para entender el genoma humano. Así que, empecé.

Al cabo de un tiempo, recordé que mi proyecto anterior estaba relacionado con mejorar la ecología de este mundo. En realidad, era mejorar la supervivencia de la humanidad aprendiendo a convivir con nuestro entorno natural. Ello me paralizó durante unos meses.

Seguir con la búsqueda de una ayuda de las matemáticas a una solución que pusiese fin a mis secuelas, me pareció egoísta comparado con el propósito anterior. No obstante, si entendemos mejor el funcionamiento del ADN también aprenderemos a convivir en armonía con la naturaleza o con nuestros vecinos de planeta, los demás seres vivos. Así superé esa pequeña «crisis».

Creo que somos inteligentes para exportar la vida a otro planeta. Esta creencia me permite seguir adelante con el tema del color. En esta entrega, que se ha retrasado varios meses, os ofrezco unos razonamientos que me llevan a relacionar el ADN con las formas. Dado que el ADN está relacionado con el color, puede que la forma se pueda codificar de la misma forma que el color.


1Cuando hablo de descodificar el genoma me refiero a conocer de forma exhaustiva el genoma. Es decir, conocer todos los genes, su función y su interacción con los genes de otro ser vivo.


Las formas de la naturaleza

Ciervo triangulado.

Observemos, ustedes y yo, durante un memento, las formas que tienen los animales y demás seres vivos. Con lo que tenemos en nuestra memoria será suficiente para empezar. Seguramente, muchos de nosotros, concluyamos que encontrar un ser vivo con vértices, aristas y caras es difícil. A simple vista, todos son redondeados o abombados. Esto nos lleva a una mayor dificultad en matemáticas para describirlos debido a que su expresión analítica, al tratarse de curvas y superficies no planas, no es sencilla. Por ello, cabe pensar que el problema pasa por una dificultad de gran coste intelectual para su superación.

No obstante, tal vez se pueda reducir el problema. Así, conseguiríamos expresiones sencillas y el trabajo matemático se vería reducido. Sigamos observando y analizando toda la información que nos viene en mente.

Por un lado, muchos de nosotros hemos olvidado a los «bichos» o más técnicamente a los insectos, artrópodos, miriápodos, etc. que parecen tener una forma poliédrica. Algunos seres acuáticos, como los crustáceos y otros semejantes, también encajan dichas formas matemáticas. Digo esto porque tienen formas que recuerdan a las caras, a las aristas y a los vértices. No son poliedros regulares, pero quizás si sean un conjunto de ellos conectados de alguna manera.

Por otro lado, tenemos a los huesos de los vertebrados que son reducibles a formas simples como cilindros. Fijémonos que son cubiertos por materiales basados en el agua, el cual, como líquido que es, abomba las superficies y las rectas, y disimula los vértices. Por tanto, propongo tomar un poliedro para cada objeto abombado ‒el más sencillo dentro de los que más le represente‒ para describir la forma de un ser vivo natural. Esto es solo un principio, luego podremos complicarlo más y conseguir mejores resultados.

Veamos un ejemplo en donde el poliedro más parecido es bastante natural. Voy a tomar como objeto abombado la esfera. Este puede sugerirnos varios poliedros según la intuición de cada uno. Seguramente, el icosaedro, a pesar de ser un poliedro candidato, habrá sido descartado por la mayoría debido a que hay otros que son más sencillos. Pero, qué sucede con el tetraedro. Este parece ser demasiado sencillo. Por ello me quedaré con el cubo. Un cubo dentro de una esfera de manera que los vértices y solo los vértices pertenecen a la superficie de la esfera, recibe el nombre de inscrito. Ello se puede trasladar a las formas de los animales viendo qué poliedros quedan inscritos en dichas formas.

No debemos preocuparnos de que sea una reducción desmesurada de la realidad porque la naturaleza redondea los objetos a través de los líquidos. Ello nos permite preguntarnos si en el fondo, en el ADN, hay definido un poliedro que ha sido abombado o es una esfera. Imaginemos que tomamos un poco de agua y la ponemos dentro de una bolsa de plástico cuadrada, esta tomará una forma esférica. Sucede algo similar cuando nos dan la bolsa del supermercado que tiene forma, no de cubo, de rectángulo ¡plano! y, una vez llena, es abombada.

Esta propiedad de la realidad sobre los objetos geométricos la llamaré propiedad de hinchado, abombamiento o licuado. Se basa en la propiedad que tiene todo líquido para ejercer la misma presión en todos los puntos de su superficie tome la forma que tome.

El genoma humano

Un bebé cogiendo el dedo de un adulto.

Continuación de «Las formas de la naturaleza».

Cuando hablamos del genoma humano nos referimos a toda información genética guardada o contenida en el ADN de las células (Grisolia_2009), de un ser humano. De ese modo tenemos que el genoma está formado por 23 pares de cromosomas, unas moléculas complejas formadas por proteínas y ADN replegado sobre sí mismo. Esta unión ADN-Proteína asegura una mayor estabilidad, así se añade un grado más de fiabilidad a la conservación de la información hereditaria.

Esta cadena, cuya forma es helicoidal, está formada por una secuencia de 4 nucleótidos, los cuales son iguales a excepción de una base nitrogenada. Estas bases reciben el nombre Adenina (A), Citosina (C), Guanina (G) y Timina (T). Dicha hélice tiene la cualidad de ser doble. Ambas están enlazadas como si una fuese el reflejo de la otra.

No obstante, este reflejo es un poco particular. Se da que cuando tenemos A en una de ellas, en la otra encontramos T y viceversa. Cuando tenemos C en una, tenemos la G en la otra y viceversa. De ese modo tenemos las siguientes parejas (A-T, T-A, C-G, G-C). Como curiosidad, si fuesen números, podríamos hacer la siguiente correspondencia: A=0, C=1, G=2, T=3. De ese modo tendríamos que la suma de cada pareja es 3. Pero esto es un mero comentario.

