La luz de Amparo

En esta aportación, me atreveré a construir unos números que nos sirvan para numerar a cada punto de un segmento empírico o real. En un segmento del espacio o en un intervalo de tiempo tenemos infinitos puntos o momentos respectivamente. En la práctica, no puedo tomar un intervalo contenido en \(\mathbb{R}\) debido a que hay números de infinitas cifras y, por tanto, nunca terminaría de escribir toda la numeración del segmento. Me conformaré con tomar números racionales positivos, \(\mathbb{Q}^{+}\). Todos ellos tienen una expresión finita, aunque el volumen en cifras de algunos racionales es excesivo, ya es un paso adelante.

La estrella Amparo de la que hablaba en anteriores artículos emite unos “números” en forma de luz. A estos los llamaré de Amparo porque, aunque su apariencia son los racionales, su comportamiento es totalmente diferente. Por ello, demostraré que son números debido a que tienen estructura algebraica. Su simbología nos resultará familiar, ya que es la misma que la de los racionales, pero puede llevarnos a confusiones; pido que estén atentos. Una vez hecho esto, ofreceré un método que nos permiten numerar el segmento con este nuevo número.

Definición

Considero el conjunto formado por parejas de números racionales positivos tales que su suma en \(\mathbb{Q}\) sea 1. Además, dado que en los números racionales el \(\frac{0}{a}=0\) para todo \(a\in\mathbb{N}^{*}\), voy a considerar que \(\left(\frac{0}{0},\frac{0}{0}\right)=\left(0,0\right)\).

\(\mathcal{A}=\{ (q,r)\in\left(\mathbb{Q}^{+}\right)^{2}/q+r=1\vee q=r=0\}\)

Insisto en que la suma que aparece es la ordinaria de los números racionales porque voy a continuar con la definición de otra suma totalmente diferente y que no tiene mucho que ver con ella. Fijémonos que el conjunto \(\mathcal{A}\) es solo un conjunto de símbolos coincidentes con un subconjunto de los racionales, ello me ahorra el trabajo de volver a definir algoritmos ya definidos y conocidos por todos, así como de inventar símbolos que no aportarían ninguna riqueza. Al conjunto \(\mathcal{A}\) le voy a dotar la estructura algebraica que nos otorga esta suma, \(\oplus\), y se calcula de la siguiente forma:

Considero \(q=\frac{q_{1}}{q_{2}},r=\frac{r_{1}}{r_{2}},s=\frac{s_{1}}{s_{2}},t=\frac{t_{1}}{t_{2}}\).

Defino la suma en \(\mathcal{A}\), como
\(\begin{array}{cccccc}
\oplus: & \mathcal{A} & \times & \mathcal{A} & \longrightarrow & \mathcal{A}\\
& ((\frac{q_{1}}{q_{2}},\frac{r_{1}}{r_{2}}) & , & (\frac{s_{1}}{s_{2}},\frac{t_{1}}{t_{2}})) & \longmapsto & \left(\frac{(q_{1}+s_{1})}{(q_{2}+s_{2})},\frac{(r_{1}+t_{1})}{(t_{2}+r_{2})}\right)
\end{array}\)

Veamos que es una ley de composición interna.

\(r=1-q\Rightarrow r=\frac{\left(q_{2}-q_{1}\right)}{q_{2}}\) \(t=1-s\Rightarrow t=\frac{\left(s_{2}-s_{1}\right)}{s_{2}}\) \(\require{cancel} (q,r)\oplus(s,t)=\left(\frac{q_{1}}{q_{2}},\frac{\left(q_{2}-q_{1}\right)}{q_{2}}\right)\oplus\left(\frac{s_{1}}{s_{2}},\frac{\left(s_{2}-s_{1}\right)}{s_{2}}\right)=\left(\frac{q_{1}+s_{1}}{q_{2}+s_{2}},\frac{q_{2}-q_{1}+s_{2}-s_{1}}{q_{2}+s_{2}}\right)\)

Entonces \(\frac{q_{1}+s_{1}}{q_{2}+s_{2}}+\frac{q_{2}-q_{1}+s_{2}-s_{1}}{q_{2}+s_{2}}=\frac{\cancel{q_{1}}+\bcancel{s_{1}}+q_{2}-\cancel{q_{1}}+s_{2}-\bcancel{s_{1}}}{q_{2}+s_{2}}=\frac{q_{2}+s_{2}}{q_{2}+s_{2}}=1\Rightarrow(q,r)\oplus(s,t)\in \mathcal{A}\)

Estructura

Veamos que el conjunto anterior con la su suma tan peculiar tiene estructura algebraica.

