Desarrollo formal de la suma de cuadriláteros I (Anexo)

Un cuadrilátero ortogonal se caracteriza por tener cuatro vértices y por tener todos sus ángulos rectangulares. Si los vértices están debidamente bien identificados con los extremos de vectores de \(\mathbb{R}^{2}\) y suponemos que son unidos por un segmento rectilíneo, tendremos que dichos vectores caracterizan al cuadrilátero. Por ello voy a definir un cuadrilátero ortogonal de la siguiente manera:

Definición: Sea \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\) defino como cuadrilátero ortogonal al conjunto formado por los vectores simétricos a \((x,y)\) respecto los ejes, es decir, \(\left\{ (x,y),(-x,y),(x,-y),(-x,-y)\right\}\).

Observación: Sean b y a la base y la altura de cualquier cuadrilátero ortogonal, entonces tenemos que existe un vector \((x_{0},y_{0})\) tal que \(2x_{0}=b\) y \(2y_{0}=a\).

Veamos un ejemplo gráfico:

Unos pocos cuadriláteros ortogonales.

Definición: Defino como cuadriláteros ortogonales degenerados a todo cuadrilátero que tenga una base nula o una altura 0.

Sea \(\mathbb{R}^{2}\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\). Defino la relación binaria de equivalencia siguiente \((x_{1},y_{1})\sim(x_{2},y_{2})\) sii \(\mid x_{1}\mid=\mid x_{2}\mid y \mid y_{1}\mid=\mid y_{2}\mid\). Esto es lo mismo que decir que dos elementos de \mathbb{R}^{2} son equivalentes si y solo si sus extremos son vértices del mismo cuadrilátero ortogonal (degenerado o no).

Propiedad: Veamos que sí es una R.B.E.

Para que sea una R.B.E debe cumplir estas tres condiciones.

  • Reflexiva. \((x_{1},y_{1})\sim(x_{1},y_{1})\) porque \(\left|x_{1}\right|=\left|x_{1}\right| y \left|y_{1}\right|=\left|y_{1}\right| \).
  • Simétrica. Si \((x_{1},y_{1})\sim(x_{2},y_{2})\), entonces \((x_{2},y_{2})\sim(x_{1},y_{1})\). Si \(\left|x_{1}\right|=\left|x_{2}\right| y \left|y_{1}\right|=\mid y_{2}\mid\), entonces \(\left|x_{2}\right|=\left|x_{1}\right| y \left|y_{2}\right|=\left|y_{1}\right|\).
  • Transitiva. Si \((x_{1},y_{1})\sim(x_{2},y_{2}) y (x_{2},y_{2})\sim(x_{3},y_{3})\) entonces \(\left(x_{1},y_{1}\right)\sim\left(x_{3},y_{3}\right)\). \(\left|x_{1}\right|=\left|x_{2}\right|=\left|x_{3}\right| y \left|y_{1}\right|=\left|y_{2}\right|=\left|y_{3}\right|\).

La demostración anterior por evidente que sea es necesaria para ver que desde cierta perspectiva se pueden sumar independientemente del vector que tomemos, si consideramos a \(\mathbb{R}^{2}\) un espacio vectorial, o elemento de la clase de equivalencia.

Considero \({\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\), es decir, el conjunto de clases de \({\mathbb{R}^{2}}\) definidas por la equivalencia anterior, para definir la suma como sigue

\(\begin{array}{cccccc}
\oplus: & {\mathbb{R}^{2}}/{\sim} & \times & {\mathbb{R}^{2}}/{\sim} & \longrightarrow & {\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\\
& ([(x_{1},y_{1})] & , & [(x_{2},y_{2})]) & \longmapsto & \left[\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right]
\end{array}\).

Observación: Es evidente que la suma anterior no depende del elemento elegido de la clase, ya que se eleva al cuadrado cada una de las coordenadas del vértice elegido.

Propiedad: La suma anterior es una L.C.I.

Como \((x_{1},x_{2})\) y \((y_{1},y_{2})\) pertenecen a\(\mathbb{R}^{2}\) tenemos que\(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\in\mathbb{R}\) y\(\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\in\mathbb{R}\). Entonces\(\left[\left(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\right)\right]\in{\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\), ya que,\(\left[\left(b,a\right)\right]=\left\{ \left(b,a\right),\left(-b,a\right),\left(b,-a\right),\left(-b,-a\right)\right\}\).

Con todo lo anterior he conseguido que cada vector se identifique con un cuadrilátero. He definido una suma diferente entre los vectores de manera que coincide con la suma de áreas cuando estos dos son semejantes (según demostraba en Suma de formas rectangulares), ya que he tomado la misma suma. No obstante, si los cuadriláteros no son semejantes, esto no ocurre.

Veamos un ejemplo de esta suma.

Suma de cuadriláteros arbitrarios.

En la imagen anterior podemos observar tres cuadriláteros ortogonales. Si nos fijamos en sus vértices superiores de la derecha, el del medio es del cuadrilátero suma. Este no forma parte de ningún punto intermedio de la recta que une a los vértices respectivos de los cuadriláteros sumados. También se ve claramente que ningún par de los tres cuadriláteros está inscrito en una misma circunferencia. Observe el lector que al igual que el rectángulo vertical está inscrito en una circunferencia, se puede inscribir cualquier cuadrilátero dentro de una circunferencia dada.

Propiedad: El área del cuadriláteros suma no siempre es la suma de las áreas de los cuadriláteros sumados.

Para demostrarlo bastará con un caso o, como se suele decir en el argot matemático, un contraejemplo. Considero \(\left[(2,3)\right],\left[(4,5)\right]\in{\mathbb{R}^{2}}/{\sim}\). Sus áreas son 24 y 80 respectivamente. Su cuadrilátero suma es\(\left[\left(\sqrt{4+16},\sqrt{9+25}\right)\right]=\left[(\sqrt{20},6)\right]\) cuya área es \(4\sqrt{720}\simeq107.33\neq104\).

Acabar aquí parece un final triste, pero en el próximo artículo veremos más. Continuara…

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