La recta real: sus números y sus misterios

En este post vamos a repasar la recta real que aprendimos ya hace un tiempo. Espero que obtengas el mismo beneficio que se recibe al volver a leer un libro. Siempre se aprenden cosas nuevas por el simple hecho de verlo desde otra perspectiva. Por ello, te pido que te acomodes para disfrutar al máximo de la lectura. También puedes ojear, aunque te perderás lo mejor.

Entre los conceptos que aprendimos sobre la recta real me centraré en esa equivalencia que hay entre la recta y los números reales. Por lo que veremos cómo representar cada número en la recta. Para ello, primero recordaremos qué es una recta de manera intuitiva, luego repasaremos los números reales y finalmente revisaremos cómo representar gráficamente cada número.

La recta

Un recta en el universo
Recta en el universo

La recta es una abstracción intuitiva de un segmento rectilíneo. Tal vez no sepamos que es eso de la abstracción. Tal vez sea peor y pensemos que la abstracción es una manera de hablar de las cosas sin sentido. En ese caso déjate guiar con la siguiente actividad intuitiva y potencia tu imaginación.

En el caso de la recta, se dibuja un segmento rectilíneo sobre el papel que empieza y termina en dos extremos y encima de una mesa. No obstante, la podemos imaginar infinita, es decir, si me muevo hacia un lado, la recta continua. Como sucede con la imagen de arriba, parece que venga desde la izquierda desde no se sabe donde y nunca terminará.

También podemos imaginar que la recta es ampliable infinitamente con una lupa, esto es, por mucho que la ampliemos veremos algo igual al inicio. Si nos acercásemos a la recta de la imagen anterior esta seguiría siendo recta.

Además, podemos imaginar que sus puntos no están abultados o amontonados, como que están unos puntos al lado de otros. Esa es la impresión que tenemos al dibujar un segmento rectilíneo, unos puntos al lado de otro que se crean tal y como deslizamos el lápiz sobre el papel. Un coche de fórmula uno podría acelerar cada vez más sin temer a tropezar con bache.

Estas tres abstracciones, que el poder de la imaginación nos ha permitido, nos permite ver que hay una continuidad en los puntos, esto es lo mismo que decir que nunca no hay agujeros entre dos puntos cualesquiera; aunque ampliemos mucho siempre se ven puntos en medio.

Acabamos de hacer un ejercicio de abstracción muy intuitivo que nos permite ir más allá de lo percibido. Ese poder que tenemos los humanos es de vital importancia para fortalecer nuestra mente. Al principio cuesta, pero poco a poco es pan mojado. Continuemos.

Alternativa para ciegos

Si eres ciego y no has tenido la oportunidad de ver, en vez de imaginar una recta dibujada en un papel puedes imaginar un hilo de coser tenso. A este hilo se le puede aplicar todo lo dicho anteriormente. Aunque hay que tener en cuenta que el segmento de por sí tiene una dimensión y el hilo, no. Aquí, con el hilo, deberíamos quitarle el grosor hasta quedarnos en una sola dimensión.

Los números reales

El número pi

Muchos lectores tendrán la tentación de decir que el conjunto de los reales son todos los números conocidos, pero no es así, están los imaginarios, por ejemplo. Estos últimos junto con los reales forman los complejos. Además existen otros números que, aunque estos ya no necesitan de una simbología diferente, se comportan de una manera muy particular diferenciándose de los números conocidos. Si quieres indagar más busca por: estructuras algebraicas.

Regresemos a nuestros números de siempre, los reales. Eran (y son) los que estaban formados por naturales, enteros, racionales e irracionales. Estos los encontrábamos a menudo. Por ejemplo, cuando nos poníamos a contar usábamos los naturales de toda la vida, si a estos con un signo negativo delante teníamos a los enteros y al dividirlos entre ellos, nos encontrábamos con los racionales.

Los racionales eran como una división indicada, ⅔, pero sin dar el resultado. Sin embargo, al dividir cabían dos posibilidades, o bien nos daba un resultado entero o bien un decimal. En el caso de que fuese decimal podría ser exactos, ½ = 0,5, periódicos puros, 3,333…, o periódicos mixtos 2,3454545….

Ello daba la posibilidad de imaginar unos números que no fuesen ni periódicos y ni tuviesen fin, como raíz de 2 (de hecho, se puede demostrar que existe un número que multiplicado por sí mismo dos veces nos da 2; además ese número no es racional. Por tanto es irracional). También teníamos el caso de pi (el de la anterior imagen) que es un número con la cualidad de que nunca repite sus decimales de forma periodica.

Recordemos que la existencia de los irracionales y la dificultad que trae sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos nos llevó a dejar las operaciones indicadas y a la introducción de las letras en matemáticas. Todo ese esfuerzo nos salvaba de afirmar barbaridades como decir que Pi es 3.

Representación de los reales en la recta

A continuación, trataremos como representábamos los números reales, esto era otra cosa más que para cada real encontrar un punto en la recta para llamarle por dicho número. Para explicarlo de manera paulatina y escalonada iré según los diferentes conjuntos de los números reales.

Los naturales y los enteros

En este caso los números naturales se representan tomando una longitud de un unidad. Con lo anterior ya podemos empezar. Primero, señalamos a un punto como cero. Segundo, nos desplazamos una unidad hacia la derecha, a ese punto le asignamos el uno. Tercero, repetimos el proceso tantas veces como sean necesarias hasta llegar a número que se quiera.

