Los semigrupos para no matemáticos

¿Sientes curiosidad por saber qué son los semigrupos? Tal vez te de la impresión de ser un niño o una niña ante esta palabra. En este artículo veremos una idea intuitiva del concepto de semigrupo en álgebra. Para mayor rigor te recomiendo buscar algún pdf universitario.

Primero quiero que te des cuenta de que si preguntamos a un biólogo ¿qué son los ácaros? Nos comentará en palabras llanas que son unos “bichitos” que se encuentran en el polvo… Si preguntamos a un químico ¿qué es la lejía? Nos dirá que es un compuesto en donde podemos encontrar una molécula llamada hipoclorito sódico…

En matemáticas, no somos la excepción y decimos que un semigrupo es un conjunto de números con una suma “propia” (no necesariamente la convencional) a los cuales se les exigen muy pocas propiedades, tan pocas que es posible que no haya una resta ni un producto. Pero, eso sí, debe cumplir la asociativa; que explicaré más adelante.

Por ejemplo, los naturales {0, 1, 2, 3…} junto con la suma convencional son un semigrupo. Se escribe \(\left( \mathbb{N}, + \right)\) semigrupo. Otro ejemplo, serían los pares con la suma convencional. En cambio, los impares con esa suma, no lo son. Al igual que los naturales con la operación media aritmética, tampoco lo es.

A continuación, explicaré qué es una suma “propia”. El nombre técnico es ley de composición interna por si el lector busca entre los libros o quiere encontrar pdf’s universitarios. Una suma en un conjunto es cualquier operación entre dos números de ese conjunto de manera que el resultado sigue siendo de ese conjunto. Esto se debe cumplir en todos los casos.

Nota: El concepto de suma depende del conjunto donde se defina. Como hemos visto los impares con la suma de siempre no es semigrupo porque dicha operación no es suma. Sin embargo, dicha operación tomando a todos los naturales, sí lo es.

Ejemplo de suma diferente

Supongamos que tomamos los números reales entre 0 y 1 ambos inclusive, es decir, el intervalo [0, 1]. Este conjunto va muy ligado a los porcentajes, cada uno de ellos es el tanto por uno de algún porcentaje. Para verlo más claramente basta con multiplicar por 100 y tendremos el intervalo [0, 100].

Me pregunto si en este conjunto el valor medio o la media es una suma. Para ello, debemos tener en cuenta que dados dos números tendremos que uno es mayor o igual que el otro, esto es \( a, b \in [0, 1]\to a\le b \text{ o } b\le a \) (la flecha es la manera simbólica de decir: entonces o implica). Por tanto, la media estará entre uno de los dos, es decir, \(a < (a + b) / 2 < b\), si \(a < b\). Así pues hemos llegado a que la media es una suma en este conjunto. A nivel intuitivo, no es suficiente.

En resumen, como esta operación en los números [0, 1] nos da otro número del mismo conjunto se le asciende a la categoría de suma o, técnicamente, ley de composición interna. Obsérvese que la suma ordinaria en este conjunto no es suma porque hay al menos un caso que no se cumple, el cual puede ser 0,5 y 1; su suma ordinaria es 1,5 y no pertenece a [0, 1].

Asociativa para ser semigrupo

Siguiendo en el mismo ejemplo, hemos llegado a una operación entre un par de números, pero ¿qué pasa si tenemos tres o cuatro o cinco? ¿puedo emparejar estos números de dos en dos tal y como desee? Si la respuesta es afirmativa, diremos que la suma en este conjunto es asociativa. Su importancia reside en que nos facilita un poco la vida en matemáticas, es decir, los cálculos son enormemente más sencillos.

¿Cómo lo podemos saber? De la siguiente manera. Si verifica que para tres reales cualesquiera pertenecientes a [0, 1], por ejemplo a, b, c, al sumar a y b y luego, c da lo mismo que si sumo b y c y luego, a. Dicho de otro modo \((a +’ b) +’ c = a +’ (b +’ c)\), donde la \(+’\) es la media –por representarla de forma diferente.

Para el caso 0, 0,5, 1 no se cumple, aunque hay más. Así, la media entre 0 y 0,5 es 0,25 y luego la media entre 0,25 y 1 es 0,625. Mientras que la media entre 0,5 y 1 es 0,75 y luego la media 0,75 y 0 es 0,375. Ooooh! Casi es un semigrupo, llamémosle magma y lo denotamos como \(( [0, 1], +’ )\) magma.

Nota: El conjunto [0, 1] está muy relacionado con los colores de la luz. Y la media está muy relacionada con el centro de masas. Allí, en los colores de la luz, también ocurre lo mismo: no es semigrupo, pero si es un magma.

Utilidad

Para qué sirve saber qué es un ácaro, para qué sirve saber qué es la lejía… Para solucionar problemas, ya que los ácaros dan alergia e identificarlos nos ayuda poner remedio y la lejía nos ayuda a limpiar y a no mezclar la con otras sustancias. En matemáticas, otra vez, no somos una excepción y los semigrupos también sirven para resolver problemas.

No obstante, son problemas poco cotidianos, pero tal vez no estén tan lejos como parecen. Ya se verá. Personalmente, los he usado en el artículo que os notifiqué para obtener un modelo matemático de las pinturas de colores. No es algo del otro mundo, solo son números en los que se puede sumar, sin necesidad de restar y fáciles de manejar.

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