Los conjuntos en nuestra rutina

Todos sabemos qué es un conjunto. Incluso sabemos explicarlo: “una serie de cosas”, “una colección de objetos”, “una agrupación de elementos”, “varias cosas que tienen algo en común”, etc. No obstante, en nuestra rutina, los conjuntos pasan desapercibidos hasta el punto que nos preguntamos para qué toda una teoría o para qué tanto esfuerzo en dar una definición tan rigurosa. Espero en este artículo hacer ver que no paramos de usar los conjuntos en nuestra rutina. Para ello nos será útil un pequeño repaso de nuestra nostálgica época del instituto.

Los conjuntos y la rutina con los buscadores

En primer lugar, veremos la enorme aplicación que tienen los conjuntos en las búsquedas dentro de las herramientas tecnológicas. Continuamente realizamos búsquedas dentro de un texto, de una base de datos y de buscadores online como Google, Bing, DuckDuckGo, etc. Así que con ello ya tenemos un motivo para estudiar en profundidad, los conjuntos porque nos ayuda a entender y manejar mejor nuestra rutina.

En ocasiones, a lo largo del texto, nos parecerá trivial o de sentido común ciertos conceptos de la teoría de conjuntos usados para estas herramientas. Ello no significa debe ser excluido de la formación por demasiado fácil. Todo lo contrario, significa que nuestros esfuerzos –el particular de cada uno, el de los profesores y maestros más el de los demás actores educativos– han culminado en el mayor éxito que puede aspirar la educación; significa que se ha interiorizado de tal manera que nos parece imposible dudar de ello.

Los resultados de una búsqueda realizada en una base de datos se les puede considerar que son un conjunto de cosas que cumplen cierto requisito acorde con lo que quieres encontrar. Además, en el caso de los buscadores de internet, están ordenados por algún criterio para ayudarte a la hora de hacer clic.

Los buscadores no son más que una gran base de datos que incluyen el contenido de cada una de las páginas, el texto solo, en su interior. Así cuando consultas una palabra obtienes todas las páginas que contienen dicha palabra. En realidad, es un poco más complejo, pero esta idea es muy buena para mejorar nuestro uso profesional y nuestra rutina.

Pregunta

Una vez visto un lugar donde a menudo aparecen conjuntos y su funcionamiento, me pregunto ¿qué pasa cuando escribes dos palabras en una consulta? Tendremos dos conjuntos, uno por cada una de ellas. Así que necesitamos saber ¿cómo manejar dos conjuntos? Seguramente, recordaremos que hay dos formas en que los conjuntos interactúan entre sí: principalmente son la unión y la intersección. Con ello, la pregunta queda reducida a saber cuál de las dos interacciones se da. Experimentemos.

Experiencia

Para resolver la pregunta anterior, un buen ejercicio es recurrir a Google y realizar el siguiente experimento informal, pero lo suficientemente bueno para obtener una respuesta. Elegir dos palabras que juntas tengan significado. Buscar cada palabra por separado , primero, y luego las dos palabras juntas. Deberemos fijarnos en los resultados y de ellos deducir la respuesta.

En mi caso, he elegido, “coche rojo”. Para la búsqueda me he fijado en el número de resultados y el tipo de páginas que daba como resultado. Un detalle a tener en cuenta es realizar la búsqueda en modo incógnito y así evitamos al máximo los algoritmos de inteligencia artificial que utiliza Google. A continuación, vemos las capturas de pantalla que nos permitirán observar y deducir.

Observación

Coche

Con esta búsqueda he obtenido un total de 467 000 000 (millones). Y veo, a la derecha, toda clase de coches. Además, proliferan las tiendas online de venta de coches.

Rojo

Con esta búsqueda he obtenido un total de 605 000 000 (millones). Y veo, a la derecha, toda clase de objetos rojos. Se puede decir que hay las primeras posiciones son páginas que intentan explicar qué es rojo.

Coche Rojo

Con esta búsqueda he obtenido un total de 101 000 000 (millones). Y veo a la derecha un coche rojo.

Conclusión

Si nos fijamos en las cantidades de resultados obtenidos tenemos, en millones, coche = 467, rojo = 605 y coche rojo = 101. Si fuese la unión tendríamos que coche rojo alcanzaría un valor mayor a 605,. En cambio es 101, menor que ambas palabras por separado, por lo que me inclina a pensar que es la intersección. Para mayor seguridad sin ser una demostración, vemos que nos aparecen coches de color rojo al aunar ambas palabra, es decir, se carece de coches de otros colores, ya no prioriza la definición de rojo y también se echan en falta otros objetos rojos.