El hecho de que cada eslabón se diferencia solo por esas bases nitrogenadas, da lugar a poder escribir el ADN como una secuencia de cuatro letras. Un ejemplo: ATGGATATTGCCA… su cadena complementaria sería TACCTATAACGGT… Dado que son dos parejas A-T y C-G, me pregunto si el orden la distingue; de modo que a efectos químicos A-T sea distinto de T-A. Ello nos llevaría a considerar una base cuaternaria o, por el contrario, una base binaria. Esta duda aun no la he podido despejar…

La característica más importante que tiene el ADN es la de réplica o autorréplica. Esta propiedad da paso a la reproducción celular y, por extensión, de todo ser vivo. Con el ADN se forman células idénticas, de manera que el ADN perdura a lo largo del tiempo. Para mayor protección para el ADN, muchas células han desarrollado otra capa de protección mediante un núcleo con membrana. Estas células son llamadas eucariótas, mientras las que no disponen de núcleo se llaman procariotas.

Ahora que sabemos qué es el ADN, estamos en disposición de hacernos la pregunta: ¿Qué es el gen? Tanto (Grisolia_2009) como (Garcia_et_al_1988) usan el símil literario para explicar su significado de forma coloquial en la que no haya que entrar en tecnicismos. Para ellos, la totalidad de los genes forman un libro donde están escritas todas las características de la célula. Por lo que, un gen sería una frase que proporciona la información necesaria para una cualidad concreta. En palabras mías, y siguiendo el símil literario, el gen es la unidad mínima que determina una cualidad hereditaria aunque su tamaño (número de letras o bases nitrogenadas) varíe de una cualidad a otra; como una frase.

No obstante, me pregunto si este es el único símil que se puede hacer. Llego a la conclusión que hay más. Por ejemplo, podríamos pensar que el ADN es una serie de instrucciones donde lo que se escribe no es la cualidad del pelo sino como se construye y a partir de ahí el hecho de tener un color u otro si dice de construir un pigmento u otro. Si esto fuese cierto sucedería lo mismo que el ordenador que contiene software, el cual es una colección de instrucciones representados por 0’s y 1’s. Desde este punto de vista la célula es una máquina de Turing. Otro símil posible es el cromático. Este es de gran interés para mí. Pretende identificar a cada ser vivo del mismo modo que se identifica un color. Lo explico más detenidamente y de forma intuitiva en Los colores de la naturaleza. También cabe la posibilidad que sean los tres símiles a la vez una mixtura.

Las formas naturales

Patitos pequeños siguiendo a su madre.

Continuación (2ª) de Las formas de la naturaleza.

Todos hemos observado como los descendientes se parecen a sus progenitores. También tenemos muchos refranes que manifiestan esta realidad de la similitud como «De tal palo, tal astilla.» o «Hijo de gato, gatito.». Las flores, generación tras generación, cuando culmina su desarrollo, no apreciamos diferencia en su descendencia. Todo ese juego de similitudes nos gusta a padres y a hijos.

El fenómeno anterior lo explicamos a través de la capacidad de los ser vivos de replicarse. Ello significa que la forma de un ser vivo es importante porque les ayuda a sobrevivir en este mundo de la diversidad. Por tanto, la geometría de un ser vivo es una característica hereditaria y por tanto quedará reflejada en uno o varios genes.

Lo dicho anteriormente no es trivial aunque, desde el punto de vista cotidiano, es un hecho insignificante. Al decir que la forma está contenida en un o varios genes, estamos o estoy diciendo que cualquier forma puede ser codificada en una cadena de 4 letras o signos. Por tanto, si asumimos que usar letras, signos o números es indiferente veremos que los matemáticas aun no han o hemos llegado codificar las formas con pocos signos o números.

Si de alguna manera existe la posibilidad de establecer una aplicación entre los genes y las formas, esta aplicación se definirá a trozos. Algo así como la forma de la cabeza, del cuello, de los brazos, del tronco, etc. En dicho caso, tendríamos una aplicación de esta forma:

\(G\,:\,C_{1}\times C_{2}\times\cdots\times C_{n}\longrightarrow\mathcal{F}\)

donde \(G\) es la aplicación (generadora de formas), \(C_{i}\) los códigos ADN del gen, \(\mathcal{F}\) es el conjunto de formas que puede tomar un ser vivo. Una vez tenemos las aplicaciones identificadas entre los conjuntos se podría pasar a los números fácilmente y al estudio matemático de esta singularidad de las formas.

Pero ¿qué relación tiene con los colores? ¿Por qué hablar de ADN y geometría si estoy interesado en color*? Porque he encontrado una similitud entre los colores y la cadena del ADN como se ve en este texto. Soy consciente que debería ser algo más fuerte. Debería definir los dos sistemas, validarlos y luego encontrar una “biyección” como sistemas…

Los colores y las formas

Diversas siluetas de varios animales

En la tercera entrega, vimos la similitud entre los colores* y la cadena del ADN. Si esta cadena es capaz de definir la forma de un ser vivo, entonces los colores y las formas están relacionados entre sí. En ese caso, la forma de codificar los colores guarde un “paralelismo” con las formas geométricas

Si partimos de polígonos o de poliedros, los podremos inscribir en una circunferencia o esfera, en el caso que sean regulares. De no ser así, será inscrito dentro de una curva cerrada o una circunferencia «mal dibujada». Vimos cómo la esfera recogía muchos colores aunque no estaban todos…

Esta vez queda en el aire disponer de una relación más fuerte entre colores y formas. Espero que el avance por este empeño mejore nuestro conocimiento y lleguemos a esa relación fuerte. En todo caso, ello nos dice que hay un camino por recorrer y un campo por explorar según mi perspectiva.

