Sumando formas

Las formas se pueden mezclar entre ellas y dar lugar a otras formas. Los informáticos han desarrollado una técnica, el morphing, que permite la mezcla de rostros de personas. Pero, ¿se puede hacer lo mismo de forma algebraica? ¿Se pueden sumar entes matemáticos de manera que sea lo mismo que mezclar formas? ¿Cuál sería el resultado de sumar rectángulos diferentes?

Todos los objetos materiales que conocemos tienen una forma en concreto. Los seres vivos no escapan a dicha condición como hemos visto en Las formas naturales. Por razones de supervivencia, la descendencia adopta, en muchos casos, formas entremezcladas pertenecientes a sus progenitores.

Los seres vivos tienen en su interior su forma codificada en el ADN. Ello me hace pensar que existe un mecanismo independientemente de la intuición de cada uno que nos permite hacer mestizajes entre las apariencias visuales. Por ello, creo que hay una matemática detrás.

Para llegar a esa matemática, primero debemos saber cuando decimos que dos formas son iguales, para ello necesitamos establecer cuando un criterio es de igualación. Tenemos la suerte que este camino ya ha sido realizado. A continuación, os hablo de las leyes de igualación.

Las leyes de igualación

En innumerables ocasiones necesitamos comparar dos objetos para decir si son iguales. Llegaremos a dicha conclusión si vemos que se cumple cierto criterio. Por ejemplo, puedo tomar dos monedas y compararlas entre sí para decir que su valor es el mismo, 50cts, y, por tanto, decir que las monedas son iguales.

Existe un criterio para igualar objetos que casi no se usa: el absoluto. Este criterio exige que se compartan todas las características entre los dos objetos. Ello implica, en muchos casos, observar una infinidad de rasgos, algo materialmente imposible. Pero, ¿cuando se puede decir que un criterio es de igualación?¿Qué leyes debe cumplir un criterio para ser de igualación?

El criterio absoluto debe cumplir dichas leyes. Además, otros criterios no absolutos, también deben cumplir esas leyes. Aquí trataremos de partir de lo más simple y llegar a lo más complejo, si es necesario, para que no quede ninguna ley por enunciar. A veces, llegar a ese nivel de sencillez es sumamente difícil.

La primera ley obvia y que no puede faltar es la siguiente: la comparación de cualquier objeto con sigo mismo debe de dar un resultado afirmativo, es decir, el criterio de igualación debe decir que todo objeto es igual a sí mismo. Sin esta ley, el criterio absoluto no sería un criterio de igualación, algo que no estamos dispuestos a asumir. A esta ley se le llama reflexiva y, en notación matemática, es:

  • \(a\Re a,\:\forall a\in A\)

La segunda ley, también obvia, nos dice que el criterio debe dar el mismo resultado tanto si toma uno primero y luego otro, como si se toma al revés, es decir, la simetría: si comparo a con b debe dar lo mismo que si comparo b con a. Puede parecer absurda esta ley, pero siempre observamos primero un objeto y luego otro, si el orden influyese, no sería un buen criterio. Esta es la ley de simetría y su notación es:

  • \(a\Re b\rightarrow b\Re a,\:\forall a,b\in A\)

La tercera ley recibe el nombre de transitiva. Como se ha visto, necesitamos comparar los objetos de dos en dos, por lo que debemos de asegurarnos que, dado un grupo de elementos iguales, siguen siendo iguales independientemente de cómo los emparejemos. Los matemáticos lo escribimos así:

  • \(a\Re b,\,b\Re c\rightarrow a\Re c,\:\forall a,b,c\in A\)

Por último, me queda por argumentar que no son necesarias más leyes que exigir a los criterios de igualación candidatos. Tristemente, debo decir que hasta aquí llega mi bagaje matemático. Solo puedo afirmar que la experiencia nos lleva a decir que a 2018 no ha sido necesaria una cuarta condición. Por tanto, nos conformamos con estas tres.

