Tercera entrega

Introducción a la tercera entrega

Puerta abierta que invita a entrar en una habitación con más luz.

Esta entrega añado dos aspectos: una motivación para seguir adelante con el proyecto y la relación entre los colores* y la biología. Una vez vista esta relación muchos no tendrán duda que es interesante seguir adelante, pero muchos otros no ─a ellos les dedico la motivación inicial─. Fomentar un trabajo en su medida ayuda a terminarlo, además de atraer al lector.

Nos encontramos a las puertas o ya dentro de un cambio climático nunca sufrido por la humanidad. Los expertos de la O.N.U. (el I.P.C.C.) afirman que el cambio climático es consecuencia del hombre. Esto nos llena de culpa y nos paraliza haciendo que evitemos tomar medidas: unos lo niegan, otros se sienten impotentes, otros escandalizan… pero pocos actúan provechosamente ─quizás yo hable demasiado─.

Este cambio de clima amenaza ser una catástrofe para nosotros y para nuestros compañeros, los seres vivos no racionales de la Tierra. Surgen, entonces, dudas existenciales. Es por ello, que saber que somos útiles, será un alivio. Se hace necesaria una misión común. Este trabajo ayuda y anuncia esa misión e intenta contribuir a ella.

A continuación, voy a hacer una observación que nos ayudará a entender la misión que expondré más adelante. La naturaleza expande la vida y la diversifica. En este planeta se puede encontrar agua, vida en el agua, se puede encontrar tierra, vida en la tierra, se puede encontrar aire, vida en el aire, etc. Esto es expandir la vida y su principal beneficio es el de proteger la vida.

Colonizar la Tierra entera de vida está muy bien para prevenir ciertas amenazas. Quien sabe si llegará un día en que se hará inservible el agua, la tierra o el aire. Si sucede uno de ellos, quedarán los otros. Pero, si a esto le añadimos formas de vida distintas, obtendremos que lo ruinoso para unos tipos de vida, no lo es para otros, es decir, más garantías para la continuación de la vida.

A continuación, voy a seguir con un apartado cuya función es la de resumir las entregas anteriores. Luego, en es el tercer, defino el sentido de la humanidad. Sigo con otros dos más con el objetivo de relacionar los colores con la biología. El siguiente apartado trata sobre las leyes de Grassmann las cuales respaldan la R.B.E. del primer trabajo.

Seguidamente, continúo con dos secciones que descartan ciertos modelos matemáticos muy usados. Es lo que hace que les siga una sección donde defienda la necesidad de unos números esféricos. El siguiente, argumento que existen. Continúo con el número segmentario, un ente que defino aquí. Finalmente, ofrezco unas conclusiones generales de toda la entrega.

Retomando el hilo II

Flecha hacia atrás.

En este apartado haré un resumen de las entregas anteriores. Para muchos lectores no será suficiente, si no han leído dichas entregas previas. Esto es condición inecuánime de todos los resúmenes. Aun así, intentaré extenderlo con la finalidad de conseguir un texto independiente que pueda entenderse por sí solo y con cierto contenido matemático.

El reto de modelar el mundo de los colores lo anuncio en la primera entrega. Ello implica que dé una buena definición de color* y, así, tener una meta precisa. Defino el color como «Propiedad de las imágenes mentales que permite distinguir unas formas de otras y, por tanto, unos objetos de otros, además de su situación.»

Más adelante, afirmo que dichas propiedades van fuertemente ligadas a propiedades de la luz y la materia entre otras. Las cuales las llamo color-luz* y color-materia* respectivamente. Son estas características las que me servirán de guía empírica, es decir, cuando tenga dudas la experimentación con ellas me será de ayuda.

Para llegar al objetivo expuesto debo chequear que se cumplen los principios matemáticos del futuro modelo. Este, como muchos otros, partirá de unos supuestos algebraicos y geométricos. Si son los ordinarios, se da por terminado este paso y sigo adelante. Si de lo contrario sucede que no es ordinario, deberé tenerlo en cuenta.

El álgebra, dicho a grandes rasgos y centrándome es la parte que me interesa para este propósito, es una ciencia matemática que estudia la interacción de los objetos (o elementos) entre sí. La geometría es aquella ciencia de la matemática que estudia la forma del espacio o incluso la forma de un conjunto de elementos.

Un espacio geométrico, según mi visión, es un ente matemático que surge de unir el álgebra con la geometría. Es un punto que expongo sin ser definido de manera rigurosa y completa. Los modelos son todos una «idealización» de la realidad y no reflejan al 100% su comportamiento, pero sí nos dan respuesta a muchas preguntas que desconocíamos.

