La luz de Amparo sobre Arquímedes

Todos conocemos la cita: “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo” y se la atribuimos a Arquímedes de Siracusa. Si conocemos un poco de historia de las matemáticas sabremos que él fue quien obtuvo la ecuación que se comporta igual que la palanca. Para muchos, este hecho es bastante para verificar la autoría asignada.

Dibujo antiguo en blanco y negro representando a Arquímedes moviendo el mundo. Imagen de Wikipedia Commons.
Representación de la cita de Arquímedes. Wikipedia Commons.

En este artículo no voy a debatir sobre si dicha cita, convertida en refrán del estado de ánimo, pertenece a Arquímedes. Me voy a centrar solo en su ecuación de la palanca. En concreto y siguiendo en el símil de la estrella de nombre Amparo, ¿cómo sería su ecuación (o equivalente) si Arquímedes hubiese sido iluminado por la luz de Amparo?

La estrella Amparo emite unos números que he llamado “Números de Amparo” para resaltarlos sobre los demás debido a que su comportamiento es bastante distinto a los números convencionales. Además, están en fase experimental por causa de una falta de rigor descubierta antes de su publicación en Internet. Lo lógico sería abandonar, ya que no cumple con un requisito; pero primero quiero descartar si es el requisito lo que molesta. Para ello, voy a ver cuales son sus “beneficios”.Los números de Amparo me invitan a “augurar” muchas buenas experiencias, aunque no pueda garantizarlas matemáticamente aun. Uno de los beneficios que nos traen los números de la estrella Amparo reside en que Arquímedes hubiese obtenido otro resultado matemático si esta estrella lo hubiese iluminado.

Los números de Amparo como fiel reflejo de la palanca

La ecuación de la palanca nos dice cuánto peso debo poner en un extremo para poder elevar el otro hasta que la palanca esté en horizontal. Todo ello bajo la información de un punto de apoyo situado en un lugar conocido de la palanca y un peso, también conocido, en el extremo opuesto. Su ecuación es:

\(P_{p}B_{p}=P_{r}B_{r}\)

La palanca define unos hechos reales. Por ello, debo dar un salto a las matemáticas. Una forma sería la de Arquímedes, sin embargo pretendo conseguir una manera diferente de conectar esta situación con los números. Para ello, empezaré con suponer lo siguiente:

  1. La masa de la barra que sostiene los pesos en los extremos es nula.
  2. La disponibilidad de unidades iguales de peso es ilimitada.
  3. La barra es indeformable.
  4. Existencia de un punto de apoyo para toda combinación de pesos.
  5. El punto de apoyo es capaz de sostener cualquier peso.
  6. El punto de apoyo se mueve de forma inmediata para mantener el equilibrio.
La barra de la palanca con el punto de apoyo y diferentes pesos de una unidad.

La imagen anterior es una presentación finita de los elementos que intervienen en la experiencia a representar matemáticamente.

En principio basta que identifique el peso que hay en cada extremo con un número. A los extremos puedo añadir pesos de una unidad siempre porque dispongo de una cantidad ilimitada de unidades iguales en peso. Por tanto, se puede decir que estoy en \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\). Veamos unos ejemplos.

Este caso viene representado por el (0,0)

En la imagen anterior dado que no tenemos ningún peso en los extremos debo representarla por los números (0,0). Debido a que la barra carece de masa, no da lugar a que tenga un punto de apoyo. Por ello que es razonable para este caso suponer que el \(0\in\mathbb{N}\).

Este caso que viene represento por el (3,1).

En la imagen de arriba se observan 3 pesos en el lado izquierdo y uno en el lado derecho. Como dice la leyenda de la imagen, el par de números (3,1) son una buena representación numérica de este caso.

Este caso viene representado por el (4,2).

La imagen sobre esta linea de texto viene representada una palanca con unos pesos. Esta viene identificada por el par (4,2).

A partir de ahora nos puede dar la sensación que son “vectores naturales”, de hecho lo parece. Sigamos profundizando en la palanca y así descubriremos a donde llegamos.

El hecho que el peso sea una magnitud de la física, nos garantiza una mejor correspondencia entre matemáticas y realidad que si fuesen unos números arbitrarios o poco definidos como contar piedras. Así que, no da cabida al temor de llegar a un puerto irrelevante.

A continuación, voy a dar argumentos para pasar de \(\mathbb{N}\mathbb{\times N}\) a los números de Amparo. Para ello recurriré a la expresión algebraica que Arquímedes usa para la palanca: \(P_{p}B_{p}=P_{r}B_{r}\). Imaginemos que desconocemos la longitud de la palanca. En ese caso, no podemos aplicar su fórmula para calcular donde está es punto de apoyo que mantiene la barra en horizontal. Una salida es la de asignarle una longitud, luego operamos y finalmente, determinamos a que punto real de la palanca pertenece. Por ejemplo, le asigno la longitud uno, entonces \(B_{p}=1-B_{r}\):

\(P_{r}B_{r}=P_{p}B_{p}=P_{p}\left(1-B_{r}\right)=P_{p}-P_{p}B_{p} \rightarrow P_{p}=P_{r}B_{r}+P_{p}B_{r}=(P_{r}+P_{p})B_{r}\)

\(B_{r}=\frac{P_{p}}{P_{p}+P_{r}}\)

\(B_{p}=\frac{P_{r}}{P_{p}+P_{r}}\)

Por un lado, en caso de desconocer la longitud de la barra, podremos calcular el punto de apoyo adecuado para el equilibrio de la palanca con los pesos solamente. Por otro lado, si conocemos la longitud de la barra sólo hay que multiplicar los resultados anteriores por la referida longitud. Veamos un ejemplo.

