Varias rosas de viento con diseño diferente.

Para qué el número «segmentario»

En la escuela nos enseñaron a numerar una recta infinita, pero ¿sabemos numerar un segmento? Lo natural es asignarle 0 a un extremo y el valor de su longitud al extremo opuesto. Otra opción es asignarle la longitud 1, si la desconocemos. Lo mismo haríamos cuando tengamos algún interés en particular por darle otra distancia.

No obstante, no es la única forma conocida. La rosa de los vientos es usada por gran cantidad de gente. Tiene una forma peculiar de etiquetar los puntos de la circunferencia. Si cogemos un arco de ella, tendremos otra forma de numerar un segmento de longitud desconocida. A esta forma, la llamaré numeración segmentaria y a sus números, segmentarios.

Esta numeración, que pasa inadvertida ante nosotros, no es estudiada en matemáticas. En principio, no tienen un comportamiento asignado. Sólo sirven para describir hacia donde vamos, una vez tenemos fijado un punto de referencia. Sin embargo, cualquiera puede asignarle un comportamiento y ser estudiado como los números ordinarios.

En este post explicaré qué comportamiento les asigno. Creo que no es difícil captar la idea de forma intuitiva, aunque dejará en el aire muchas preguntas porque despierta la curiosidad. Más adelante, aportaré argumentos para usarlos en el mundo de los colores y, por extensión, en el campo de la biología genética.

Un segmento se caracteriza por tener dos puntos extremos, el inicial y el final, y de ir en linea recta entre estos dos. Llamaré, N, al extremo de la izaquierda y E al opuesto. De esa forma relaciono la rosa de los vientos con este segmento. Defino la suma de dos puntos como: el punto medio entre ellos dos y su nombre el que resulta de yuxtaponer los nombres de los dos puntos sumados.

En la Imagen “Etiquetación” podemos observar que los puntos surgidos de sumar primero los extremos y luego los obtenidos del paso anterior. Es decir, N + E = NE, N+NE=NNE, NE+E=NEE… De ese modo, llegaríamos a numerar una infinidad de puntos del segmento. Además, podríamos afirmar intuitivamente que dado cualquier punto, existe otro etiquetado que se aproxima tanto como queramos.

Numeración de un segmento basada en la rosa de los vientos.
Etiquetación de los puntos del segmento. Dados dos extremos el punto medio recibe la etiqueta o nombre que resulta de yuxtaponer las etiquetas de los extremos anteriores, luego se ordenan primero las N’s y luego las E’s.

En este caso he impuesto implícitamente la conmutativa, ya que sólo hay un punto medio. Así, NNE+NE, en realidad es: NNENE siendo estrictos con la yuxtaposición. Pero si se da la conmutativa, entonces NNENE = NNNEE; que es la etiqueta que hay en la Imagen “Etiquetación”. Esta propiedad impuesta es de gran ayuda porque simplifica la notación.

Si ponemos todas las N’s a la izquierda y todas la E’s a la derecha, lo que les diferencia unas etiquetas de otras es la cantidad de N’s y E’s. En la Imagen “Pirámides segmentarias” podemos ver que obtenemos lo mismo contar las letras y separar con una coma los números resultantes. Esta es la numeración segmentaria y los números segmentarios.

Pirámides segmentarias.
Pirámides segmentarias.

Se puede decir que tenemos dos magnitudes: cantidad de N’s y E’s. Los cuales dan lugar a unos casos concretos de vectores bidimensionales. El hecho, que sean pares de números enteros, nos lleva a preguntar, si el conjunto resultante es igual a \mathbb{N}^{2}. Esta cuestión queda en el aire. Además, hay muchas otras: ¿se puede llegar a numerar todos los puntos mediante un derivado de este sistema?

Seguidamente, expongo los argumentos que me llevan a continuar con ellos para describir el mundo de los colores. Imaginemos que en vez de dos extremos tenemos dos colores; si queremos hacer un degradado, es decir, trazar un camino «continuo» que pase de un color a otro, nos es de gran ayuda esta forma los números segmentarios.

Veamos cómo; colocamos en cada extremo un color que pinte una línea vertical del tamaño de 5 píxeles. Por ejemplo, R en uno y G en el otro. En medio de la cinta de degradación una linea vertical de 5 píxeles con el color resultante de mezclar la misma cantidad para los dos color, es decir, mezclar R y G cuyo nombre del nuevo color es RG = (1,1). Así, tantas veces como sea necesario.

Estos números se ve que tienen un comportamiento similar a los colores. En la primera entrega ya hacía uso de ellos, pero no les daba nombre ni los distinguía. No quiero olvidar decir que el (0,0) viene identificado por el conjunto vacío, el cual, no altera a los puntos: si sumamos nada, no se altera el color, ni la posición.

Las rectas fueron el punto de apoyo de la geometría en la antigüedad. Dicha geometría nos llevó a configurar el concepto de número actual. ¿Qué ocurrirá si nos apoyamos en los colores para definir unos nuevos números? ¿Habrá un puente entre ellos que nos permita pasar de una numeración a otra? ¿Obtendremos una nueva gama de números?

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