Una vez tengo bien definido el objetivo, me pregunto cómo llegar a él. Concluyo que la especialidad científica necesaria para estudiarlos es interdisciplinaria. Así que, si parto de la especialidad científica matemática creo que podré llegar a conseguirlo consultando, también, fuentes de otras especialidades. Todo ello me dice que puedo empezar y llegar a buen puerto.

En el apartado «El color-luz» empiezo a estudiar los colores. Parto de los tres colores primarios R, G y B (rojo, verde y azul, respectivamente) y defino una suma entre ellos. La suma es la superposición de las luces de distinto color. Todas las sumas posibles me darán como resultado un conjunto finito o no que denotaré como \( \mathbb{L}\) y lo llamaré conjunto de los colores-luz.

De forma intuitiva, primero, y luego mediante el uso del lenguaje formal, demuestro que \( (\mathbb{L}_{r}, \oplus)\) es un monoide* abeliano. Uso \( \mathbb{L}_{r}\) porque en \( \mathbb{L}\) obtengo colores repetidos. De ese modo \( \mathbb{L}_{r}\) es el mismo conjunto sin tener elementos repetidos. En ese conjunto veo que la suma, \( \oplus\), es compatible con \( \mathbb{L}_{r}\). Esta es la misma que la anterior, pero con algunos retoques técnicos.

Una vez estudiado el comportamiento algebraico de los colores, los sitúo en el espacio. Esta organización espacial cumple que todo elemento suma está situado al medio de los sumados. Esto no se deduce, más bien lo construyo así. Como resultado tengo un octavo de esfera, con los colores del Arco Iris. Al repetir esta superficie, obtengo una esfera donde se observa lo mismo ocho veces.

Para finalizar la primera entrega, expongo argumentos que validan el modelo encontrado. No obstante, no tengo todos los colores. Lo que significa que el objetivo no está alcanzado; sólo parte de él. Sin embargo, este logro da esperanzas a seguir adelante y a creer que estoy en el buen camino. A continuación, resumo la entrega que le sigue.

La segunda entrega trata sobre el punto de color, un ente teórico. Incido, además, que a lo sumo llegaré a una realidad idealizada. La incidencia es necesaria porque el álgebra de los colores cambia según el material utilizado. Este hecho no lo contemplaré todavía en el modelo. Si consigo un modelo que describa los colores y su comportamiento, será suficiente como primer logro.

El punto de color es un ente que cambia su coloración según el lugar de donde sea visto. Es un intento de encajarlos todos en un sólo ente geométrico. Los ejes de \( \mathbb{R}^{3}\), en el (0,0,0), cambia la propiedad que representan por la contraria. En base a ello y dado que lo contrario de emitir sería absorber, el semieje positivo se reserva para los colores-luz y la parte negativa para los colores-materia.

En base al planteamiento anterior, surgen dos esferas. Una sin iluminar, por tanto los colores-materia no se aprecian, y otra iluminada, en la que los colores-luz se ven blancos. Más adelante, hago una observación sobre las sombras: cambian el color percibido sin que cambie el color del objeto. Este hecho significa que hay propiedades de la luz que nuestra mente codifica como colores distintos.

Finalizo la segunda entrega con el color-mental*. Este es el de nuestra mente, el que percibe todo vidente. Para hablar de él, debo basarme en la fuerte relación entre este y el color-luz o el color-materia. Directamente no puedo decir nada porque no puedo experimentar con ellos. Espero que el texto que viene a continuación sea le resulte interesante y útil.

El sentido de la inteligencia y la misión del ser humano

Ser humano en un campo mirando el cosmos.

Posiblemente sea la vanidad personal la que nos hace creer que estamos encima de la cúspide de la evolución natural. Nos creemos, los humanos, el animal superior a todos y, en realidad, somos uno más en este berenjenal de seres vivos.

La inteligencia o alguna de sus manifestaciones de esta es la excusa que usamos para argumentar nuestra superioridad. Pero ¿qué sucede cuando miramos al mundo? Ocurre que, parece ser, nos comportamos como garrapatas de la Tierra succionando sin parar todo fruto de ella; sea inerte o no.

Por ello y no sé a que necedad se debe, parece que seamos un virus, aunque con vida propia. Mientras los animales no rompen la armonía de la vida, nosotros la estamos poniendo en peligro al causar el cambio climático.

