SIR: el modelo dinámico para el Covid-19 que inspira a las matemáticas actuales

Un modelo dinámico que rebosa actualidad es el modelo matemático SIR. Su uso es muy adecuado para la toma de decisiones en este estado de pandemia. Además, a partir de él se crean modelos más sofisticados. En este post explico el modelo SIR recurriendo a los puntos clave que comentaba en la entrada anterior «Cómo entender un modelo dinámico sin ser matemático». Así que, al terminar, si te apetece, te recomiendo leerla. 

Los autores del modelo SIR son W. 0. Kermack y A. G. McKendrick; quienes publicaron un artículo en la revista de la Royal Society bajo el nombre «A contribution to the mathematical theory of epidemics» (Una contribución a la teoría matemática de epidemias) en agosto de 1927. 

¿Qué es un modelo en matemáticas? 

En primer lugar, un modelo es un ente matemático que sirve para entender la realidad. En la vida hay magnitudes que podemos medir y decir qué relación existe entre ellas. Así, una fórmula, v=e/t, ya sería un modelo matemático que describe la relación entre las magnitudes espacio, tiempo y velocidad. No obstante, es tan sencillo que solo se le llama fórmula. Para casos más complejos no se debe evitar la palabra modelo. Siguiendo esa línea, podríamos decir que un modelo matemático está formado por diversas fórmulas relacionadas entre sí. 

¿Qué variables relaciona el modelo SIR? 

En segundo lugar, una vez sabemos qué es un modelo de forma intuitiva e informal, necesitamos conocer qué magnitudes relaciona el modelo. Como decía, la realidad está llena de cualidades que se pueden medir, por lo que las llamamos magnitudes en ciencia y las representamos como variables en matemáticas. El modelo SIR de Kermack y McKendrick relaciona las magnitudes Susceptibles, Infectados y R, una magnitud un poco artificial. 

Los susceptibles son todas las personas sanas que aún no han contraído la enfermedad. Los infectados son aquellos enfermos activos y la magnitud R es la suma de la cantidad de personas que se han curado o, por desgracia, han fallecido. Estas variables se parecen a las que el Ministerio de Sanidad nos ofrece todos los días, pero no son propiamente las mismas. 

En la televisión, vemos la ausencia de la variable susceptibles, aunque se puede deducir de las demás. Otra variable más clara es la de infectados, pero tampoco es la misma, porque nos dan la acumulada de tal manera que deducir los activos va a cargo del autor o del intérprete de los datos como nos recuerda el Instituto de Salud Carlos III la tabla con los datos que ofrece en Internet. Finalmente, tenemos las variables fallecidos y curados, cuya suma es la R del modelo SIR. 

Quiero comentar que la variable R se ha traducido del inglés como recuperados y, sin embargo, incluye a los fallecidos también. Por ello, prefiero pensar en casos resueltos, tanto en final feliz como final triste. Y sí, SIR viene de las siglas del nombre de sus variables. 

¿Cuál es el objetivo del modelo SIR? 

En tercer lugar, el objetivo del modelo SIR es muy conciso. En palabras de ellos: 

Con el objetivo de obtener más información sobre los efectos de los diversos factores que rigen la propagación de epidemias contagiosas, se llevó a cabo la presente investigación… Uno de los problemas más importantes en epidemiología es determinar si esta terminación ocurre solo cuando no quedan individuos susceptibles, o si la interacción de los diversos factores de infectividad, recuperación y mortalidad puede dar lugar a la terminación, mientras que muchos individuos susceptibles todavía están presentes en la población no afectada. 

Kermack y McKendrick

En otras palabras, los autores desarrollan el modelo SIR para responder a esas preguntas, entre las cuales cabe destacar de forma resumida ¿cuándo finaliza una epidemia? Por ello, si puede responder a esa pregunta, puede informarnos de qué hacer para que termine antes la epidemia a la vez que minimizamos las defunciones. 

Tal vez te preguntes ¿cómo un conjunto de variables relacionadas entre sí consigue responder a preguntas tan misteriosas como las planteadas? Para su repuesta me gusta recurrir al ejemplo de la temperatura corporal. Todos sabemos que, si hacemos algo para que la temperatura no suba más allá de tolerado por el cuerpo, evitaremos un disgusto. A pesar de que pueden surgir otras dificultades, la temperatura ya nos dice qué hacer. En otros casos se debe tomar más magnitudes e ir vigilando que todo esté dentro de lo asumible. 

¿Bajo qué premisas o supuestos parte el modelo SIR? 

En cuarto lugar, siempre que nos interesemos por un modelo debemos conocer las premisas de las que parte el modelo. Recordemos las clases de física en donde a veces suponíamos que el rozamiento no existe y otras sí. A parte de que fuese un recurso didáctico para entender los conceptos con mayor fluidez, muchas veces se pueden obviar detalles. Por ejemplo, para el tiro parabólico si despreciamos el rozamiento del aire, acertaremos muchas veces donde llegará el objeto lanzado. Ello permite tener un modelo más simple de calcular. 

En la modelización se hace necesario recurrir a esta técnica para poder plasmar el modelo y no tener algo engorroso y difícil de procesar. No obstante, puede suceder que un modelo obvie una parte importante para tu propósito y que por ello no te sea útil. Imaginemos un robot que quiere lanzar un balón con efecto. Para ello debe partir de un modelo que contemple el rozamiento del aire y así predecir donde caerá la pelota, ya que es la forma en que gira el balón junto el rozamienot con el aire lo que le confiere el efecto para hacer una curva. 