Esta es una representación muy fácil para nuestra imaginación. La siguiente es básicamente la misma.

Para representar los enteros se sigue el mismo procedimiento que en los naturales, pero el desplazamiento es a la izquierda. Cabe la posibilidad de que sea un entero positivo, sería proceder igual que antes y, por tanto, ese caso ya lo hemos visto. Se puede decir que enteros son los naturales, pero con un espejo en el 0.

Los racionales y los irracionales

La representación de los naturales necesita dividir el segmento en tantas partes como se pueda. Como podemos aumentar la recta o acercarnos a ella tantas veces como se desee, tendremos que podemos dividir cualquier trozo de ella en tantas partes como queremos. En concreto, las unidades las dividiremos en 10 partes iguales, las décimas, en 10 partes también iguales, y así para las centésimas, milimétricas y sigue…

Para continuar, voy a distinguir dos casos: decimal exacto y otros casos. En los decimales exactos solo a los decimales exactos. En otros casos tenemos a los racionales periódicos puros, periódicos mixtos y a los irracionales. La distinción es necesaria para la representación de los números.

Decimal exacto

Para representar los racionales recurriremos a dividir el segmento. Esto lo puedo hacer porque la recta la puedo ampliar tantas veces como quiera que seguiré viendo una recta. En concreto como estamos la ampliamos 10 veces para representa el 1,2 por ejemplo

Hago corresponder al 0 con el uno, el entero inmediato más pequeño, y el 10 con el dos, el entero inmediato más grande. Así que a cada unidad, le asignaré el valor del decimal. 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 … Te dejo una imagen para verlo mejor.

Representación de un número decimal.
Si ampliamos la recta en uno y en dos diez veces, los extremos coinciden con el 0 y 10 y da lugar a los decimales.

En otro caso

La manera intuitiva de representar raíz de 2 = 1,414213562… sin usar el plano es aplicar el procedimiento anterior para cada decimal. Esto se hace hasta que lleguemos a una aproximación satisfactoria. Para llegar a la conclusión de que existe un punto para este irracional, es el siguiente razonamiento intuitivo:

“Como 1,4 está entre 1 y 2, existe un punto que representa a 1,4. Como 1,41 está entre 1,40 y 1,5, entonces hay un punto donde situar 1,41. Seguimos este procedimiento hasta el infinito y nunca podremos decir que no existe tal punto.”

Para mejorar el razonamiento hay que llegar al plano. Con él podremos dibujar un triángulo cuyos catetos son de una unidad y por tanto su hipotenusa es raíz de 2 y de ahí…

Algunas preguntas frecuentes

Con este artículo hemos repasado un montón de nociones matemáticas que nos sirven para contribuir a ese sueño eterno del que hablaba en un post anterior. También nos permitirán contestar a las siguientes preguntas que la gente busca en Google.

¿Qué es la recta real?

La recta real es aquella que contiene todos los números reales y solo a los números reales.

¿Por qué se llama recta real?

Por qué contiene a todos los reales y solo a ellos.

¿Cómo ubicar en la recta real?

Esta pregunta ha sido respondida a lo largo del artículo, vuelve atrás, en concreto al apartado decimal exacto. Pero debes saber que hay más formas. En esta entrada se ha prescindido del plano para representar los números, esto es, evitar usar otra dimensión para llegar a situar o ubicar un punto en la recta.

Algunas preguntas avanzadas

Aquí unas preguntas que, en su día, fueron misterios y tal vez despierten tu curiosidad. Si es así, siéntete libre para debatir o preguntar en los comentarios.

¿Existen otros tipos de rectas?

Esta es una pregunta avanzada por la que te felicito si lees la respuesta a pesar de no ser sencilla. Como existen otros espacios geométricos y otros espacios métricos, sus rectas pueden ser diferentes.

¿Cómo se sabe que todo punto tiene un número y todo número tiene un punto?

En efecto, hemos visto de manera intuitiva que a todo número real se le puede asignar un punto en la recta y con eso nos basta. No obstante cabe la pregunta ¿a todo punto se le puede asignar un número real? Y no la he respondido porque requiere de bastante esfuerzo. De hecho la dos preguntas no se terminaron de ser respondidas con una demostración formal hasta el siglo XIX con la ayuda de Dedekind, Cantor y Weierstrass.

Imaginemos que no. Entonces podríamos extraer los números reales de la recta y ver que tiene huecos o agujeros (comparándolo con la recta geométrica). En caso contrario diremos que los números reales tienen cierta continuidad. Richard Dedekind solucionó este problema de una manera muy elegante. Para saber más te recomiendo el libro de José Ferreirós de Alianza Editorial.

Referencias

  • González Maján, Francisco, y Joaquín Villanova Ballabriga. Curso práctico de matemáticas 2o. BUP. Barcelona: EUNIBAR, 1984.
  • Sánchez Fernández, Francisco. Matemáticas fáciles para Bachillerato y acceso a la Universidad. Barcelona: Espasa, 2015.
  • Dedekind, Richard, y José Ferreirós. ¿Qué son y para qué sirven los números?: y otros escritos sobre los fundamentos de la matemática. Madrid: Alianza Editorial : Ediciones de la Universidad Autónoma de Madrid, 2014.

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