Visto lo anterior me pregunto, ¿es cierto que la inteligencia es algo superior? ¿o es inferior? La inteligencia la definiría como la capacidad de saber algo sin necesidad de la comunicación previa, es decir, que no hace falta que nos lo digan para saber algo.

Si fuese superior estaríamos encima de la cúspide de alguna jerarquía. Si fuese inferior, entonces estaríamos en el extremo inferior de la jerarquía anterior. También está la visión neutra. Esta nos libra de caer en la vanidad y nos integra mejor en la naturaleza.

No hay duda que la naturaleza ha recorrido el camino de crear la inteligencia y nos ha tocado a nosotros. Pero ¿cuál es el sentido de la inteligencia? ¿Para qué necesita la naturaleza un animal inteligente? La inteligencia, que tiene la debilidad de equivocarse y hacer lo contrario, ¿es biorentable?

La explicación que le encuentro nace de observarla a ella misma. La naturaleza es portavoz de la vida, va expandiendo y diversificando todas y cada una de la formas de vida posibles en la Tierra. No me cabe duda que el ser humano es una forma de vida más con la misma misión que todas ellas: perpetuar la vida.

Una vez más, la vida es el objetivo. Los recursos de la naturaleza son diversificar su forma y expandir su situación por cualquier lugar. Hay, agua, vida en el agua. Hay tierra, vida en la tierra. Hay atmósfera, vida en ella. Hay espacio exterior… He aquí la necesidad de la inteligencia.

No conozco vida extraterrestre, pero con uso de la inteligencia la podrá haber. Debemos expandir la vida al espacio exterior. ¿Para qué sino la inteligencia? ¿Para qué arriesgarse a un cambio climático? ¿Por qué sufrir los defectos del hombre?

Tenemos la oportunidad de cumplir con nuestra misión no impuesta y sí descubierta: perpetuar la vida allá donde sea. Debemos aceptar, como cualquier otro ser perteneciente a la naturaleza, nuestra misión de garantizar la vida.

Los colores de la naturaleza

Fotografía tomada en el fondo del mar donde se ve cierta diversidad de vida submarina.

Este título es una frase tomada de mi terapeuta Amparo. Le comentaba que los colores estaban relacionados con los seres vivos y me contestó, de forma poética: «Los animales son los colores de la naturaleza».

Una vez visto la relación poética, pasemos a un plano científico. Este texto y el que viene tratará de relacionar los colores con la naturaleza o la vida. Como he expuesto anteriormente todo color* puede formarse a partir de tres primarios. Esto daba lugar a cadenas del tipo:

B-R-G-R-G-R-B-G-B-R-B-R

que abreviadamente se simplifica, ya que no importa el orden, en:

R⁵G³B⁴

Además, tengo una equivalencia en pintura. La pintura que sólo absorbe el R, refleja el color GB cuando le da la luz blanca. Este color se le llama Cían (C). Cuando sólo absorbe el G a la luz blanca, refleja el RB, que se le llama amarillo (Y). Finalmente cuando la pintura sólo absorbe el B, refleja el RG que se llama Magenta (M).

En principio, los colores son los mismos, tanto en luz como en pintura. Prueba de ello lo tenemos en que todo lo que vemos en la pantalla del ordenador, lo podemos ver en una hoja impresa. Esto hace que tengamos una equivalencia entre el RGB y MCY.

La equivalencia podría ser la mostrada abajo en la tabla, aunque no encaja del todo.

LuzBRGRGRBGBRBR
Pintura Y M M C Y Y

Fijémonos en la tabla. No hay dos colores primarios consecutivos en luz, lo cual es una restricción que quizás no interese. Además, el número de colores primarios en luz es par. Esto sólo es un ejemplo. Pero ya se puede ver la similitud de los colores con la cadena del ADN.

Los colores permiten ser manejados a nuestro antojo sin remordimientos éticos. En cuanto que, la cadena del ADN nos lleva a dilemas existenciales por responder. No obstante, los colores sólo necesitan de tres letras mientras que el ADN necesita 4, con otra dual de 4 letras también.

Por todo ello, parece que estudiar los colores sea un problema reducido de la cadena del ADN.

Los colores de la naturaleza II

Muchos animales uno al lado del otro

En este artículo voy a extender las ideas desarrolladas en el artículo de mismo nombre, pero de numeración previa. Expondré una relación entre los colores-luz y los colores-materia. Dicha relación está basada en la sugerencia del texto anterior.

