Método de numeración del segmento empírico

A continuación, voy a «numerar» el segmento. El algoritmo que ofrezco, consiste en asignar los pares (1,0) y (0,1) a los extremos izquierdo y derecho respectivamente. Luego, se suman los números anteriores y dicha suma se le asigna a un punto intermedio de los puntos correspondientes a los números sumados. El proceso continua, hasta llegar a la aproximación que se desea. De este modo, entre dos momentos de nuestra historia, habremos asignado un número a cada punto del segmento empírico.

(1, 0)- -(0, 1)
(1, 0)(1/2, 1/2)
(0, 1)
(1, 0)(2/3, 1/3)(1/2, 1/2)(1/3, 2/3)(0, 1)
(1, 0)(3/4, 1/4)(2/3, 1/3)(3/5, 2/5)(1/2, 1/2)(2/5, 3/5)(1/3, 2/3)(1/4, 3/4)(0, 1)

Dado que este conjunto de números de Amparo, \(A\), está desprovisto de una métrica y de una topología no puedo calcular sus distancias entre sí, ni puedo decir que dicho número está en medio, en sentido métrico -equidistante entre dos elementos-. Sin embargo, sí puedo decir que un número está entre dos de ellos al definir una relación de orden en \(A\). Por consiguiente, voy a definir una relación binaria de orden en \(A^{*}=A-\{ \left(0,0\right)\}\). La relación de orden es heredada de los racionales y es respetuosa con el método anterior.

Relación de orden

Sean \(\left(q,r\right),\left(s,t\right)\in A^{*}\), diré que \(\left(q,r\right)\) es menor o igual que \(\left(s,t\right)\) y lo denoto como \(\left(q, r\right)\preceq\left(s, t\right)\) si se cumple que \(r<t\) en \(\mathbb{Q}\).

Proposición

\(\left(A^{*},\preceq\right)\) es un conjunto ordenado.

Demostración

Sean \(\left(q,r\right),\left(s,t\right)\in A\), entonces \(q+r=1\) y \(s+t=1\) en \(\mathbb{Q}\Rightarrow q+r=1,-s-t=-1\). Si sumamos las ecuaciones en \(\mathbb{Q}\) llegamos a \(q-s=t-r\). Como ambos son racionales, se cumplirá que o bien \(t-r\leq0\) o bien \(0\leq t-r\). En ambos casos nos queda definida un relación binaria de orden.

Proposición

\(A^{*}\) tiene máximo y mínimo.

Demostración

Dado que si \(\left(q,r\right)\in A\rightarrow q+r=1\rightarrow r\in[0,1]\). Por tanto, cuando \(r=0\), \(\left(q,r\right)\) será mínimo y cuando \(r=1\), \(\left(q,r\right)\) será máximo.

Dado un segmento empírico, necesito asignarle un número a cada punto de él para utilizar los resultados de las matemáticas. Si fuesen necesarios los números irracionales para tenerlos todos, tendré que los números de Amparo me permiten acercarme a ellos tanto y cuanto requiera porque \(\mathbb{Q}\) es denso en \(\mathbb{R}\). Si dicho segmento estuviera dotado de una «completitud» o «densidad» racional, los números de Amparo son más que suficientes. Pero, si la cantidad de puntos es finita, puedo tomar un subconjunto de los números de Amparo. Cabe otra posibilidad muy transversal: la cantidad de localizaciones contenida en un segmento empírico sea dinámica, esto es, varía con el tiempo. Esta posibilidad es propia de otro trabajo.

Con este trabajo se consigue una numeración de un segmento con un principio y un fin sin que la numeración quede recortada. Además, todas las sumas van a quedar dentro de la numeración cosa que no ocurre si le asignamos un intervalo de la recta real. Esto tiene unas ventajas diferentes a las que tienen los intervalos de la recta por excelencia. Si el lector acepta este hecho, coincidirá con migo en que nos amplia la aplicación de las matemáticas al mundo empírico. La matemáticas son tan plásticas que pueden describir a cualquier situación real del universo.

Nota

En el artículo anterior constaba una actualización donde comentaba que había un falla de rigor y que el «puente se caía» de momento. Si no hubiese caído, lo que he expuesto aquí sería uno de sus beneficios. Creo que vale la pena estudiar qué hacer para que este puente o esta idea entre en órbita. Espero ofrecer, más adelante, un «pilar» que lo sostenga.

Descripción gráfica

Imaginemos que los físicos, ya que hablo de espacio, nos aseguran, a través de sus principios y sus evidencias, que dados dos puntos del espacio contienen toda una gama de puntos intermedios. Esto es algo que suponemos hoy en día: dos puntos cualesquiera del espacio en el que vivimos contiene una infinidad de puntos intermedios que podemos identificar con \(\mathbb{R}\). Sin embargo, no voy a suponer tanto solo que ocurre al menos con una pareja de puntos que contiene uno o más de un punto intermedio. Como he dicho, debemos asignarles un número a cada uno de ellos para empezar con las matemáticas. La manera que expongo en este artículo no es más que seguir el siguiente algoritmo:

  1. Asigno el (1,0) al extremo izquierdo.
  2. Asigno el (0,1) al extremo derecho.
  3. Empezando de izquierda a derecha (se puede elegir de derecha a izquierda de manera análoga) o por el (1,0)
  4. Elijo un punto entre dos consecutivos dados.
  5. Al punto elegido le asigno la suma de los extremos anteriores.
  6. Sigo así hasta llegar al extremo opuesto el derecho (0,1).
  7. Seguir con el paso 3.

Los dos primeros pasos vienen explicados en la primera fila de la tabla del principio. La segunda fila es la segunda iteración, la tercera fila es la tercera iteración de los pasos 3-7. Así consecutivamente. Visto gráficamente, correspondería con la imagen del inicio del artículo. Pero, también pueden ser alguna de las dos siguientes. He dicho tomar un punto intermedio cualquiera.

Ejemplo gráfico

Método diferente para asignar a cada punto de un segmento empírico un número.
Se trata de asignar a un punto intermedio, el que sea, la suma de sus «extremos» o «contiguos» según la suma definida en artículos anteriores.

Al hablar del espacio se nos nubla la mente y no podemos concebir otros modelos que se ajusten a la realidad; a no ser que sean los espacios vectoriales reales. Pero si te digo que pienses en una carretera de sur a norte donde cada salida es una localización o punto, ya nos podemos imaginar una situación diferente que encaja más con esta «numeración». Veamos, la carretera tendrá un inicio, en el sur, y un fin, en el norte. Además, tendrá unos desvíos que bien pueden ser puntos… estos pueden ser numerados con este método. Si usamos los naturales cuando pongamos un desvío más tendremos que volver a «numerar», con este procedimiento sumamos los contiguos y lo tenemos situado o «numerado».

¿Conoces otro método con la misma finalidad? Puedes preguntar tus dudas o expresar qué te ha parecido en los comentarios.

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