Proposición:

\(\left(\mathcal{A},\oplus\right)\) es un monoide abeliano.

Demostración:

Un monoide abeliano es aquella estructura algebraica que cumple: la asociativa, tiene elemento neutro y la conmutativa.

Veamos que cumple la asociativa.

\(\begin{align*}
(q,r)\oplus\left((s,t)\oplus(u,v)\right) & =\\
\left(\frac{q_{1}}{q_{2}},\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)\oplus\left(\left(\frac{s_{1}}{s_{2}},\frac{t_{1}}{t_{2}}\right)\oplus\left(\frac{u_{1}}{u_{2}},\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)\right) & =\\
\left(\frac{q_{1}}{q_{2}},\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)\oplus\left(\frac{s_{1}+u_{1}}{s_{2}+u_{2}},\frac{t_{1}+v_{1}}{t_{2}+v_{2}}\right) & =\\
\left(\frac{q_{1}+s_{1}+u_{1}}{q_{2}+s_{2}+r_{2}},\frac{r_{1}+t_{1}+v_{1}}{r_{2}+t_{2}+v_{2}}\right) & =\\
\left(\frac{q_{1}+s_{1}}{q_{2}+s_{2}},\frac{r_{1}+t_{1}}{r_{2}+t_{2}}\right)\oplus\left(\frac{u_{1}}{u_{2}},\frac{v_{1}}{v_{2}}\right) & =\\
\left(\left(\frac{q_{1}}{q_{2}},\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)\oplus\left(\frac{s_{1}}{s_{2}},\frac{t_{1}}{t_{2}}\right)\right)\oplus\left(\frac{u_{1}}{u_{2}},\frac{v_{1}}{v_{2}}\right) & =\\
\left(\left(q,r\right)\oplus\left(s,t\right)\right)\oplus\left(u,v\right)
\end{align*}\)

Veamos que existe elemento neutro.

\(
\left(q,r\right)\oplus\left(0,0\right)=\left(\frac{q_{1}}{q_{2}},\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)\oplus\left(\frac{0}{0},\frac{0}{0}\right)=\left(\frac{q_{1}}{q_{2}},\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)=\left(q,r\right)
\)

Veamos que es conmutativo:

\(
\begin{align*}
\left(q,r\right)\oplus\left(s,t\right) & =\\
\left(\frac{q_{1}}{q_{2}},\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)\oplus\left(\frac{s_{1}}{s_{2}},\frac{t_{1}}{t_{2}}\right)=\left(\frac{q_{1}+s_{1}}{q_{2}+s_{2}},\frac{r_{1}+t_{1}}{r_{2}+t_{2}}\right) & =\\
\left(\frac{s_{1}+q_{1}}{s_{2}+q_{2}},\frac{t_{1}+r_{1}}{t_{2}+r_{2}}\right)=\left(\frac{s_{1}}{s_{2}},\frac{t_{1}}{t_{2}}\right)\oplus\left(\frac{q_{1}}{q_{2}},\frac{r_{1}}{r_{2}}\right) & =\\
\left(s,t\right)\oplus\left(q,r\right)
\end{align*}
\)

Por tanto, \((\mathcal{A},\oplus)\) es un monoide abeliano.

Conclusión

Un número, en sí, no es casi nada. Si pensamos en el símbolo, estaremos en dibujo, no en matemáticas. Si pensamos en una cantidad, nos quedarán muchos números fuera. Así como un ser humano viene definido por su comportamiento, un número también. La conducta de un ser vivo viene definida cuando describimos su interacción con el resto. Lo mismo sucede con los números, su comportamiento queda descrito cuando definimos su interacción con el resto de números. Esto no es más que un conjunto numérico con una estructura algebraica.

Una vez visto todo lo anterior se puede decir que: los números de Amparo son números.

Actualización

Justo en una entrada anterior hablaba sobre el rigor. Aquí he cometido una fallo de rigor y el puente que parece tan bonito, cae de momento. Pero ¿quién sabe? Tal vez coloque un pilar a tiempo o, como comentan los físicos sobre la luna, el puente quede en órbita. En las próximas semanas publicaré nuevos aportes. ¿Crees que me caerá el puente? ¿Lo dejaré en órbita?

Feedback

He modificado esta definición en una entrada posterior.

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