La materia absorbe luz y por tanto ciertas cantidades de cada color* de la luz blanca, RGB. En caso de no ser así, será un supuesto que hago a partir de ahora. Al absorber dichas cantidades de cada color me pregunto cuál es la mínima parte que puede absorber.

Si absorbe los tres colores a la vez tendré oscuridad o lo que es lo mismo el color negro. Por tanto absorbe cantidades más pequeñas. Si no absorbiese ningún color tendría la transparencia porque dejaría pasar los rayos provenientes de cualquier lugar.

Con lo anterior tengo que ni son los tres colores a la vez ni es ninguno. Con lo cual son cantidades más pequeñas sin llegar precisamente al cero. Un hecho que observamos continuamente es el siguiente, todo color-luz* se puede representar mediante el color-materia*. Por tanto, las gamas son las mismas.

Una forma para tener la misma gamma de colores en materia como en luz puede ser producir el efecto contrario que en luz. De ese modo, si en luz iba añadiendo colores unitarios, en materia iré eliminando dichos colores unitarios.

En el color-luz, el mínimo era añadir un color-luz R, G o B. En materia, por tanto, la mínima cantidad será absorber un color-luz R, G o B. Así obtengo la misma cantidad de colores tanto en luz como en materia.

En los colores-luz añadía R, G o B. Ahora, para este texto, absorberé R, G o B de la luz blanca. Para diferenciar entre emitir y absorber, cuando emito usaré el símbolo + y para cuando absorbo el símbolo ─. Así tengo, R⁻ = G⁺B⁺, G⁻=B⁺R⁺ y que B⁻ = G⁺R⁺. Esto, es bajo el supuesto que el color pintura es iluminado en luz blanca, RGB.

Imaginemos que tengo un color que coincide con emitir \( R^{n}G^{m}B^{l}\) en luz. Sea \( t=n+m+l\), entonces su equivalencia en pintura será \( A_{1}^{n}A_{2}^{m}A_{3}^{l}\). Me falta determinar* quienes son esas \( A_{i}\). Basándome en lo anterior, si tengo que \( A_{1}=G^{+}B^{+}, A_{2}=B^{+}R^{+}\) y \( A_{3}=G^{+}R^{+}\) obtengo que:

\( A_{1}^{n}=(G^{+}B^{+})^{n}, A_{2}^{m}=(B^{+}R^{+})^{m} y A_{3}^{l}=(G^{+}R^{+})^{l}\)

entonces \( A_{1}^{n}A_{2}^{m}A_{3}^{l}=(R^{+})^{m+l}(G^{+})^{n+l}(B^{+})^{n+m}\) que es lo mismo que decir \( R^{t-n}G^{t-m}B^{t-l}=R^{t}G^{t}B^{t}+R^{-n}G^{-m}B^{-l}\). De modo que me conviene definir \( R^{-}=G^{+}B^{+}, G^{-}=B^{+}R^{-} y B^{-}=G^{+}R^{+}\).

Como son colores distintos a usaré las letras C, Y, M. Éstas coinciden con la inicial del color que se ve. De este modo he conseguido una doble cadena para nombrar a un mismo. Si el color lo quiero representar mediante luces, RGB. Mediante materia, CYM. Los cuales se emparejan R-C, G-Y y B-M.

La cadena expuesta en el apartado anterior tendría la forma que ofrece en la tabla. Suponiendo que es iluminado en luz blanca, ya que si fuese otra luz se obtendrían otras cadenas.

LuzBRGRGRBGBRBR
PinturaMCYCYCMYMCMC

Ahora bien, también puedo representar a los colores-materia como una aplicación entre los colores luz y ellos mismo. Dado un color luz es devuelto otro color-luz. Esta es una posibilidad a tener en cuenta, pero ahora no voy a determinar si es mejor o no.

Las leyes de Grassmann y la RBE de la primera entrega

En las entregas anteriores me he basado en conocimientos de secundaria. En ellas, no incluía referencias a ciertos hechos que daba por sentado, conocidos por aquellos que han llegado a bachiller. Sin embargo, leyendo el libro de Juan Carlos Sanz, «El libro del color», ciertos conocimientos tienen un autor al que hacer referencia.

Los conocimientos a los que hago alusión, hoy son básicos. Además, resulta bastante fácil hacer experimentos para verificarlos. En su día, fue Grassmann quien las introduzco o las plasmó en el papel. Con ellos me basaba para dar una relación binaria de equivalencia. Grassmann los resumió con 3 leyes. Que son las siguientes:

  1. Todo color \( c[C]\), se puede descomponer como la suma de 3 colores primarios multiplicados cada uno por un valor. \( c[C] = r[R] + g[G] + b[B]\)
  2. Dada una constante, \( k\), si multiplicamos a ambos miembros de la ecuación anterior, no varía. \( k \cdot c[C] = k  \cdot r[R] + k  \cdot g[G] + k  \cdot b[B]\)
  3. Dados estándares de colores se pueden igualar mediante la articulación de proporciones distintas r, g y b.

