Colores, escuelas y ley

La relación entre los colores, las escuelas y la ley, la encontramos en los números de Amparo. Estos números, que también pueden ser llamados ampariños, están en fase experimental porque todavía no hay publicada un teorema que demuestre que son números propiamente dicho. No me extrañaría que si hubiese una manera de demostrar que sí lo son, pero a día de hoy no he encontrado nada publicado sobre ellos. En la categoría Amparo te explico mucho más sobre ellos.

En esta entrada me centraré en aplicar los (presuntos) números de Amparo a la ley de los materiales. Para medir la pureza del Oro, por ejemplo, se utilizan en la vida cotidiana antigua los quilates (kt). La pureza máxima es 24kt. Decir que se ha llegado a 24 es equivalente a la siguiente afirmación: todo el peso del material, corresponde únicamente al peso del oro; es decir, es oro puro. Otra afirmación equivalente sería: es oro al 100%. Así que, en 100 gramos de 1kt., \(\frac{100}{24}=4.1\overset{\frown}{6}%\) de pureza, tenemos poco más de 4 gramos de oro puro. Por tanto, estamos ante dos extremos, uno inferior, nada de oro, y otro superior, todo es oro.

Nos cuenta Wikipedia que en la práctica no se puede llegar a tener oro de ley al 100% debido a la tecnología que se dispone. No obstante, cada vez se consiguen procesos que permiten alcanzar niveles más altos. Por ello que restringir 24kt al 99.9% me parece una unidad relativa a la época en la que estemos, además no es necesario ni obligatorio tomar el 24kt, se puede tomar el 23.976kt para representar el 99.9%. Así que, en este texto trabajaré con lo dicho anteriormente. También nos dice que actualmente se usan las milésimas para lo materiales preciosos. Estas no son más que el tanto por mil.

Una peculiaridad de los ampariños es estar entre dos extremos de manera que si se suman quedan entre los extremos. Ello significa que los podemos aplicar a la pureza del oro porque al fundir diversas purezas no sobresalimos nunca de los 0 y 24 quilates. Puedo entonces identificar 0kt por (1,0) y el 24kt por el (0,1). De ese modo una pureza de 18kt corresponden con \(\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)\), 23.28kt, con \(\left(\frac{97}{100},\frac{3}{100}\right)\) y 23.52kt, con \(\left(\frac{49}{50},\frac{1}{50}\right)\). Aunque en los números de Ampro se debe tener en cuenta la cantidad total, es decir 18kt de 720 gramos de oro es \(\frac{3}{4}\cdot720=540gr.\) de oro, con lo cual tenemos el siguiente ampariño \(\left(\frac{540}{720},\frac{180}{720}\right)\).

Ejemplo. Caso genérico

Sean m gramos de q kilates, su número de Amparo es \(\left(\frac{m\cdot\frac{q}{24}}{m},\frac{m\left(1-\frac{q}{24}\right)}{m}\right)\) oro en gramos. Nótese que si simplificamos estaríamos trabajando con un par de números racionales donde desaparece la m, la cual nos informa de la cantidad con la que estamos tratando. Al simplificar no tenemos un número nuevo que refleje la realidad de una manera mejor que los racionales y, por tanto, no hemos avanzado nada.

Ejemplos. Casos ideales

Primero

Imaginemos que disponemos de 120 gramos de oro a 18kt y queremos conseguir que sea a 20kt. Para ello necesitamos disponer de oro de mayor pureza. En el caso ideal que tengamos oro puro, el ejercicio se simplifica bastante. Si a esto le añadimos la capacidad de manejar cualquier unidad, es decir, nuestras herramientas nos permiten llegar a precisión infinita, el ejercicio se resuelve fácilmente.

