La rebeldía del rigor

El teorema de Pitágoras es tan famoso que presuntamente lo conocen todos en la Tierra. Ya desde el Imperio Babilónico (1792-539 a.C.) se conservan al menos dos tabillas, una llamada YALE (YBC 7289) y la otra conocida como PLIMPTON 322, las cuales son una prueba, para historiadores y arqueólogos, de que se conocía el popular teorema. Más adelante la escuela pitagórica (s.VI a.C.) fue la primera en demostrar su certeza y desde entonces que hay una innumerabilidad de demostraciones diferentes, como bien cuenta un artículo de Pedro Miguel González en SIGMA.

El comportamiento más habitual frente a tanta gente afirmando en su veracidad es confiar sin dudar una pizca. Sin embargo, debo decir que el teorema de Pitágoras es falso en la Tierra, si tenemos en cuenta que este planeta tiene forma de esfera. La teoría de la relatividad de Einstein no parte de un universo plano sino que dispone de una geometría curva y ello nos lleva a decir que en el universo tampoco se verifica. ¿Por qué todos dicen lo contrario? Porque se supone que estamos en el plano.

La importancia de este teorema reside en su aplicación geométrica, ya que simplifica la representación gráfica y la escritura de las parcelas o de las tierras de cada propietario; entre otras. Paradójicamente en la superficie de una esfera no se cumple, aunque sí consigue su objetivo. No quiero desprestigiar el teorema simplemente quiero que los lectores abran los ojos a las hipótesis que son tanto o más importantes que la tesis.

La mala aplicación de este teorema sobre la esfera implica errores de precisión. Algunos de ellos invalidan los resultados finales. Pero también es cierto que al aplicarse a pequeña escala, los resultados varían tan poco que su diferencia es despreciable. Así que esta podría ser la causa de su éxito en un lugar que es falso. No obstante, dudo que dicho matemático de la Antigua Grecia demostrase su posible aplicabilidad sobre la esfera porque algo tan importante lo hubiésemos visto en secundaria o en cursos posteriores. He consultado algunas obras de la historia de las matemáticas y no he podido encontrar la demostración hecha por el Pitágoras. En el artículo de Pedro Miguel solo muestra dos demostraciones posibles candidatas a pertenecerle, pero no garantiza que ninguna de las dos sea verdaderamente de Pitágoras.

Dado que esta entrada está dedicada al Carnaval 9.4 y este se centra en la regla y el compás, te invito a consultar Google Libros y visites una traducción al castellano antiguo hecha por Rodrigo Çamorano de «Los seis primeros libros dela geometría de Euclides». Es una ventana a un pasado tan lejano que en pocas ocasiones podemos conocer de “primera” mano.

Leer el castellano antiguo requiere su esfuerzo, que unido a una forma de pensar totalmente rigurosa y diferente se convierte en una labor de varias horas. Por ello, te recomiendo el libro de Solis y Sellés pag. (139) para conocer de forma fidedigna la demostración de Euclides y su rigor, aunque hay más libros. Más abajo, en el anexo, te ofrezco unas lineas generales de la demostración de Euclides (según nos cuenta Rodrigo Çamorano). Si estos libros despiertan interés en ti sobre la geometría seguramente el libro de Carlos Ivorra Castillo llamado Geometría te gustará.

En cualquier caso una demostración matemática se demuestra todo hasta llegar a unos axiomas o postulados de los cuales no se duda de ellos y se consideran que no se contradicen entre sí. En matemáticas se trata de saber cuanto son 2 más 2 y saber implica demostrar. En primaria solo calculábamos.

El concepto de triángulo lleva consigo su naturaleza plana si no se especifica lo contrario. Si no fuese así ninguna demostración del teorema sería verdadera. Tener en cuenta las hipótesis para saber si se puede aplicar la tesis es el primer paso para el rigor, el cual ayuda tanto en las ciencias matemáticas.