Los estándares de colores son, a mi entender, como cartas de colores llenos de degradados. Se basan en propiedades del color*, la luz o la percepción de éstos dos últimos. Por ejemplo, de momento en las entregas que he hecho sólo me he basado en dividir los colores-luz en tres primarios. Otros, en cambio, se basan en la longitud de onda de la luz.

El hecho de basarse en diferentes formas de entender el color hace que podamos clasificarlos y numerarlos de forma diferente. La importancia de la tercera ley reside en que todas las formas posibles podrán expresarse de alguna manera con el sistema RGB. Ello da lugar a un estándar muy potente, aunque hoy en día no es el único.

Fijémonos que sin decirlo me he basado en estas tres leyes. No obstante, he añadido otra que dice:

\( c[C] =k  \cdot c[C] \:\forall k\in\mathbb{Q}^{*}\)

Es parecida a la segunda, pero aquí solamente multiplico a un miembro de la ecuación.

Los colores-luz y R³

R3

El espacio euclidiano tridimensional es denotado mediante \( \mathbb{R}^{3}\). Al hacer uso de \( \mathbb{R}\) se comunica que todas las coordenadas pertenecen a \( \mathbb{R}\), además el 3 hace referencia al uso de 3 coordenadas siempre. Por otra parte, en los colores-luz, se usaba 3 números, uno para cada color* primario. Estos los situaba como superíndice de las letras. Sin embargo, puedo prescindir de las letras y usarlos como coordenadas.

Hacer lo anterior me lleva a la pregunta: ¿\( \mathbb{R}^{3}\) es un buen ente matemático para reflejar el mundo de los colores y su comportamiento? ─Debido a que cada color \( R^{n}G^{m}B^{l}\) se puede expresar como \( (n,m,l)\).

Para dar respuesta a esta pregunta me basaré en tres argumentos. El primero, que destaco por su sencillez, es: \( n,m,l\in\mathbb{N}\). Así que \( \mathbb{R}^{3}\) no es.

El segundo argumento, también importante, es el hecho que los colores-luz siempre suman. No hay ningún color-luz* que reste. A pesar de ello, se puede seguir insistiendo en \( \mathbb{R}^{3}\) bajo el uso de alguna relación binaria de equivalencia o el uso de un subespacio o subconjunto de \( (\mathbb{R}^{+})^{3}\), es decir, el conjunto formado por los puntos del espacio con las tres coordenadas positivas.

Es entonces donde entra en juego el tercer argumento: se puede definir una equivalencia en \( \mathbb{N}^{3}\subset\mathbb{R}^{3}\) representando a un subconjunto de los colores-luz y sin embargo la suma de los elementos de \( \mathbb{R}^{3}\) no es compatible con la relación de equivalencia definida.

Una vez visto todo lo anterior abandono la idea basada en que \( \mathbb{R}^{3}\) tal y como lo conocemos pueda ser útil de alguna manera para reflejar el mundo de los colores.

Los colores-luz no son RGB ni HSV

Un cubo y un cilindro a la papelera hacen llorar.

En informática se tiene el recurso de numerar los colores de diversas formas. Las más habituales, según mi percepción, son RGB y HSV. Ellos asignan un número a cada color*. Al numerar los colores podríamos aceptarlos como un ente matemático que describe el mundo de los colores, pero no. Explicaré primero su funcionamiento y luego expondré mis argumentos para rechazarlos.

En primer lugar explicaré RGB. Si partimos de las leyes de Grassmann, es lógico asignar a cada color una cantidad de R, G y B. Mediante técnicas que desconozco se consigue saber cuanto al rojo (R), al verde (G) y al azul (B) para cualquier color que se pueda percibir. Una vez tenemos eso hacemos corresponder a cada eje de \(\mathbb{R}^{3}\) un color primario.

Cada punto de este espacio viene representado por vectores de tres coordenadas. Cada coordenada será la cantidad de color primario que se le asigna a dicho punto coloreado según RGB. Debido a ciertas restricciones tecnológicas se debe elegir un subconjunto finito. Lo que nos lleva a un cubo. El cubo formado por los puntos \( [0-255]^{3}\) o \( [0-1]^{3}\).