Sumando formas

Tabla de sumas de supuestas formas llena de interrogantes por despejar.

Las formas se pueden mezclar entre ellas y dar lugar a otras formas. Los informáticos han desarrollado una técnica, el morphing, que permite la mezcla de rostros de personas. Pero, ¿se puede hacer lo mismo de forma algebraica? ¿Se pueden sumar entes matemáticos de manera que sea lo mismo que mezclar formas? ¿Cuál sería el resultado de sumar rectángulos diferentes?

Todos los objetos materiales que conocemos tienen una forma en concreto. Los seres vivos no escapan a dicha condición como hemos visto en Las formas naturales. Por razones de supervivencia, la descendencia adopta, en muchos casos, formas entremezcladas pertenecientes a sus progenitores.

Los seres vivos tienen en su interior su forma codificada en el ADN. Ello me hace pensar que existe un mecanismo independientemente de la intuición de cada uno que nos permite hacer mestizajes entre las apariencias visuales. Por ello, creo que hay una matemática detrás.

Para llegar a esa matemática, primero debemos saber cuando decimos que dos formas son iguales, para ello necesitamos establecer cuando un criterio es de igualación. Tenemos la suerte que este camino ya ha sido realizado. A continuación, os hablo de las leyes de igualación.

Las leyes de igualación

En innumerables ocasiones necesitamos comparar dos objetos para decir si son iguales. Llegaremos a dicha conclusión si vemos que se cumple cierto criterio. Por ejemplo, puedo tomar dos monedas y compararlas entre sí para decir que su valor es el mismo, 50cts, y, por tanto, decir que las monedas son iguales.

Existe un criterio para igualar objetos que casi no se usa: el absoluto. Este criterio exige que se compartan todas las características entre los dos objetos. Ello implica, en muchos casos, observar una infinidad de rasgos, algo materialmente imposible. Pero, ¿cuando se puede decir que un criterio es de igualación?¿Qué leyes debe cumplir un criterio para ser de igualación?

El criterio absoluto debe cumplir dichas leyes. Además, otros criterios no absolutos, también deben cumplir esas leyes. Aquí trataremos de partir de lo más simple y llegar a lo más complejo, si es necesario, para que no quede ninguna ley por enunciar. A veces, llegar a ese nivel de sencillez es sumamente difícil.

La primera ley obvia y que no puede faltar es la siguiente: la comparación de cualquier objeto con sigo mismo debe de dar un resultado afirmativo, es decir, el criterio de igualación debe decir que todo objeto es igual a sí mismo. Sin esta ley, el criterio absoluto no sería un criterio de igualación, algo que no estamos dispuestos a asumir. A esta ley se le llama reflexiva y, en notación matemática, es:

  • \(a\Re a,\:\forall a\in A\)

La segunda ley, también obvia, nos dice que el criterio debe dar el mismo resultado tanto si toma uno primero y luego otro, como si se toma al revés, es decir, la simetría: si comparo a con b debe dar lo mismo que si comparo b con a. Puede parecer absurda esta ley, pero siempre observamos primero un objeto y luego otro, si el orden influyese, no sería un buen criterio. Esta es la ley de simetría y su notación es:

  • \(a\Re b\rightarrow b\Re a,\:\forall a,b\in A\)

La tercera ley recibe el nombre de transitiva. Como se ha visto, necesitamos comparar los objetos de dos en dos, por lo que debemos de asegurarnos que, dado un grupo de elementos iguales, siguen siendo iguales independientemente de cómo los emparejemos. Los matemáticos lo escribimos así:

  • \(a\Re b,\,b\Re c\rightarrow a\Re c,\:\forall a,b,c\in A\)

Por último, me queda por argumentar que no son necesarias más leyes que exigir a los criterios de igualación candidatos. Tristemente, debo decir que hasta aquí llega mi bagaje matemático. Solo puedo afirmar que la experiencia nos lleva a decir que a 2018 no ha sido necesaria una cuarta condición. Por tanto, nos conformamos con estas tres.

Estas leyes no se obtienen a partir de algún principio, solo son argumentadas. Tampoco son leyes que se cumplen forzosamente, sino que deben cumplirse. Por tanto, debemos diferenciarlas de las demás leyes y las llamaremos axiomas. Por otro lado, se basan en comparaciones dos a dos, por lo que establece una relación entre dos objetos, ello nos lleva a decir que «definen» una relación binaria. Además de binaria, establece cuando un criterio es de igualación o cuando esa relación nos dice que dos objetos son equivalentes. Por todo lo anterior, las leyes de igualación las llamamos, en matemáticas, relaciones binarias de equivalencia (R.B.E.).

Axiomas de una relación binaria de equivalencia:

  1. \(a\Re a,\:\forall a\in A\)
  2. \(a\Re b\rightarrow b\Re a,\:\forall a,b\in A\)
  3. \(a\Re b,\,b\Re c\rightarrow a\Re c,\:\forall a,b,c\in A\)

Los números racionales

Un ejemplo de relación binaria de equivalencia o como lo llamaba en este texto, criterio de igualación, reside en los racionales. Todos hemos visto en la escuela que \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\),\(\frac{4}{2}=\frac{2}{1}\) porque se cumple \(\exists r\in\mathbb{Q}/2r=4\) y\(\exists s\in\mathbb{Q}/3s=6\), es decir, si hacemos la división que representa la fracción, el resultado es el mismo. También se puede decir que dos fracciones son equivalentes cuando se cumple el producto cruzado, i.e., \(\tfrac{n_{1}}{m_{1}}=\tfrac{n_{2}}{m_{2}}\leftrightarrow n_{1}m_{2}=n_{2}m_{1}\forall n_{1},n_{2},m_{1},m_{2}\in\mathbb{N}\). Veamos que es una R.B.E.:

  1. \(a\Re a,\:\forall a\in A\)
    \(nm=nm\rightarrow\frac{n}{m}=\frac{n}{m}\forall n,m\in\mathbb{N}\)
    Sí se cumple.
  2. \(a\Re b\rightarrow b\Re a,\:\forall a,b\in A\)
    \(\frac{n_{1}}{m_{1}}=\frac{n_{2}}{m_{2}}\rightarrow n_{1}m_{2}=n_{2}m_{1}\rightarrow\) \(n_{2}m_{1}=n_{1}m_{2}\rightarrow\frac{n_{2}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{m_{1}}\)
    Sí se cumple.
  3. \(a\Re b,\,b\Re c\rightarrow a\Re c,\:\forall a,b,c\in A\)
    \(\frac{n_{1}}{m_{1}}=\frac{n_{2}}{m_{2}},\frac{n_{2}}{m_{2}}=\frac{n_{3}}{m_{3}}\rightarrow\)\(n_{1}m_{2}=n_{2}m_{1},n_{2}m_{3}=n_{3}m_{2}\rightarrow\)
    \(n_{1}=n_{3}\frac{m_{1}}{m_{3}}\rightarrow\) \(n_{1}m_{3}=n_{3}m_{1}\rightarrow\frac{n_{1}}{m_{1}}=\frac{n_{3}}{m_{3}}\)
    Sí se cumple.

No es muy fácil ver este tipo de razonamiento formal en bachiller por lo que puede asustar a muchos. No obstante, no es necesario entenderlo, basta con verlo y así tener una idea de cómo trabajamos los matemáticos. Es igual que en lógica, pero con letras que representan números y muchos símbolos más.

Este concepto es crucial en matemáticas. Como todos, en primaria, aprendimos que no podemos sumar peras con naranjas porque son objetos distintos. Pero desde otro punto de vista, podemos decir que son equivalentes porque son frutas. En el caso anterior ya podemos sumar 2 frutas (que pueden ser dos peras) con dos frutas más (que pueden ser naranjas). El criterio de ser fruta cumple los axiomas de la relación binaria de equivalencia.

Por ello, para sumar formas, primero hay que tener un criterio que nos diga qué tipo de formas son iguales. Luego hay que obtener una suma que cumpla los axiomas de ley de composición interna* (LCI) y finalmente que tenga un sentido para la intuición humana. Por el momento, si tienes curiosidad de alguna cosa espero que la comentes así como las dudas que puedan surgir.

La suma geométrica

Triángulos equiláteros concéntricos y crecientes mientras giran.

Desde cierta perspectiva intuitiva y personal tengo dos maneras de sumar formas que llamaré mezcla geométrica y la yuxtaposición geométrica. La última consiste en unir o juntar dos objetos geométricos de manera que los dos sigan totalmente iguales, pero unidos, al menos, por un punto. Así, si sumamos dos cuadrados de lado 3, tendríamos un rectángulo de base 3 y altura 6 o de base 6 y altura 3. Nos queda la posibilidad de tener una figura formada por dos cuadrados unidos por una parte del lado, es decir, como en el caso anterior donde hemos desplazado uno de los cuadrados y, también, nos queda la posibilidad de unir los cuadrados por un vértice formando un ángulo cualquiera entre los lados. En la figura que sigue pueden ver de forma gráfica lo que he explicado para el caso de dos cuadrados.

Esquema gráfico de una hipotética suma por yuxtaposición.
Esquema gráfico de una hipotética suma por yuxtaposición.

La otra forma de sumar dos figuras o formas es la mezcla geométrica; consiste en tener el mismo ente, pero de manera que el área es la suma, por ejemplo. De esta manera, si sumamos dos cuadrados, la suma será un cuadrado cuya área coincide con la suma de las áreas de los sumados. Para verlo de forma gráfica, debajo pongo la figura de abajo. Piensen que es como unir dos gotas de agua que acaban formando otra gota con el doble de volumen.

Esquema gráfico de la suma por mezcla.

Finalizo este texto con la observación que mientras en la suma por yuxtaposición parte de cuadrados para darnos un objeto nuevo, en la mezcla geométrica sí obtengo un ente  de la misma clase. Así, en el primer caso no tendríamos una ley de composición interna* y en el segundo, sí. Me resulta muy difícil poder encontrar una RBE. de manera que los elementos que se obtienen por yuxtaposición se puedan considerar iguales como sucede con el segundo caso.

Suma de cuadrados

Un sin fin de cuadrados.

Aquí mostraré cómo se pueden mezclar cuadrados. Dejaré en el aire si es la única suma posible porque me basta con tener una. Los cuadrados son cuadriláteros regulares cuyos lados son iguales.

Sea \(C=\{cuadrados\}\), si \(c_{i}\in C\), donde \(i=1,2\), puedo expresar el cuadrado en notación vectorial, \(c_{i}=(a_{i},a_{i})\) donde \(a_{i}\in\mathbb{R}^{+}\).

Defino la suma de cuadrados, \(\oplus\), de la siguiente manera:

\(\begin{array}{ccccccc} \oplus & : & C & \times & C & \rightarrow & C\\
& & (c_{1} & , & c_{2}) & \mapsto & c_{3}=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right) \end{array}\)

Veamos que \(\left(C,\oplus\right)\) es un monoide abeliano.