Estas leyes no se obtienen a partir de algún principio, solo son argumentadas. Tampoco son leyes que se cumplen forzosamente, sino que deben cumplirse. Por tanto, debemos diferenciarlas de las demás leyes y las llamaremos axiomas. Por otro lado, se basan en comparaciones dos a dos, por lo que establece una relación entre dos objetos, ello nos lleva a decir que “definen” una relación binaria. Además de binaria, establece cuando un criterio es de igualación o cuando esa relación nos dice que dos objetos son equivalentes. Por todo lo anterior, las leyes de igualación las llamamos, en matemáticas, relaciones binarias de equivalencia (R.B.E.).

Axiomas de una relación binaria de equivalencia:

  1. \(a\Re a,\:\forall a\in A\)
  2. \(a\Re b\rightarrow b\Re a,\:\forall a,b\in A\)
  3. \(a\Re b,\,b\Re c\rightarrow a\Re c,\:\forall a,b,c\in A\)

Los números racionales

Un ejemplo de relación binaria de equivalencia o como lo llamaba en este texto, criterio de igualación, reside en los racionales. Todos hemos visto en la escuela que \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\),\(\frac{4}{2}=\frac{2}{1}\) porque se cumple \(\exists r\in\mathbb{Q}/2r=4\) y\(\exists s\in\mathbb{Q}/3s=6\), es decir, si hacemos la división que representa la fracción, el resultado es el mismo. También se puede decir que dos fracciones son equivalentes cuando se cumple el producto cruzado, i.e., \(\tfrac{n_{1}}{m_{1}}=\tfrac{n_{2}}{m_{2}}\leftrightarrow n_{1}m_{2}=n_{2}m_{1}\forall n_{1},n_{2},m_{1},m_{2}\in\mathbb{N}\). Veamos que es una R.B.E.:

  1. \(a\Re a,\:\forall a\in A\)
    \(nm=nm\rightarrow\frac{n}{m}=\frac{n}{m}\forall n,m\in\mathbb{N}\)
    Sí se cumple.
  2. \(a\Re b\rightarrow b\Re a,\:\forall a,b\in A[\)
    \(\frac{n_{1}}{m_{1}}=\frac{n_{2}}{m_{2}}\rightarrow n_{1}m_{2}=n_{2}m_{1}\rightarrow\) \(n_{2}m_{1}=n_{1}m_{2}\rightarrow\frac{n_{2}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{m_{1}}\)
    Sí se cumple.
  3. \(a\Re b,\,b\Re c\rightarrow a\Re c,\:\forall a,b,c\in A\)
    \(\frac{n_{1}}{m_{1}}=\frac{n_{2}}{m_{2}},\frac{n_{2}}{m_{2}}=\frac{n_{3}}{m_{3}}\rightarrow\)\(n_{1}m_{2}=n_{2}m_{1},n_{2}m_{3}=n_{3}m_{2}\rightarrow\)
    \(n_{1}=n_{3}\frac{m_{1}}{m_{3}}\rightarrow\) \(n_{1}m_{3}=n_{3}m_{1}\rightarrow\frac{n_{1}}{m_{1}}=\frac{n_{3}}{m_{3}}\)
    Sí se cumple.

No es muy fácil ver este tipo de razonamiento formal en bachiller por lo que puede asustar a muchos. No obstante, no es necesario entenderlo, basta con verlo y así tener una idea de cómo trabajamos los matemáticos. Es igual que en lógica, pero con letras que representan números y muchos símbolos más.

Este concepto es crucial en matemáticas. Como todos, en primaria, aprendimos que no podemos sumar peras con naranjas porque son objetos distintos. Pero desde otro punto de vista, podemos decir que son equivalentes porque son frutas. En el caso anterior ya podemos sumar 2 frutas (que pueden ser dos peras) con dos frutas más (que pueden ser naranjas). El criterio de ser fruta cumple los axiomas de la relación binaria de equivalencia.

Por ello, para sumar formas, primero hay que tener un criterio que nos diga qué tipo de formas son iguales. Luego hay que obtener una suma que cumpla los axiomas de ley de composición interna (LCI) y finalmente que tenga un sentido para la intuición humana. Por el momento, si tienes curiosidad de alguna cosa espero que la comentes así como las dudas que puedan surgir.


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