En segundo lugar explicaré la numeración HSV. Los colores tienen más características que permiten también su distinción y clasificación. Me refiero al matiz*, la saturación y el valor. Con estas tres propiedades podemos reproducir cualquier de ellos. Esto es la base de HSV. Esas características se pueden cuantificar y obtener un cilindro1 lleno, es decir la superficie lateral junto todo su interior.

Ambos sistemas de numeración de los colores han sido desarrollados por la Comisión Internacional de la Iluminación, CIE (por sus siglas en francés, Commission Internationale de l’Éclarige). Primero surgió RGB y luego HSV. Podríamos decir que HSV es más sofisticado. Sugiero al lector visitar Wikipedia si quiere ampliar información. La he encontrado acorde con los libros.

En tercer lugar, expondré mis argumentos para no conformarme con esas formas de numerar. Ambas dan como resultado unos subconjuntos de \(\mathbb{R}^{3}\), los cuales he rechazado anteriormente. En ellos no consigo definir una operación suma. Añado, también, el argumento que el hecho de tener en un mismo eje diferentes colores, contradice la evidencia de que un color más el mismo da como resultado el mismo.

Ignorar el color transparente, que representa la ausencia de color, es otro punto flaco en ambas formas de numerar. El negro viene a ser la ausencia de color en ambos casos, ya que el (0,0,0) queda identificado por el color negro. Para mí el negro es la ausencia de luz no de color. Vemos la oscuridad con el color negro2, pero los objetos no han cambiado de color.


1 A veces se dice que es un cono.

2 Sí puedo pensar que un objeto negro absorbe todo rayo que le llega.

La necesidad de unos números esféricos

Números que forman una esfera.

En la primera entrega encontré un modelo esférico para un subconjunto de colores. Estos colores son, intuitivamente, los mismos que surgen del espectro de la luz blanca. Su comportamiento algebraico era contractivo, es decir, un color* al unirse con otro color daba como resultado el color situado en medio de los dos.

Una vez observada una evidencia en los colores, vuelvo al mundo de las matemáticas. Fijémonos en los números positivos. Tenemos que si uno (o sumo) dos números, el resultado está más allá que cualquiera de los anteriores. Dicho de otra forma, la suma es más grande o igual que cualquiera de los sumados.

Expresado con un lenguaje más formal: si \( c=b+a\rightarrow c\geq a,c\geq b\,\forall a,b\in\mathbb{R}^{+}\). Nota 1.

Como esto lo cumplen los números y los movimientos en la geometría ordinaria, pasa a formar parte de la exigencia matemática al crear nuevos entes. ¿Qué significa eso? Dicho en otras palabras, si la matemática quiere crear un número nuevo (u objetos diferentes) entonces le exige esa condición.

Dicho todo lo anterior, si quiero unos entes matemáticos que reflejen el mundo de los colores, me veo obligado a rechazar la condición expuesta más arriba. Según el alcance de mi conocimiento, esa condición es impuesta en todos los espacios numéricos2. Por tanto, eso supone diseñar unos números nuevos, que llamaría radiales o esféricos.


1 Si la generalizamos, tendremos la desigualdad de Minkowski.

2 Espacios vectoriales, espacios con norma, espacios afines, etc.

Los colores y la existencia de los números esféricos

Papel antiguo con gráficos matematicos y un compás.

La matemática anhela ser cierta desde el punto de vista empírico, pero a lo único que puede llegar es a ser coherente y útil. Es misión de los científicos y de los matemáticos aplicados el identificar la equivalencia entre la realidad y la matemática. Sólo así las matemáticas no fallarán, pues se falla en la identificación de la parte real con los entes matemáticos usados para describirla.

Si nos basamos en que la realidad puede ser descrita de forma coherente, necesitamos herramientas que nos ayuden en el camino de la coherencia. He aquí la gran utilidad de la matemática. Una vez identificados unos principios naturales con unos matemáticos, se debe cumplir todo el aparato matemático. En caso contrario, esos principios no son los adecuados.

Los matemáticos, por tanto, deben anticiparse a los tiempos para que toda rama del conocimiento disponga de facilidades donde poder expresar sus hallazgos. O bien debe ser el último paso científico; desarrollar unos entes matemáticos que sean el reflejo de la realidad.

Las matemáticas son, para mí, como el papel para el escritor; como la estantería para la biblioteca. Sin ellas, el conocimiento se apelmaza en un montón de difícil acceso. Esto nos obliga a rehacer el trabajo una y otra vez. Lo que nos lleva a redescubrir cada vez los antiguos hallazgos de un tiempo o época pretérita.