Método convencional

Los 18kt representan una pureza de 75%, \(\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\). Los 20kt representan una pureza del \(83.\overset{\frown}{3}%\), \(\frac{20}{24}=\frac{5}{6}\). Como tengo 120 gr. debo añadir y gramos a los 90 de oro y añadir x gr. a los 30 de impureza. Ello me da la siguiente ecuación:

\(\begin{array}{cccc}
\frac{90+x}{90+x+30+y}=\frac{5}{6}\Rightarrow & 540+6x & = & 450+5y+150+5x\
& x & = & 60+5y
\end{array}\)

Esta ecuación tiene infinitas soluciones, así que puedo imponer que y=1, entonces x=65. También puedo imponer que \(y=0.01\rightarrow x=60.05\). Verifiquemos.

\(\frac{90+60.05}{90+60.05+30+0.01}=\frac{150.05}{180.06}=83.\overset{\frown}{3}\)

Método Amparo

En este procedimiento debemos identificar los objetos reales con los números de Amparo. Para 120gr. a 18kt es el número ampariño \(\left(\frac{90}{120},\frac{30}{120}\right)\) y 120gr. a 20kt corresponde con \(\left(\frac{100}{120},\frac{20}{120}\right)\). Se pide añadir n+m gramos de una pureza del \(\frac{n}{n+m}%\). Si añadimos algo a \(\left(\frac{90}{120},\frac{30}{120}\right)\) podremos llegar a un número de Amparo equivalente a \(\left(\frac{100}{120},\frac{20}{120}\right)\), pero no igual. Así que puedo tomar otro número de Amparo con naturles más pequeños, el \(\left(\frac{5}{6},\frac{1}{6}\right)\).

\(\begin{aligned}\begin{array}{ccc}
\left(\frac{90}{120},\frac{30}{120}\right)\oplus\left(\frac{n}{n+m},\frac{m}{n+m}\right)\sim\left(\frac{5}{6},\frac{1}{6}\right) & \Rightarrow & \begin{cases}
90+n & =5\lambda\
30+m & =\lambda
\end{cases}\
\\ & \Rightarrow & 90+n=150+5m\
\\ & \Rightarrow & n=60+5m
\end{array}\end{aligned}\)

Como se puede ver llegamos a la misma expresión y hemos trabajado con los mismos números. Ello nos da indicios de que los ampariños sí son números y tienen su utilidad.

Segundo

Método Amparo

Imaginemos que queremos generar oro a 23.568kt. Disponemos de lingotes de oro de 24kt y estamos dispuesto a fundirlo junto con impurezas, obviamente la impureza es sin nada de oro. Si la unidad mínima manejable es el gramo, es decir, no puedo generar 1.2 gramos ni 1.9 gramos porque no me lo permite la técnica, debo trabajar con naturales. Así tengo que:

\(\begin{array}{ccc}
n(1,0)\oplus m(0,1) & \sim & \left(\frac{468}{480},\frac{12}{480}\right)\\
\left(\frac{n}{n+m},\frac{m}{n+m}\right) & \sim & \left(\frac{468}{480},\frac{12}{480}\right)\\
\left(\frac{n}{n+m},\frac{m}{n+m}\right) & \sim & \left(\frac{117}{120},\frac{3}{120}\right)\\
\left(\frac{n}{n+m},\frac{m}{n+m}\right) & \sim & \left(\frac{117}{120},\frac{3}{120}\right)
\end{array}\)

\(n=\dot{117},m=\dot{3}\)

Por tanto debo hacer 120 gramos de oro a 23.4kt y ahora puedo tomar un gramo de oro a 23.4kt. Ver esto es importante porque directamente no puedo «fabricar» 1 gramo de oro a 23.4kt. No dispongo de herramientas que me permitan tomar oro en cantidades más pequeñas. A pesar de aceptar la restricción real de tener una unidad mínima de juego, sigue siendo un caso ideal porque disponemos de oro de 24k.

Tercero

Imaginemos que dispongo de 120 gramos de oro a 23.4kt y quiero subir su pureza a 23.568kt. (del 97.5% a 98.2% de pureza de oro). Solo puedo manipular unidades de un gramo. ¿Cuánto oro y de qué quilates debo añadir?