Por lo tanto, se hace una intersección de las búsquedas. Mi experiencia y formación me permite generalizar esta conclusión a todas las bases de datos.

Jugando con los conjuntos. Breve repaso

Primero, antes de jugar con ellos, tenemos que decir cuando dos conjuntos son iguales, esto es, cuando todos sus elementos coinciden. Si hay un elemento que no esté en el otro conjunto, diremos entonces que son diferentes. A los conjuntos se les suele denotar por mayúsculas y a sus elementos con minúsculas.

Ejemplos

A = {a,b,c} el conjunto A esta formado por los elementos a, b y c.

B = {a,b,c}, en este caso A = B.

C = {a,b,c,d}, pero aquí A ≠ B.

Además, los conjuntos se pueden comparar entre ellos mediante la inclusión que se define de la siguiente manera: cuando un conjunto, B, contiene todos los elementos de A se dice que A está incluido en B.

Pertenencia

Cuando un elemento, a, está en un conjunto, B, se dice que elemento a pertenece a B. Se denota como a ∈ B. En caso contrario se tacha la “e”, a ∉ B y se dice que a no pertenece a B.

La unión

Diremos que hemos unido dos conjuntos cuando tenemos un tercer conjunto cuyos elementos son solo los de A y los de B. Se denota con una u grande, A U B.

Aplicación en bases de datos

Para obtener la unión en Google, por ejemplo, debemos usar la palabra or. Si intentas probar que sucede con las palabras coche y rojo, verás que no es una unión estricta debido a que la búsquedas en Google son más avanzadas de lo que he explicado. No obstante, si la unión en cierto sentido sí está en su interior.

La intersección

Se dice que un conjunto es la intersección de dos, si contiene a sus elementos comunes y solo ellos. Se denota con ⊂ o ⊆, el primero no da posibilidad de que sean iguales, el segundo sí.

La diferencia

Un conjunto, C, es la diferencia o la resta de A, A – B, si está formado por todos los de A que no están en B.

Aplicación

Si estamos buscando vehículos, pero no queremos motos debemos poner el signo guión medio del teclado, -, justo delante de la palabra motos ¡sin espacios!. Entonces Google nos mostrará todo tipo de páginas relacionadas con vehículos que no sean motos.

Si quieres saber más sobre operadores de búsqueda visita la ayuda de Google

La diferencia simétrica. Los no comunes

Dado que tenemos dos restas posibles, A – B, B – A, se pueden unir lo que da lugar a otro conjunto no necesariamente igual a alguno anterior, esto es, (A – B) ∪ (B – A). Este coincide con A ∪ B – (A ∩ B)

El conjunto vacío

El conjunto formado por ningún elementos se le llama vacío y se denota con un cero o una O tachada, Ø. Tiene la peculiaridad de estar incluido en todos los conjuntos.

Aplicación

En alguna ocasión cuando le pides mucho a Google, no te devuelve ningún resultado. Ahí tenemos el conjunto vacío.

El cardinal

Una vez tenemos los elementos de un conjunto podemos averiguar su cardinal. Ello nos sirve de puente entre la matemáticas y la teoría de conjuntos o al revés. El cardinal no es más que el número total de elementos de un conjunto. Todos los buscadores los suelen mostrar para que tengas una idea del alcance o el impacto online que produce dicha palabra.

Propiedades

Veamos alguna propiedades interesantes.

  • |A| ≤ |A ∪ B|, |B| ≤ |A ∪ B|
  • |A∩B| ≤ |A|, |A∩B| ≤ |B|
  • |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|

La partes de un conjunto

Este es un concepto no tan frecuente. Se trata de realizar todos los subconjuntos posibles a partir de uno dado. Se denota como P(A), a ser posible una P caligráfica.

Ejemplo

A = {a,b,c}

P(A) = { Ø, {a},{b},{c},{a,b},{b,c},{c,a},{a,b,c}}

Para profundizar en el tema sin límites te invito a visitar la página del profesor J.Climent. Ahí encontrarás magnificas memorias en pdf.

Aplicación a los colores

En la primera entrega ofrezco una forma de ver los colores en la cual la teoría de conjuntos es imprescindible su dominio.

Conclusión

La búsqueda en los servicios de información es una tarea que pertenece a nuestra rutina actual donde, sin saberlo, estamos usando toda la intuición que adquirimos en la teoría de conjuntos. Espero que este artículo resulte motivador y te lleve a profundizar más. Los conjuntos también se pueden multiplicar, recuerda el producto cartesiano, se pueden ordenar, se pueden clasificar y mucho más. Todo ello que nos parece tan intuitivo tiene detrás una fuerte teoría que le da rigidez y nos permite hacer de este mundo un lugar mejor.


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