Explicación de los axiomas de los vectores en álgebra

En este post intento responder a la pregunta qué es un vector. Para ello debo explicar los axiomas de los espacios vectoriales y por ello pasa a ser el tema central del artículo. Otra pregunta sería qué aplicaciones tienen los espacios vectoriales del álgebra en la ciencia o en otra disciplina como la informática.

La respuesta de esta entrada puede parecer demasiado teórica, sin embargo es la clave para entender por qué los vectores son esenciales y sus aplicaciones tan dispares.

¿Qué es un vector en álgebra lineal?

Un vector en álgebra lineal es un elemento de un espacio vectorial. Un espacio vectorial es una estructura algebraica muy usada por matemáticos, científicos, informáticos e ingenieros debido a su gran variedad de aplicaciones. Una evidencia de su gran variedad de aplicaciones la podemos encontrar en la existencia de imágenes vectoriales; estas guardan una estrecha relación con el concepto matemático de vector.

Si cambiamos el punto de vista y queremos un ejemplo clásico, encontraremos que las fuerzas físicas de la naturaleza y del universo se pueden expresar mediante vectores.

Los espacios vectoriales, como en toda estructura algebraica, vienen definidos mediante la descripción de la interacción de todo elemento con el resto de ellos. Todas esas interacciones mantienen unas propiedades comunes y se exigen mediante axiomas.

Definición de espacio vectorial. Axiomas

Hasta ahora en apariencia un espacio vectorial era una sola estructura, pero de hecho son dos que se ‘hablan’ entre sí de manera que pasan a formar un ente matemático muy bello y rico en características. Nuevamente, para decir que las estructuras se ‘hablan’ entre sí se recurren a los axiomas.

Estas dos estructuras algebraicas son un grupo abeliano y un cuerpo. Entre ellas dos se define un producto, *, de manera que cumple los siguientes axiomas:

Sean \(\alpha,\beta\in C\), donde \((C, + , ·)\) es un cuerpo y con esas operaciones para la suma y la multiplicación.

Sean \(u,v\in V\), donde \((V, \oplus)\) es un grupo abelianos con dicha suma.

Sea * el producto entre los elementos del cuerpo y del grupo abeliano.

  1. \(\alpha*u \in V\), es decir \(*: C \times V → V\) es aplicación.
  2. \(\alpha*(u\oplus v)=\alpha*u \oplus \beta*v\).
  3. \(\alpha*(u \oplus v) = alpha*u \oplus alpha*v\).
  4. \((alpha + beta)*u = alpha*u + beta*v\).
  5. \((alpha·beta)*u = alpha*(beta*u)\).
  6. \(1*u = u\)

Advertencia: Estos axiomas se unen a los de grupo abeliano y cuerpo.

Explicación intuitiva de los axiomas

  1. Este axioma lo que nos dice es que cualquier elemento del cuerpo, \(C\), junto con cualquier elemento del grupo abeliano, \(V\), da lugar a otro elemento de \(V\). En la práctica viene a decir que un elemento de \(V\) se puede contraer o dilatar en proporción a un elemento de \(C\), ya que seguirá siendo un vector de V.
  2. Si sumamos dos elementos, \(u,v \in V\) y luego los multiplicamos por un elemento de \(C\), \(alpha\), es lo mismo que multiplicar cada elemento, \(u\) y \(v\), por \(alpha\) y luego sumarlos. Dicho de otro modo, según lo anterior y llamando alteración tanto para la dilatación de un vector como para su contracción, esta propiedad lo que dice es que la alteración de la suma es la suma de las alteraciones.
  3. Si sumamos dos elemento de \(C, alpha\)y \(\beta\) y lo multiplicamos por u, tenemos que es lo mismo que multiplicar u por \(alpha\) primero y luego por \(\beta\) y sumar los resultados obtenidos. Dicho de otro modo y siguiendo con lo anterior, es lo mismo sumar las alteraciones y alterar el vector que alterar el vector por alteraciones diferentes y sumar los resultados. Este casi que con la expresión matemática se entiende mejor.
  4. Este caso es el mismo que el anterior pero en vez de sumas, productos.
  5. Aquí simplemente dice que existe un elemento de \(C\) que no altera a ningún vector y además ese es el elemento neutro para el producto en el cuerpo, \(C\).

Consideraciones adicionales

Nota

Normalmente \(C\) y \(V\) suelen ser el mismo conjunto con lo cual las sumas coinciden y el producto interior coincide con el producto del cuerpo. Esto simplifica mucho las operaciones y la notación, pero no debemos olvidar que un espacio vectorial es una estructura mucho más rica de lo que en la práctica se trabaja.

Como decía, muchas veces nos sorprende ver que algunos conjuntos sean espacios vectoriales. Esto se debe a lo que apuntaba en el párrafo anterior, es decir, hay conjuntos que nos son un cuerpo y ni mucho menos son los reales, pero no por ello dejan de ser un espacio vectorial.

Representación gráfica

La forma más habitual de representar un vector es mediante una flecha. Esto se debe a que a las flechas se pueden dotar de un comportamiento (o de una aritmética) propia de un espacio vectorial. Aquí el grupo abeliano está formado por cualquier flecha que surge de un mismo punto. Su suma vendría identificada por la ley del paralelogramo. El cuerpo suele ser el conjunto de los reales. De ese modo, si alteramos la longitud de una flecha por un valor numérico sería otra flecha y se puede ver que se cumplen los axiomas anteriores.

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