  • Veamos que es una Ley de Composición Interna:
    Si \( c_{3}=c_{1}\oplus c_{2}\), entonces \(c_{3}\in C, \forall c_{i}\in C\)?\(c_{3}=c_{1}\oplus c_{2}\Rightarrow c_{3}=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)\Rightarrow c_{3}\in C\) porque sus dos coordenadas son iguales.
  • Veamos que cumple con la asociativa
    Sea \(c_{i}\in C\),\(\:i=1,2,3\).
    Entonces: \((c_{1}\oplus c_{2})\oplus c_{3}=\)
    \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)\oplus\left(a_{3},a_{3}\right)=\)
    \(\left(\sqrt{\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)^{2}+a_{3}^{2}},…\right)=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}},…\right)=\)
    \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\right)^{2}},…\right)=(a_{1},a_{1})\oplus\left(\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\right)^{2},…\right)=\)
    \(c_{1}\oplus(c_{2}+c_{3})\).
  • Veamos cuál es el neutro.
    \((0,0)\in C\) es el neutro.

Aunque el neutro es un punto, tiene las dos coordenadas iguales y es conveniente considerarlo como el cuadrado nulo.

  • Por último, la conmutativa
    \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)=\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}},\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}}\right)\)

\(\blacksquare\)

Esta es una entrada con mucha notación matemática. Lo que viene a decir es que los cuadrados se pueden sumar de forma rigurosa, no solo intuitivamente. En fin, un paso más para llegar a la meta.

Suma de formas rectangulares

La suma de rectángulos es una generalización de la suma de cuadrados. Veámoslo:

Sea \(R\) el conjunto formado por todos los rectángulos. En él defino la R.B.E. siguiente:
Dado un \(i\in\{1,2\}\), \(r_{i}\in R\) tales que, si sus lados son \(a_i, b_i\),

\(r_{1}\sim r_{2}\longleftrightarrow\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}\).

Es fácil demostrar que es una relación binaria de equivalencia porque se basa en una igualdad. Esta R.B.E. se inspira en la semejanza de triángulos. A las clases de equivalencia las denotaré, [a,b] donde a representa la altura y b, la base. No confundamos con (a,b) que sería un caso concreto (un rectángulo) de la clase (de rectángulos equivalentes) [a,b]. En cada clase de equivalencia podemos definir una suma entre los rectángulos de manera que la suma es otro rectángulo de la clase. Esto lo conseguiremos con la siguiente suma:

\((a_{1},b_{1})\oplus(a_{2},b_{2})=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)\)

donde \((a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2})\in[a,b].\)

  1. Veamos que es una ley de composición interna.
    1. Queremos que: \(A_{3}=A_{1}+A_{2}\).
    2. Queremos que \(\frac{a_{3}}{b_{3}}=\lambda\), donde \(\lambda=\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}\).
    3. Entonces:
      \(\frac{a_{3}}{b_{3}}=\frac{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}{\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}=\sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}=\sqrt{\frac{\lambda^{2}b_{1}^{2}+\lambda^{2}b_{2}^{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}=\lambda\)
      Como: \(A_{1}=a_{1}b_{1}, A_{2}=a_{2}b_{2}, A_{3}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=\)
      \(\lambda b_{1}b_{1}+\lambda b_{2}b_{2}=\lambda\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)=\)
      \(\lambda b_{3}^{2}=\frac{a_{3}}{b_{3}}b_{3}^{2}=a_{3}b_{3}\).
    4. Por tanto: \(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=a_{3}b_{3}\Rightarrow A_{3}=A_{1}+A_{2}\)
  2. Veamos que es asociativa.
    Sea \(r_{i}\in R\), donde \(i=1,2,3\).
    Entonces \((r_{1}\oplus r_{2})\oplus \)
    \(r_{3}=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)\oplus(a_{3},b_{3})=\)
    \(\left(\sqrt{\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)^{2}+a_{3}^{2}},\sqrt{\left(\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)^{2}+b_{3}^{2}}\right)=\)
    \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}\right)=\cdots\)
  3. Veamos que tiene elemento neutro.
    \((0,0)\in R\) es el neutro.
    Aunque el neutro es un punto, tiene las dos coordenadas con la proporción que queramos. No veo ningún impedimento para considerarlo un rectángulo (degenerado).
  4. Veamos que es abeliano.
    \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)=\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}},\sqrt{b_{2}^{2}+b_{1}^{2}}\right)\)

Ejemplo gráfico de  una suma de dos rectángulos.

A + B = C

En la figura de arriba los lectores pueden observar como el área de B es añadida al área de A de forma que se conserva su proporción base/altura. Ello nos da un rectángulo de la misma familia o clase de equivalencia. Por tanto, hemos sumado dos rectángulos respetando que son entes iguales de una misma familia, es decir, hemos sumado manzanas con manzanas.

Suma de cuadriláteros ortogonales

Usaré el nombre de cuadriláteros ortogonales para englobar al conjunto de los cuadrados y los rectángulos porque todos sus ángulos son de 90°. Si tomo solo los que están inscritos dentro de una circunferencia de radio 1, tendré a los representantes de cada una de las clases de equivalencia que definí en el artículo anterior. Mientras antes demostraba que eran objetos iguales y los podíamos sumar, este artículo se limita al plano intuitivo.

Disponemos una manera geométrica para sumar a todos estos cuadriláteros. Para ello debemos tener un punto de vista para considerar a todos los cuadriláteros ortogonales como entes iguales. Este punto de vista lo conseguimos cuando identificamos un punto de la circunferencia como un cuadrilátero ortogonal; ese punto es un vértice y los demás, son el resultado de las simetrías con los ejes. Como se puede ver en las siguientes figuras.

Un cuadrilátero genérico. Llamado B.
El cuadrilátero anterior, B, dentro de la circunferencia de radio uno.

Con esta identificación tendríamos que los podemos sumar porque el resultado sería otro punto. No obstante, más que un punto de la circunferencia sería el vector posición de dicho punto. Se suman los vectores y se reduce a norma uno para tenerlo en la circunferencia. En las imágenes siguientes les muestro como funciona la suma dentro de una circunferencia.