Para no rehacer el trabajo acumulado debemos hacer nuevas estanterías y papeles de distinta tipología. Esto nos llevaría a una matemática diferente que bien puede nacer de una definición de número distinta de la ordinaria. Lo que implica aceptar y enunciar una axiomática diferente a la que se tiene actualmente.

Los axiomas se suponen no paradójicos, pero ¿cómo llegar a ellos? ¿Que nos garantiza que definirán un sistema formal coherente? Estas preguntas se hacen necesarias llegados a este punto. Si no sabemos como llegar a una axiomática que definan un sistema formal coherente, no podemos garantizar a los usuarios de la matemática que disponen de una buena herramienta para su trabajo.

Por todo ello, propongo hacer lo mismo que los griegos en una época anterior. Ellos guiados por la abstracción y los resultados que se obtenían de los dibujos definían entes matemáticos. Luego comprendieron mejor su mecanismo y llegaron a definir axiomas, indiscutibles hoy en día, que definen un sistema formal coherente.

Por tanto, si los colores pueden ser descritos de forma coherente, hay un sistema numérico con unos axiomas diferentes que los describen. De ahí que deduzca de forma no matemática, la existencia de unos números esféricos ─debido lo visto hasta ahora el color debe coincidir con la esfera─. Trato, ahora, de hacer una abstracción de la realidad partiendo de los colores.

Para qué el número «segmentario»

Varias rosas de viento con diseño diferente.

En la escuela nos enseñaron a numerar una recta infinita, pero ¿sabemos numerar un segmento? Lo natural es asignarle 0 a un extremo y el valor de su longitud al extremo opuesto. Otra opción es asignarle la longitud 1, si la desconocemos. Lo mismo haríamos cuando tengamos algún interés en particular por darle otra distancia.

No obstante, no es la única forma conocida. La rosa de los vientos es usada por gran cantidad de gente. Tiene una forma peculiar de etiquetar los puntos de la circunferencia. Si cogemos un arco de ella, tendremos otra forma de numerar un segmento de longitud desconocida. A esta forma, la llamaré numeración segmentaria y a sus números, segmentarios.

Esta numeración, que pasa inadvertida ante nosotros, no es estudiada en matemáticas. En principio, no tienen un comportamiento asignado. Sólo sirven para describir hacia donde vamos, una vez tenemos fijado un punto de referencia. Sin embargo, cualquiera puede asignarle un comportamiento y ser estudiado como los números ordinarios.

En este post explicaré qué comportamiento les asigno. Creo que no es difícil captar la idea de forma intuitiva, aunque dejará en el aire muchas preguntas porque despierta la curiosidad. Más adelante, aportaré argumentos para usarlos en el mundo de los colores y, por extensión, en el campo de la biología genética.

Un segmento se caracteriza por tener dos puntos extremos, el inicial y el final, y de ir en linea recta entre estos dos. Llamaré, N, al extremo de la izaquierda y E al opuesto. De esa forma relaciono la rosa de los vientos con este segmento. Defino la suma de dos puntos como: el punto medio entre ellos dos y su nombre el que resulta de yuxtaponer los nombres de los dos puntos sumados.

En la Imagen «Etiquetación» podemos observar que los puntos surgidos de sumar primero los extremos y luego los obtenidos del paso anterior. Es decir, N + E = NE, N+NE=NNE, NE+E=NEE… De ese modo, llegaríamos a numerar una infinidad de puntos del segmento. Además, podríamos afirmar intuitivamente que dado cualquier punto, existe otro etiquetado que se aproxima tanto como queramos.

Numeración de un segmento basada en la rosa de los vientos.
Etiquetación de los puntos del segmento. Dados dos extremos el punto medio recibe la etiqueta o nombre que resulta de yuxtaponer las etiquetas de los extremos anteriores, luego se ordenan primero las N’s y luego las E’s.

En este caso he impuesto implícitamente la conmutativa, ya que sólo hay un punto medio. Así, NNE+NE, en realidad es: NNENE siendo estrictos con la yuxtaposición. Pero si se da la conmutativa, entonces NNENE = NNNEE; que es la etiqueta que hay en la Imagen «Etiquetación». Esta propiedad impuesta es de gran ayuda porque simplifica la notación.