Método Amparo

Se calcula que 100gr. de oro a 23.28kt corresponde con el número de Amparo \(\left(\frac{97.5}{100},\frac{2.5}{100}\right)\), entonces, 120gr es \(\left(\frac{117}{120},\frac{3}{120}\right)\).

Si añado un gramo de oro puro, como los quilates no son los mismos, la pureza subirá. Así que me pregunto cuánto oro debo añadir…

\(\begin{array}{ccc}
\left(\frac{117}{120},\frac{3}{120}\right)\oplus\left(\frac{n}{n},\frac{0}{n}\right)\sim\left(\frac{982}{1000},\frac{18}{1000}\right) & \Rightarrow & \left(\frac{117+n}{120+n},\frac{0}{120+n}\right)\sim\left(\frac{982}{1000},\frac{18}{1000}\right)\\
& \Rightarrow & \begin{cases}
117+n & =982\\
120+n & =1000
\end{cases}\\
& \Rightarrow & \begin{cases}
n & =865\\
n & =880
\end{cases}\sharp
\end{array}\)

Lo que significa que no puedo añadir solo oro para llegar a los quilates que se quieren.

Si puedo añadir impurezas…

\(\begin{array}{c}
\left(\frac{117}{120},\frac{3}{120}\right)\oplus\left(\frac{n}{n+m},\frac{m}{n+m}\right)\sim\left(\frac{982}{1000},\frac{18}{1000}\right)\\
\begin{cases}
117+n & =982\lambda\\
3+m & =18\lambda
\end{cases}\\
2106+18n=2946+982m\
18n=840+982m\\
n=\frac{1}{9}\left(420+491m\right)
\end{array}\)

Para que n sea natural debemos llegar \(m=6,\,n=374\).

Veamos que 380gr., \(\left(\frac{374}{380},\frac{6}{380}\right)\), es la mínima cantidad que debo añadir para el conseguir el propósito, usando la ecuación anterior, tenemos que al estilo de la vieja usanza:

m	n
1	\(101.\overset{\frown}{2}\)
2	\(155.\overset{\frown}{7}\)
3	\(210.\overset{\frown}{3}\)
4	\(264.\overset{\frown}{8}\)
5	\(319.\overset{\frown}{4}\)
6	\(374\)

Ejemplo. Caso práctico

Lo normal es tener piezas de oro en quilates diferentes y con ellos tener que generar otra pureza o ley. Voy a partir de piezas de: 18kt y 23.4kt. Con ellos, puedo formar cualquier pureza entre ellas. Debido que puedo reflejar esta situación con los ampariños, se deduce que la afirmación anterior es cierta.

Imaginemos que simplemente quiero oro a 20kt. ¿Cómo debo mezclar las distintas piezas para obtener oro a 20kt?

\(\alpha\left(\frac{18}{24},\frac{6}{24}\right)+\beta\left(\frac{23.4}{24},\frac{0.6}{24}\right)\sim\left(\frac{20}{24},\frac{6}{24}\right)\Rightarrow\begin{cases}
18\alpha+23.4\beta=20\lambda\\
6\alpha+0.6\beta=4\lambda
\end{cases}\)

Tomando a \(\alpha,\beta\) como incógnitas, despejando \(\lambda\) en ambas ecuaciones e igualándolas, obtenemos la siguiente relación:

\(\beta=\frac{120}{204}\alpha\)

Por tanto, si la cantidad más pequeña de manejo es la unidad, tenemos que lo mínimo que podemos hacer es una mezcla de 204 gramos de 18kt y 120 gr. de 23.4 kt, en total 324 gramos a 20kt.

Conclusiones

En esta entrada hemos visto varias aplicaciones de los ampariños a la ley de los materiales preciosos como es el oro. Ello nos da esperanza para verlos como números sólidos. En próximas publicaciones veremos qué relación tiene todo esto con las escuelas, contexto elegido por el blog Tito Eliatron Dixit (en este post) para encajar los porcentajes en la vida cotidiana. Por último, veremos cómo los (presuntos) números de Amparo encajan con los colores, los cuales me llevaron a ellos.