Los supuestos del modelo SIR son: 

  • Toda la población es susceptible desde el primer momento que alguien se infecte. 
  • Los casos resueltos ya no pueden infectar a nadie nuevamente. 
  • La población es finita por muy grande que sea. 
  • La población está cerrada por lo que no pueden entrar infectados de otras poblaciones. 

Entre todas las observaciones que tengo en mente te comento que si descubrimos que la segunda presencia no es cierta para el coronavirus SARS-CoV-2 que produce la enfermedad Covid-19, el modelo SIÇR dejará de ser útil. No obstante, se sabe que durante un tiempo hay inmunidad para aquel que haya experimentado la enfermedad. 

¿Cuál es su salto o intervalo temporal? 

En quinto lugar, por salto temporal quiero expresar la unidad mínima de tiempo necesaria para predecir. Hay modelos que realizan predicciones a un año vista y otros de forma inmediata o al siguiente segundo. No confundir en que el ordenador necesite un año para calcular las nuevas predicciones. 

El modelo SIR es un modelo dinámico que considera al tiempo como una magnitud continua, lo que significa que sus predicciones pueden ser saltos tan pequeños como se quiera o dicho de forma más técnica saltos infinitesimales. Por ello, el salto puede ser a voluntad y elegir, por ejemplo: una hora, un día, una semana… No obstante, lo más prudente es la de predecir por días. 

Variaciones actuales del SIR 

Una variación del modelo SIR es la que realiza el equipo MUNQU de la Universidad Politécnica de Valencia y que puedes encontrar en este enlace. Ellos consideran el tiempo como días que pasan sin importar las horas ni los segundos. Cada día representa un salto o una iteración en el modelo. Si visitas el enlace propuesto verás otro más sofisticado, pero que se inspira en el SIR. 

Otro ejemplo de modelo matemático basado en el de los autores Kermack y McKendrick lo encontramos en el equipo de investigación MOMAT de la Universidad Complutense de Madrid y que puedes leer aquí

¿Cómo relaciona esas variables? 

En sexto lugar, la relación que existe entre las variables o magnitudes es la parte más técnica. Por lo que me reservaré la explicación para quien comente. Por ello, si tienes interés deja un comentario y pídeme que explique las ecuaciones del modelo. Te contestaré con mucho gusto. 

¿Cuándo es útil este modelo? 

En séptimo lugar, para responder esta pregunta están todas las anteriores. Solo con el objetivo ya debería ser suficiente para tener una idea de su uso. Pero, si con ello no es suficiente, tienes las demás preguntas respondidas. 

En la actualidad, como espectadores es muy informativo ver que está sucediendo. Además, gracias al desarrollo de la tecnología, se pueden incluir más factores y detalles sobre esta pandemia al modelo originario SIR que es lo que pretenden hacer los otros modelos más sofisticados que he comentado. Además, tenemos la oportunidad de dar el valor que tiene un número o una unidad, ya que detrás hay vidas e historias que los periodistas y escritores nos contarán más adelante. 

Conclusiones 

Por último, los investigadores que elaboran modelos muchas veces llaman a los modelos como fotografías científicas de lo que sucede. Al igual que en una foto no cabe todo, en el modelo tampoco. Al igual que en la foto es de un instante el modelo está pensado para unos momentos determinados.  

El origen del modelo SIR es antiguo, pero sigue siendo vigente en los modelos dinámicos actuales. Fotografía muy bien la realidad médica actual, ya que contempla a todos; estemos en estado susceptible, infectados o curados. No obstante, debemos mirar otros detalles para tener una mejor respuesta. De lo contrario, si sacrificamos demasiado los demás aspectos vitales para la sociedad, pasará lo mismo que cuando la temperatura sube demasiado en un enfermo… Se crea otro problema de grandes dimensiones.

Espero haber respondido a alguna de las preguntas que te han traído hasta aquí. Seguramente te queden algunas más, no te prives; es todo un lujo poder conversar contigo. Atrévete y deja tu pregunta. 

La pandemia pasará, todo saldrá bien y el modelo SIR dejará de ser útil. ¿Lo olvidaremos? Sí, todos excepto los científicos. Pasará a un segundo plano para no alterar el bienestar del día a día, ya que este modelo habla sobre cosas que preferimos no mirar. No obstante, no debemos olvidar lo útil que es la ciencia con sus matemáticas y seguir pidiendo modelos que nos ayuden a decidir. 

Referencias 

  • Epidemiología de primera línea frente al coronavirus —Naukas (2020)— Iván RiveraEnlace al artículo
  • A contribution to the mathematical theory of epidemics —Royal Society (1927)— Enlace al artículo (pdf). 
  • Modelo para el estudio de la dinámica de transmisión del SARS-CoV-2 y la enfermedad del COVID19. Descripción técnica. —MUNQU (Clara Burgos Simón et al.)— Enlace al texto (pdf). 
  • Las matemáticas españolas asumen contra reloj el reto de predecir la evolución de la epidemia. —SINC (2020)— Mónica G. Salome — Enlace al artículo

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima octava edición, también denominada 11.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

2 comentarios en “SIR: el modelo dinámico para el Covid-19 que inspira a las matemáticas actuales”

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