Cuadriláteros a sumar. A i B.
Cuadrilátero suma de A i B.

Dados dos vectores posición de dos puntos de la circunferencia o de radio uno definen otro vector posición del punto medio en la circunferencia, es decir, la intersección entre la bisectriz de los vectores iniciales y la circunferencia. Todo lo que he dicho es intuitivo y espero formalizarlo más adelante.

Imagen resumen de la suma de dos cuadriláteros arbitrarios.

Conclusiones de la quinta entrega

A lo largo de toda la entrega hemos visto las formas naturales. Estas, aunque en principio no parecen poliédricas, sí podrían serlo, pero solo sería en su raíz o su codificación. Si cogemos agua y la ponemos en un cubo (hexaedro) de paredes elásticas, tendremos un forma casi cúbica pero abombada o, como decía, licuada.

Muchas veces, observamos cómo los hijos toman formas mixtas entre su padre y su madre. Ello nos invita a pensar que su formas se han sumado o mezclado (como ocurre con los colores). Por ello me arriesgo en afirmar que sumar polígonos, primero, y luego poliedros será de gran ayuda para entender los colores y a su vez el genoma humano.

Finalmente, hemos visto cómo sumar dichas formas de cuatro lados, iguales dos a dos, incluyendo al cuadrado por separado cada uno en su clase de equivalencia. Además, he introducido, de manera intuitiva, una manera de sumar todos los cuadriláteros inscritos en una circunferencia mediante unos gráficos hechos en GeoGebra.

Para finalizar, creo que no cabe lugar a dudas para ver en el ADN un comportamiento metódico. En ese caso, un servidor y quien lo desee tendremos que describir dicho método o algoritmo. Los colores son, entonces, un buen recurso paralelo para profundizar y experimentar en dicho comportamiento. Espero poder atarlo todo en próximas entregas. Invito al lector a seguir este camino desde su lectura, desde sus comentarios y, ¿por qué no?, desde sus aportaciones.

Desarrollo formal de la suma de cuadriláteros I (Anexo)

Forjado de una herradura sobre un yunque.

Un cuadrilátero ortogonal se caracteriza por tener cuatro vértices y por tener todos sus ángulos rectangulares. Si los vértices están debidamente bien identificados con los extremos de vectores de \(\mathbb{R}^{2}\) y suponemos que son unidos por un segmento rectilíneo, tendremos que dichos vectores caracterizan al cuadrilátero. Por ello voy a definir un cuadrilátero ortogonal de la siguiente manera:

Definición: Sea \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\) defino como cuadrilátero ortogonal al conjunto formado por los vectores simétricos a \((x,y)\) respecto los ejes, es decir, \(\left\{ (x,y),(-x,y),(x,-y),(-x,-y)\right\}\).

Observación: Sean b y a la base y la altura de cualquier cuadrilátero ortogonal, entonces tenemos que existe un vector \((x_{0},y_{0})\) tal que \(2x_{0}=b\) y \(2y_{0}=a\).

Veamos un ejemplo gráfico:

Unos pocos cuadriláteros ortogonales.

Definición: Defino como cuadriláteros ortogonales degenerados a todo cuadrilátero que tenga una base nula o una altura 0.

Sea \(\mathbb{R}^{2}\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\). Defino la relación binaria de equivalencia siguiente \((x_{1},y_{1})\sim(x_{2},y_{2})\) sii \(\mid x_{1}\mid=\mid x_{2}\mid y \mid y_{1}\mid=\mid y_{2}\mid\). Esto es lo mismo que decir que dos elementos de \mathbb{R}^{2} son equivalentes si y solo si sus extremos son vértices del mismo cuadrilátero ortogonal (degenerado o no).

Propiedad: Veamos que sí es una R.B.E.

Para que sea una R.B.E debe cumplir estas tres condiciones.

  • Reflexiva. \((x_{1},y_{1})\sim(x_{1},y_{1})\) porque \(\left|x_{1}\right|=\left|x_{1}\right| y \left|y_{1}\right|=\left|y_{1}\right| \).
  • Simétrica. Si \((x_{1},y_{1})\sim(x_{2},y_{2})\), entonces \((x_{2},y_{2})\sim(x_{1},y_{1})\). Si \(\left|x_{1}\right|=\left|x_{2}\right| y \left|y_{1}\right|=\mid y_{2}\mid\), entonces \(\left|x_{2}\right|=\left|x_{1}\right| y \left|y_{2}\right|=\left|y_{1}\right|\).
  • Transitiva. Si \((x_{1},y_{1})\sim(x_{2},y_{2}) y (x_{2},y_{2})\sim(x_{3},y_{3})\) entonces \(\left(x_{1},y_{1}\right)\sim\left(x_{3},y_{3}\right)\). \(\left|x_{1}\right|=\left|x_{2}\right|=\left|x_{3}\right| y \left|y_{1}\right|=\left|y_{2}\right|=\left|y_{3}\right|\).

La demostración anterior por evidente que sea es necesaria para ver que desde cierta perspectiva se pueden sumar independientemente del vector que tomemos, si consideramos a \(\mathbb{R}^{2}\) un espacio vectorial, o elemento de la clase de equivalencia.

Considero \({\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\), es decir, el conjunto de clases de \({\mathbb{R}^{2}}\) definidas por la equivalencia anterior, para definir la suma como sigue

\(\begin{array}{cccccc}
\oplus: & {\mathbb{R}^{2}}/{\sim} & \times & {\mathbb{R}^{2}}/{\sim} & \longrightarrow & {\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\\
& ([(x_{1},y_{1})] & , & [(x_{2},y_{2})]) & \longmapsto & \left[\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right]
\end{array}\).

Observación: Es evidente que la suma anterior no depende del elemento elegido de la clase, ya que se eleva al cuadrado cada una de las coordenadas del vértice elegido.

