Suma de cuadrados

Aquí mostraré cómo se pueden mezclar cuadrados. Dejaré en el aire si es la única suma posible porque me basta con tener una. Los cuadrados son cuadriláteros regulares cuyos lados son iguales.

Sea \(C=\{cuadrados\}\), si \(c_{i}\in C\), donde \(i=1,2\), puedo expresar el cuadrado en notación vectorial, \(c_{i}=(a_{i},a_{i})\) donde \(a_{i}\in\mathbb{R}^{+}\).

Defino la suma de cuadrados, \(\oplus\), de la siguiente manera:
\(\begin{array}{ccccccc} \oplus & : & C & \times & C & \rightarrow & C\\
& & (c_{1} & , & c_{2}) & \mapsto & c_{3}=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right) \end{array}\)

Veamos que \(\left(C,\oplus\right)\) es un monoide abeliano.

  • Veamos que es una Ley de Composición Interna:
    Si \( c_{3}=c_{1}\oplus c_{2}\), entonces \(c_{3}\in C, \forall c_{i}\in C\)?\(c_{3}=c_{1}\oplus c_{2}\Rightarrow c_{3}=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)\Rightarrow c_{3}\in C\) porque sus dos coordenadas son iguales.
  • Veamos que cumple con la asociativa
    Sea \(c_{i}\in C\),\(\:i=1,2,3\).
    Entonces: \((c_{1}\oplus c_{2})\oplus c_{3}=\)
    \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)\oplus\left(a_{3},a_{3}\right)=\)
    \(\left(\sqrt{\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)^{2}+a_{3}^{2}},…\right)=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}},…\right)=\)
    \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\right)^{2}},…\right)=(a_{1},a_{1})\oplus\left(\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\right)^{2},…\right)=\)
    \(c_{1}\oplus(c_{2}+c_{3})\).
  • Veamos cuál es el neutro.
    \((0,0)\in C\) es el neutro.

Aunque el neutro es un punto, tiene las dos coordenadas iguales y es conveniente considerarlo como el cuadrado nulo.

  • Por último, la conmutativa
    \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)=\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}},\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}}\right)\)

\(\blacksquare\)

 

Esta es una entrada con mucha notación matemática. Lo que viene a decir es que los cuadrados se pueden sumar de forma rigurosa, no solo intuitivamente. En fin, un paso más para llegar a la meta.


 

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