Los números de Amparo generalizados

En esta entrada ofrezco una generalización natural de los números de Amparo para imaginar otras realidades. En el fondo no invento ni descubro nada, solo adapto una aritmética un poco diferente a la que estamos habituados a una realidad olvidada. Ello nos permitirá poder describir nuevos objetos reales o mejorar las descripciones realizadas hasta el momento, ya que tenemos un recurso más para dicho fin. Como digo en este blog, las descripciones deben ser coherentes para ser entendidas por todos. Por ello, si alineamos los principios empíricos con unos axiomas de la suso dicha ciencia formal nos ahorraremos un gran esfuerzo en deducciones coherentes que la matemática pone a disposición de todo usuario.

Generalización de los números de Amparo

Llamaré números de Amparo generalizados a los elementos del conjunto \(\mathcal{A}_{k}\)

\(
\mathcal{A}_{k}=\left\{ \left(\begin{array}{cccc}
n_{1} & n_{2} & \cdots & n_{k}\\
m & m & \cdots & m \end{array}\right)\in\left(\mathbb{N}^{2}\right)^{k}/\sum_{i=1}^{k}\frac{n_{i}}{m}=1\vee \sum_{i=1}^{k}{n_{i}+m}=0\right\}
\)

Observación

Veamos las siguientes evidencias.

  1. La definición anterior sigue una notación matricial, pero igualmente se hubiese podido tomar una notación con fracciones al sustituir \(\cdots\begin{array}{c}
    n_{i}\\ m \end{array}\cdots=\cdots\frac{n_{i}}{m}\cdots\) y seguir de forma análoga para el caso anterior.
  2. Si \(\left(\frac{n_{1}}{m},\frac{n_{2}}{m},\ldots,\frac{n_{k}}{m}\right)\in\mathcal{A}_{k}\), entonces o bien \(\sum_{i=1}^{k}\frac{n{i}}{m}=1\rightarrow m=\sum_{i=1}^{k}n_{i}\) o bien \(\sum_{i=1}^{k}n_{i}+m=0\rightarrow m=0\).

Afirmación

Para simplificar en la notación fraccionada, voy a tomar como \(0=\left(\frac{0}{0},\frac{0}{0},\ldots,\frac{0}{0}\right)\). Obviamente si fuesen racionales, no tendría sentido, pero estamos en otro conjunto.

Definición de igualdad

Defino la relación de igualdad entre los números de Amparo como la igualdad coordenada a coordenada.

\(\left(\begin{array}{cccc}
p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{k}\\
\sum_{i=1}^{k}p_{i} & \sum_{i=1}^{k}p_{i} & \cdots & \sum_{i=1}^{k}p_{i}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
q_{1} & q_{2} & \cdots & q_{k}\\
\sum_{i=1}^{k}q_{i} & \sum_{i=1}^{k}q_{i} & \cdots & \sum_{i=1}^{k}q_{i}
\end{array}\right)\)

cuando \(p_{i}=q_{i}, i=1,2,\ldots,k\).

A continuación, defino la suma de ampariños.

Definición de suma

Defino la suma de números de Amparo, en notación fraccionaria, como sigue:

\(\begin{array}{cccc}
\oplus: & \mathcal{A}_{k}\times\mathcal{A}_{k} & \longrightarrow & \mathcal{A}_{k}\\
& \left(p,q\right) & \longmapsto & \left(\frac{p{1}+q_{1}}{\sum_{i=1}^{k}\left(p_{i}+q_{i}\right)},\frac{p_{2}+q_{2}}{\sum_{i=1}^{k}\left(p_{i}+q_{i}\right)},\ldots,\frac{p_{k}+q_{k}}{\sum_{i=1}^{k}\left(p_{i}+q_{i}\right)}\right)
\end{array}\)

donde \(p=\left(\frac{p_{1}}{\sum_{i=1}^{k}p_{i}},\frac{p_{2}}{\sum_{i=1}^{k}p_{i}},\ldots,\frac{p_{k}}{\sum_{i=1}^{k}p_{i}}\right)\)y \(q=\left(\frac{q_{1}}{\sum_{i=1}^{k}q_{i}},\frac{q_{2}}{\sum_{i=1}^{k}q_{i}},\ldots,\frac{q_{k}}{\sum_{i=1}^{k}q_{i}}\right)\).

Proposición

La suma definida anteriormente es una ley de composición interna.

Demostración

La \(\oplus\) es una aplicación entre conjuntos, es decir, si \(p=r\) y \(q=s\), entonces \(p\oplus q=r\oplus s\). Donde:

\(p=\left(\frac{p_{1}}{\sum_{i=1}^{k}p_{i}},\frac{p_{2}}{\sum_{i=1}^{k}p_{i}},\ldots,\frac{p_{k}}{\sum_{i=1}^{k}p_{i}}\right)\) \(q=\left(\frac{q_{1}}{\sum_{i=1}^{k}q_{i}},\frac{q_{2}}{\sum_{i=1}^{k}q_{i}},\ldots,\frac{q_{k}}{\sum_{i=1}^{k}q_{i}}\right)\) \(r=\left(\frac{r_{1}}{\sum_{i=1}^{k}r_{i}},\frac{r_{2}}{\sum_{i=1}^{k}r_{i}},\ldots,\frac{r_{k}}{\sum_{i=1}^{k}r_{i}}\right)\) \(s=\left(\frac{s_{1}}{\sum_{i=1}^{k}s_{i}},\frac{s_{2}}{\sum_{i=1}^{k}s_{i}},\ldots,\frac{s_{k}}{\sum_{i=1}^{k}s_{i}}\right)\)

Como \(p=r\) y \(q=s, p_{i}=r_{i} y q_{i}=s_{i}\). Por ser \(p_{i}, q_{i}, r_{i}, s_{i}\in\mathbb{N}, p_{i}+q_{i}=r_{i}+s_{i}\). Por tanto se verifica

\(\left(\frac{p_{1}+q_{1}}{\sum_{i=1}^{k}p_{i}+q_{i}},\frac{p_{2}+q_{2}}{\sum_{i=1}^{k}\left(p_{i}+q_{i}\right)},\ldots,\frac{p_{k}+q_{k}}{\sum_{i=1}^{k}\left(p_{i}+q_{i}\right)}\right)=\left(\frac{r_{1}+s_{1}}{\sum_{i=1}^{k}\left(r_{i}+s_{i}\right)},\frac{r_{2}+s_{2}}{\sum_{i=1}^{k}\left(r_{i}+s_{i}\right)},\ldots,\frac{r_{k}+s_{k}}{\sum_{i=1}^{k}\left(r_{i}+s_{i}\right)}\right)\)

Evidentemente \(\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{p_{j}+q_{j}}{\sum_{i=1}^{k}\left(p_{i}+q_{i}\right)}\right)=\frac{1}{\sum_{i=1}^{k}\left(p_{i}+q_{i}\right)}\sum_{i=1}^{k}\left(p_{j}+q_{j}\right)=1\). Por tanto, la suma es una ley de composición interna.

Proposición

\(\left(\mathcal{A}_{k},\,\oplus\right)\) es un monoide abeliano.

Demostración

Veamos las siguiente propiedades:

  • Asociativa: la hereda de los números naturales.
  • Elemento neutro: El 0 lo puedo considerar como \(\left(\frac{0}{0},\frac{0}{0},\ldots^{(k-1},\frac{0}{0}\right)\), entonces es elemento neutro porque no altera a ningún número de Amparo.
  • Conmutativa: La hereda de los números naturales.

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