Propiedad: La suma anterior es una L.C.I.

Como \((x_{1},x_{2})\) y \((y_{1},y_{2})\) pertenecen a\(\mathbb{R}^{2}\) tenemos que\(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\in\mathbb{R}\) y\(\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\in\mathbb{R}\). Entonces\(\left[\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right]\in{\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\), ya que,\(\left[\left(b,a\right)\right]=\left\{ \left(b,a\right),\left(-b,a\right),\left(b,-a\right),\left(-b,-a\right)\right\}\).

Con todo lo anterior he conseguido que cada vector se identifique con un cuadrilátero. He definido una suma diferente entre los vectores de manera que coincide con la suma de áreas cuando estos dos son semejantes (según demostraba en Suma de formas rectangulares), ya que he tomado la misma suma. No obstante, si los cuadriláteros no son semejantes, esto no ocurre.

Veamos un ejemplo de esta suma.

Suma de cuadriláteros arbitrarios.

En la imagen anterior podemos observar tres cuadriláteros ortogonales. Si nos fijamos en sus vértices superiores de la derecha, el del medio es del cuadrilátero suma. Este no forma parte de ningún punto intermedio de la recta que une a los vértices respectivos de los cuadriláteros sumados. También se ve claramente que ningún par de los tres cuadriláteros está inscrito en una misma circunferencia. Observe el lector que al igual que el rectángulo vertical está inscrito en una circunferencia, se puede inscribir cualquier cuadrilátero dentro de una circunferencia dada.

Propiedad: El área del cuadriláteros suma no siempre es la suma de las áreas de los cuadriláteros sumados.

Para demostrarlo bastará con un caso o, como se suele decir en el argot matemático, un contraejemplo. Considero \(\left[(2,3)\right],\left[(4,5)\right]\in{\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\). Sus áreas son 24 y 80 respectivamente. Su cuadrilátero suma es\(\left[\left(\sqrt{4+16},\sqrt{9+25}\right)\right]=\left[(\sqrt{20},6)\right]\) cuya área es \(4\sqrt{720}\simeq107.33\neq104\).

Acabar aquí parece un final triste, pero en el próximo artículo veremos más. Continuara…

Desarrollo formal de la suma de cuadriláteros II (Anexo)

Preparación de una herradura.

En los últimos apartados de la quinta entrega describo una suma de cuadriláteros cuyos vértices forman parte de la circunferencia de radio uno. Veamos que este conjunto existe y cuales son sus peculiaridades.

Sea \(\left[\left(x,y\right)\right]\in{\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\), entonces defino su unitario a \(\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\), donde\(\left\Vert (x,y)\right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}}\). Al conjunto de todos los cuadriláteros unitarios los representaré por la letra\(\mathcal{U}\).

Creo que todos coincidiremos en afirmar que para cada elemento de \({\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\) hay uno y solo uno que es unitario. A partir de ahora me quedo con este.

Resulta fácil ver que la definición de unitario no depende del elemento elegido, ya que se eleva al cuadrado. Sin embargo, estos elemento no son una «sub-estructura» algebraica de la anterior debido a que su suma deja de ser unitaria.

La suma de unitarios según la suma anterior no es una L.C.I. en\(\mathcal{U}\).

Sea\(\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\in\mathcal{U}\), entonces:

\(\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\oplus\left[\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}+\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}+\left(\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}}\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{2\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}},\sqrt{2\left(\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)^{2}}\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{2}\frac{\left|x\right|}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\sqrt{2}\frac{\left|y\right|}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\sqrt{2}\left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right]\)
Por tanto tenemos que \(\sqrt{2}\left\Vert \left(\frac{x}{\left\Vert (x,y)\right\Vert },\frac{y}{\left\Vert (x,y)\right\Vert }\right)\right\Vert =\sqrt{2}\).

Así concluyo que la suma no pertenece a \(\mathcal{U}\).

Delante este inconveniente no he encontrado otro remedio que el definir una nueva suma la cual sí se mantenga dentro de la circunferencia unitaria.

Sea \(\left[\left(\frac{x_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert },\frac{y_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert }\right)\right],\left[\left(\frac{x_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert },\frac{y_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert }\right)\right]\mathcal{\in U}\), defino una suma entre ellos como sigue:

\(\begin{array}{cccccc}
\boxplus: & \mathcal{U} & \times & \mathcal{U} & \longrightarrow & \mathcal{U}\\
& ([(x_{1},y_{1})] & , & [(x_{2},y_{2})]) & \longmapsto & \left[\left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right]
\end{array}\)

\(\left(\mathcal{U},\boxplus\right)\) es una estructura algebraica no asociativa.

Veamos primero que \(\boxplus\) es una L.C.I.

Sea \(\left[\left(\frac{x_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert },\frac{y_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert }\right)\right],\left[\left(\frac{x_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert },\frac{y_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert }\right)\right]\mathcal{\in U}\), entonces es cierto que \(\left[\left(\frac{x_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert },\frac{y_{1}}{\left\Vert (x_{1},y_{1})\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{x_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert },\frac{y_{2}}{\left\Vert (x_{2},y_{2})\right\Vert }\right)\right]\in\mathcal{U}\).

Veamos que\(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right\Vert =1\).

\(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right\Vert = \\
\sqrt{\left(\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert }\right)^{2}} = \\
=\sqrt{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}+\frac{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}} = 1\)

Por tanto, sí se verifica que la suma es unitaria y por ello es una L.C.I.

En segundo lugar veamos que no cumple la asociativa. Para ello me bastará con un contraejemplo.

Veamos que \(\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right],\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right],\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]\in\mathcal{U}\).

\(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right\Vert =\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}=1\) \(\left\Vert \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right\Vert =\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}=1\) \(\left\Vert \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\Vert =\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}=1\)

Así tenemos tres elementos del mismo conjunto,ie, de \(\mathcal{U}\).