Muchos lectores creerán que por un pequeño error de precisión no merece la pena tanto trabajo. Pensemos, entonces, qué pasaría si construimos un puente kilométrico. Aquí fallaría Pitágoras y el puente se vendría abajo en el momento más inesperado. Esto costaría demasiadas vidas por no trabajar. Pensemos ahora en que queremos llegar a ser grandes, otra vez los errores por falta de precisión o por falta de rigor influirían en nuestro éxito.

El rigor es una ayuda, no una molestia. Tener cierto grado de pensamiento riguroso nos vendrá bien en la vida. Veo rigor en aquellos empresarios que analizan los resultados de fin de año o temporada para decidir si realmente han mejorado mientras otros se conforman en estar en pie. Veo rigor en ciertos tutoriales informáticos que te ofrecen una manera de verificar o testear cada paso. Veo rigor en los escritores y en los artistas cuando se preguntan qué interpreta el publico. Veo rigor en los médicos cuando distinguen los síntomas objetivos de los subjetivos sin menospreciar ninguno de los dos.

El rigor en su justa medida es una ayuda en cualquier campo; implica cierto grado de rebeldía que te permite decirle al mismo Pitágoras: no me convence su teorema, ¡demuéstrese! Luego hay que aceptar que nos diga lo mismo y así seguir ese grito de la razón «Lo que es afirmado sin pruebas puede ser negado sin pruebas.» Euclides.

Esta entrada participa en la Edición 9.4 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.


Anexo

Teorema
Dado un triángulo rectángulo, ABC, que tenga un ángulo recto, BAC, digo que el quadrado que es hecho del lado BC es igual a los quadrados que se hacen a partir de BA y de AC.

Gráfico para el teorema de Pitágoras
Demostración: (Solo el inicio)
Dibújese, por la proposición 46 [que afirma que desde cualquier segmento se puede formar un cuadrado], a partir del lado BC el quadrado BCED y, por la misma proposición, del lado BA y del lado AC los cuadrados ABZI y ACKT.

Por el punto A, trácese AL, paralela a BD y a CE. [se puede hacer dado un axioma o postulado]

Por la proposición 31, y por el primer principio trácese de AD y CZ y porque los águlos BAC y BAI son rectos.
Luego las dos lineas rectas, AC y AL, definen una linea recta [… y lo demuestra].
[… análogamente con los segmentos AT y BA]
Luego el ángulo DBA es igual al ángulo ZBC [… y lo demuestra] y el ángulo DBA es igual al ángulo ZBC [… análogamente].

Como podrás ver la demostración está llena de pequeños pasos que previamente se ha demostrado su posible aplicación. A modo de resumen, los pasos que sigue son:

  1. Representar gráficamente la situación del teorema.
  2. Demostrar que lo que vemos es lo que es.
  3. Deducir.
    1. El área del cuadrado ABZI es la misma que la del MLDB.
    2. Lo mismo para los cuadrados ATKC y MCEL.
  4. Concluye: el cuadrado grande es la suma de los dos.

Todo ello comprobando que se puede realizar cada paso o bien por un postulado o bien por una demostración anterior.


Bibliografía

  • Pedro Miguel González Urbaneja. «El teorema llamado de Pitágoras. Una historia geométrica de 4000 años.» Noviembre de 2008. SIGMA n.º 32. (103-130)
  • Carlos Solís Santos, Manuel Sellés García, «Historia de la ciencia». Edición cuarta. Espasa Libros S.L.U. Barcelona. 2013.
  • Wikipedia, Larousse.
  • Carlos Ivorra Castillo, Geometría. Lugar de publicación.
  • «Los seis libros primeros de la geometría de Euclides.»
    Traducidos en lengua española por Rodrigo Çamorano. 1576. Editor en casa de Alonso de la Barrera. Procedencia del original Biblioteca de Catalunya. Autor Euclides. Vista prévia en Google Libros.

Me gustaría conocer tu opinión sobre el rigor, la de antes y la de después de leer esta entrada. ¿Crees que es un lujo? ¿Una pérdida de tiempo? ¿Algo friki? O ¿crees que es una ayuda? También acepto cualquier comentario respetuoso sobre esta entrada.

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