Suma de formas rectangulares

La suma de rectángulos es una generalización de la suma de cuadrados. Veámoslo:

Sea \(R=\) el conjunto formado por todos los rectángulos. En él defino la R.B.E. siguiente:
Dado un \(i\in\{1,2\}\), \(r_{i}\in R\) tales que, si sus lados son \(a_i, b_i\),

\(r_{1}\sim r_{2}\longleftrightarrow\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}\).

Es fácil demostrar que es una relación binaria de equivalencia porque se basa en una igualdad. Esta R.B.E. se inspira en la semejanza de triángulos. A las clases de equivalencia las denotaré, [a,b] donde a representa la altura y b, la base. No confundamos con (a,b) que sería un caso concreto (un rectángulo) de la clase (de rectángulos equivalentes) [a,b]. En cada clase de equivalencia podemos definir una suma entre los rectángulos de manera que la suma es otro rectángulo de la clase. Esto lo conseguiremos con la siguiente suma:

\((a_{1},b_{1})\oplus(a_{2},b_{2})=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)\)

donde \((a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2})\in[a,b].\)

  1. Veamos que es una ley de composición interna.
    1. Queremos que: \(A_{3}=A_{1}+A_{2}\).
    2. Queremos que \(\frac{a_{3}}{b_{3}}=\lambda\), donde \(\lambda=\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}\).
    3. Entonces:
      \(\frac{a_{3}}{b_{3}}=\frac{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}{\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}=\sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}=\sqrt{\frac{\lambda^{2}b_{1}^{2}+\lambda^{2}b_{2}^{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}=\lambda\)
      Como: \(A_{1}=a_{1}b_{1}, A_{2}=a_{2}b_{2}, A_{3}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=\)
      \(\lambda b_{1}b_{1}+\lambda b_{2}b_{2}=\lambda\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)=\)
      \(\lambda b_{3}^{2}=\frac{a_{3}}{b_{3}}b_{3}^{2}=a_{3}b_{3}\).
    4. Por tanto: \(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=a_{3}b_{3}\Rightarrow A_{3}=A_{1}+A_{2}\)
  2. Veamos que es asociativa.
    Sea \(r_{i}\in R\), donde \(i=1,2,3\).
    Entonces \((r_{1}\oplus r_{2})\oplus \)
    \(r_{3}=\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)\oplus(a_{3},b_{3})=\)
    \(\left(\sqrt{\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\right)^{2}+a_{3}^{2}},\sqrt{\left(\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)^{2}+b_{3}^{2}}\right)=\)
    \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}\right)=\cdots\)
  3. Veamos que tiene elemento neutro.
    \((0,0)\in R\) es el neutro.
    Aunque el neutro es un punto, tiene las dos coordenadas con la proporción que queramos. No veo ningún impedimento para considerarlo un rectángulo (degenerado).
  4. Veamos que es abeliano.
    \(\left(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}},\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}\right)=\left(\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}},\sqrt{b_{2}^{2}+b_{1}^{2}}\right)\)

Ejemplo gráfico de  una suma de dos rectángulos.

A + B = C

En la figura de arriba los lectores pueden observar como el área de B es añadida al área de A de forma que se conserva su proporción base/altura. Ello nos da un rectángulo de la misma familia o clase de equivalencia. Por tanto, hemos sumado dos rectángulos respetando que son entes iguales de una misma familia, es decir, hemos sumado manzanas con manzanas.

 


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