\(\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\boxplus\left(\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]\right) = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right] \) \(\left(\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\right]\right)\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}},\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}},\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}}\right)\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{5}{4}},\sqrt{\frac{3}{4}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{5}{4}},\sqrt{\frac{3}{4}}\right)\right\Vert }\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{3}{4}}},\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{3}{4}}}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{\sqrt{2}}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{40}}{8},\frac{\sqrt{24}}{8}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{40}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{40}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{24}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{24}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{40}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{\sqrt{24}}{8}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\right)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{40}{64}+\frac{1}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{40}{64}+\frac{1}{4}},\sqrt{\frac{24}{64}+\frac{3}{4}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{24}{64}+\frac{3}{4}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{40}{64}+\frac{1}{4}},\sqrt{\frac{24}{64}+\frac{3}{4}}\right)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{41}{68}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{41}{68}},\sqrt{\frac{27}{68}}\right)\right\Vert },\frac{\sqrt{\frac{27}{68}}}{\left\Vert \left(\sqrt{\frac{41}{68}},\sqrt{\frac{27}{68}}\right)\right\Vert }\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{41}{68}}}{\sqrt{\frac{41+27}{68+68}}},\frac{\sqrt{\frac{27}{68}}}{\sqrt{\frac{41+27}{68+68}}}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{\frac{41}{68}}}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{\frac{27}{68}}}{\sqrt{2}}\right)\right] = \\
\left[\left(\sqrt{\frac{41}{136}},\sqrt{\frac{27}{136}}\right)\right]\)

Si \(\left[\left(x_{1},y_{1}\right)\right],\left[\left(x_{2},y_{2}\right)\right]\in\mathcal{U}\) y ,\(\left[\left(x_{3},y_{3}\right)\right]=\left[\left(x_{1}y_{1}\right)\right]\oplus\left[\left(x_{2},y_{2}\right)\right]\), entonces\(\left\Vert \left(x_{3},y_{3}\right)\right\Vert =\sqrt{2}\).

Como \(\left\Vert \left(x,y\right)\right\Vert =1\Rightarrow\sqrt{x^{2}+y^{2}}=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}=1 y x_{3}=\sqrt{x_{1}+x_{2}},y_{3}=\sqrt{y_{1}+y_{2}}\), se tenemos que:

\(\left\Vert \left(x_{3},y_{3}\right)\right\Vert = \\
\left\Vert \left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right\Vert = \\
\sqrt{\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right)^{2}+\left(\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)^{2}} = \\
\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}} = \\
\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} = \\
\sqrt{1+1} = \\
\sqrt{2}\).

\(\left[\left(x_{1},y_{1}\right)\right]\boxplus\left[\left(x_{2},y_{2}\right)\right]=\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{x_{1}+x_{2}},\sqrt{y_{1}+y_{2}}\right)\right]\)

Así que podemos decir que hemos conseguido, si cuento con la aprobación del lector para hablar en plural, un conjunto, \(\mathcal{U}\), de cuadriláteros únicos, desde el punto de vista de la semejanza, con una estructura algebraica no asociativa, no confundir con «álgebras no asociativas», que me permite sumar unos cuadriláteros con otros.

La suma entre el rectángulo \(\left[\left(\frac{\sqrt{65}}{65},\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)\right]\) y \(\left[\left(\frac{8\sqrt{65}}{65},\frac{\sqrt{65}}{65}\right)\right] es \left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\).

\(\left[\left(\frac{\sqrt{65}}{65},\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)\right]\boxplus\left[\left(\frac{8\sqrt{65}}{65},\frac{\sqrt{65}}{65}\right)\right] = \\
\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{65}}{65}\right)^{2}+\left(\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)^{2}},\sqrt{\left(\frac{8\sqrt{65}}{65}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{65}}{65}\right)^{2}}\right)\right] = \\
\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{\frac{65}{65^{2}}+\frac{64\cdot65}{65^{2}}},\sqrt{\frac{64\cdot65}{65^{2}}+\frac{65}{65^{2}}}\right)\right] = \\
\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{\frac{65\cdot65}{65^{2}}},\sqrt{\frac{65\cdot65}{65^{2}}}\right)\right] = \\
\left[\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\).

Todo lo anterior lo podemos ver de forma gráfica en la imagen siguiente. Los dos rectángulos elegidos han sido fuertemente diferenciados; siendo uno muy plano y el otro muy alto. Su suma nos da el cuadrado. El cuadrado es la suma de dos rectángulos cuyos vectores tengan sus coordenadas intercambiadas.

Suma de cuadriláteros inscritos en
la circunferencia de radio uno.

Para finalizar, comentaré que tenemos un inconveniente: no se cumple la asociativa en \(\mathcal{U}\). Esta propiedad, la asociativa, es una condición muy querida entre los amantes al álgebra. Tan querida que me resulta muy extraño encontrar un trabajo sobre una estructura no asociativa, no confundir con un álgebra no asociativa. Todo esto no debe desmoronarnos. Todo lo contrario, ello significa que tenemos trabajo para rato.


A continuación expongo el índice de esta entrega para leer los artículos por separado.

  1. Introducción a la quinta entrega
  2. Retomando el hilo de la cuarta entrega y anteriores
  3. Las formas de la naturaleza
    1. El genoma humano
    2. Las formas naturales
  4. Los colores y las formas
  5. Sumando formas
    1. La suma geométrica
  6. Suma de cuadrados
  7. Suma de formas rectangulares
  8. Suma de cuadriláteros ortogonales
  9. Conclusiones de la quinta entrega

Cada semana publicaré un nuevo apartado. Sígueme en Twitter, Alejandro_dmsc, y no te los pierdas.

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