Por un lado, en caso de desconocer la longitud de la barra, podremos calcular el punto de apoyo adecuado para el equilibrio de la palanca con los pesos solamente. Por otro lado, si conocemos la longitud de la barra sólo hay que multiplicar los resultados anteriores por la referida longitud. Veamos un ejemplo.

Este caso viene representado por (1,1) y por el (1/2,1/2).

Dado que en cada extremo tengo un peso de una unidad, uso los números (1,1). Como la suma de pesos es dos, divido entre 2 cada número del par anterior. De ese modo consigo una representación en los números de Amparo.

Si la longitud es l:

\(P_{r}B_{r}=P_{p}B_{p}\rightarrow1B_{r}l=1\left(l-B_{r}\right)\rightarrow B_{r}=l-B_{r}\rightarrow B_{r}=\frac{l}{2}\)

\(B_{p}=\frac{l}{2}\)

Por tanto, si \(\mathbb{N}\mathbb{\times N}\) era un buen reflejo de la palanca, los números de Amparo también.

El álgebra de la palanca

Los dibujos expuestos en este artículo reflejan bastante bien la realidad a pesar de los típicos errores de precisión. En todos ellos podemos apreciar que el punto de apoyo se mueve inmediatamente al lado donde hay más peso porque allí hay más peso que sostener. Está calculado con la igualdad o ecuación de Arquímedes. Demos un salto al álgebra. ¿Se pueden sumar dos palancas? Dicho así es difícil de ver, pero imaginemos que sumamos casos, el caso \(\left(1,3\right)\) con el caso \(\left(5,2\right)\). Dicho así y bajo el supuesto que el punto de apoyo se moverá inmediatamente, es fácil sumar los casos anteriores como suma de vectores \(\left(1,3\right)+\left(5,2\right)=\left(6,5\right)\). Entonces, el punto de apoyo se mueve a \(B_{r}=\frac{6l}{11}, B_{P}=\frac{5l}{11}\). Esto es lo mismo que en los números de Amparo \(\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)\oplus\left(\frac{5}{7},\frac{2}{7}\right)=\left(\frac{1+5}{4+7},\frac{3+2}{4+7}\right)=\left(\frac{6}{11},\frac{5}{11}\right)\).

Ahora imaginemos que nos preguntamos que sucedería si sumásemos el caso \(\left(1,0\right)\) sobre el \(\left(\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right)\), tendría que al extremos izquierdo se suma una unidad de peso y ninguna al derecho. Entonces tenemos 3 unidades a un lado, 3 al otro lado y seis en total, esto es el número \(\left(\frac{3}{6},\frac{3}{6}\right)\). Esto viene representado por la imagen siguiente.

Este caso viene representado por (3/6,3/6) \left(\frac{3}{6}.\frac{3}{6}\right).

Este caso, el \(\left(\frac{3}{6},\frac{3}{6}\right)\), es muy bueno para observar que define el mismo punto de apoyo que el caso \(\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\). Por ello tiene sentido definir una clase de equivalencia, pero a su vez debemos mantener esa diferencia. Se puede ver en todos los ejemplos que los números de Amparo representa una parte de la realidad, lo que provoca en mi pensamiento que sí son números y algo falla en los pasos anteriores. Tal vez no deban cumplir dicho requisito de rigor o tal vez la sorpresa venga desde otro lado.

El segmento de la palanca

El hecho de que exista un punto de equilibrio en cada caso, obliga a la realidad a que dicha situación o localización exista en el espacio. El punto de apoyo se moverá a dicho lugar pudiendo así mantener la barra en equilibrio horizontal. La forma habitual de proceder para numerar el segmento definido por la palanca de longitud l es la de tomar una unidad arbitraria y constante, para luego compararla con la barra y concluir que es tantas veces más grande o más pequeña. Pero ese paso es prescindible con los números de Amparo.

Con el supuesto que dado unos pesos cualesquiera sobre la palanca, existen todos los puntos de equilibrio, puedo numerar o asignar a cada punto un número de Amparo distinto del \(\left(0,0\right)\). Esto es una aplicación inyectiva desde un conjunto de localizaciones, \(\mathbb{L}\), hasta los números de Amparo, \(\mathcal{A}\). La aplicación no es sobreyectiva, pero es válida algo que no se cómo justificar aún.

Conclusión

Lo visto hasta aquí no supone ningún avance porque todo se puede hacer sin los números de Amparo, pero recordemos que estamos en fase experimental… es pronto para decir esto no sirve de nada. Personalmente, me gusta tener dos maneras diferentes de representar una misma realidad. Esto me motiva a seguir buscando la manera de encajar que los aún presuntos números de nombre de Amparo sean verdaderamente aceptados por números como lo son los naturales, por ejemplo. Animo a todo voluntario a unirse a esta búsqueda y, si no es mucho pedir, le agradecería que me comunicase su decisión en caso afirmativo.

Para finalizar este artículo, les comentaré que elegí que esta estrella se llamase Amparo por agradecimiento a una prima de apellidos Sansaloni Company.

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