Si ponemos todas las N’s a la izquierda y todas la E’s a la derecha, lo que les diferencia unas etiquetas de otras es la cantidad de N’s y E’s. En la Imagen «Pirámides segmentarias» podemos ver que obtenemos lo mismo contar las letras y separar con una coma los números resultantes. Esta es la numeración segmentaria y los números segmentarios.

Pirámides segmentarias.
Pirámides segmentarias.

Se puede decir que tenemos dos magnitudes: cantidad de N’s y E’s. Los cuales dan lugar a unos casos concretos de vectores bidimensionales. El hecho, que sean pares de números enteros, nos lleva a preguntar, si el conjunto resultante es igual a $latex \mathbb{N}^{2}$. Esta cuestión queda en el aire. Además, hay muchas otras: ¿se puede llegar a numerar todos los puntos mediante un derivado de este sistema?

Seguidamente, expongo los argumentos que me llevan a continuar con ellos para describir el mundo de los colores. Imaginemos que en vez de dos extremos tenemos dos colores; si queremos hacer un degradado, es decir, trazar un camino «continuo» que pase de un color* a otro, nos es de gran ayuda esta forma los números segmentarios.

Veamos cómo; colocamos en cada extremo un color que pinte una línea vertical del tamaño de 5 píxeles. Por ejemplo, R en uno y G en el otro. En medio de la cinta de degradación una linea vertical de 5 píxeles con el color resultante de mezclar la misma cantidad para los dos color, es decir, mezclar R y G cuyo nombre del nuevo color es RG = (1,1). Así, tantas veces como sea necesario.

Estos números se ve que tienen un comportamiento similar a los colores. En la primera entrega ya hacía uso de ellos, pero no les daba nombre ni los distinguía. No quiero olvidar decir que el (0,0) viene identificado por el conjunto vacío, el cual, no altera a los puntos: si sumamos nada, no se altera el color, ni la posición.

Las rectas fueron el punto de apoyo de la geometría en la antigüedad. Dicha geometría nos llevó a configurar el concepto de número actual. ¿Qué ocurrirá si nos apoyamos en los colores para definir unos nuevos números? ¿Habrá un puente entre ellos que nos permita pasar de una numeración a otra? ¿Obtendremos una nueva gama de números?

Conclusiones de la tercera entrega

El color* puede ser un inicio para llegar a una geometría y un álgebra de la biología. Estas dos nos sería de gran ayuda para exportar la vida a otro planeta. Ya que no basta con crear vida en otro lugar, debe cumplir unas exigencias necesarias. La primera es: la nueva forma de vida no puede poner en peligro las ya presentes en el universo o ambas no deben entrar nunca en conflicto.

Por ello, nuestra misión de garantizar la vida, exportándola a otro lugar del firmamento, debe cumplir que la «naturaleza hija» resultante, no entre en conflicto con la vida terrestre. Para conseguir este requisito se necesita una matemática que permita a los biólogos predecir que tipo de vida se creará. Los matemáticos debemos ayudar en esa tarea.

Si conseguimos identificar cada ser vivo en un ente numérico, como con los colores, seríamos capaces de hacer ciertas predicciones respecto los descendentes. Por ejemplo, en un espacio vectorial, sabemos todas las posibilidades que pueden ocurrir dados unos elementos suyos, ya que estos crean un subespacio vectorial.

En el mundo de los colores podemos predecir cuales serán todos los colores que saldrán a partir de cualquier grupo de ellos, si los combinamos entre sí una y otra vez. ¿Por qué no pensar que en el mundo de los seres vivos también se puede hacer? Como siempre hay diferencias que respetar y dificultades ha superar. Pero ¿por qué no intentarlo?

He llegado, finalmente, a exponer la necesidad de un concepto nuevo de número que nos permita describir el mundo de los colores. Esta necesidad y, guiado por mi intuición, me lleva a pensar en el número segmentario. De momento puede ser expresado por una pareja numérica, pero quizás más adelante se llegue a uno sólo. Quedan todos invitados a los retos propuestos.


A continuación expongo el índice de esta entrega para leer los artículos por separado.

  1. Introducción
  2. Retomando el hilo II
  3. El sentido de la inteligencia y la misión del ser humano
  4. Los colores de la naturaleza
  5. Los colores de la naturaleza II
  6. Las leyes de Grassmann y la RBE de la primera entrega
  7. Los colores-luz y \( \mathbb{R}^{3}\)
  8. Los colores-luz no son RGB ni HSV
  9. La necesidad de unos números esféricos
  10. Los colores y la existencia de los números esféricos
  11. Para qué el número «segmentario»
  12. Conclusiones

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