El disco: una forma más para representar la esfera en el plano

En este apartado voy a explicar como representar una esfera en forma de disco. Ello me permitirá representar todos los colores* de la esfera (solo la superficie) en un plano; así los podremos ver en una imagen. A pesar que se pierdan algunas propiedades geométricas de la esfera, es conveniente.

Dado un punto cualquiera de ella, tiene un solo punto «opuesto», la antípoda. Al unir ambos puntos, obtengo un eje de la esfera el cual coincide con su diámetro. Puedo, entonces, tomar un plano perpendicular al eje en el punto que quiera. Ello me da una intersección con la esfera de manera que su forma es la circunferencia. En la imagen de abajo se puede apreciar mejor.

Dicho lo anterior, tengo la opción de partir desde uno de los extremos con el plano perpendicular al eje e ir hacia el otro extremo, su antípoda. Las diferentes circunferencias que obtengo crecen de tamaño debido a que el radio es mayor. Eso me permite, desde el inicio hasta la mitad de la esfera, registrar las circunferencias en un plano. Véase la imagen situada debajo de esta línea.

Una vez llegado a media esfera, el radio de la circunferencia disminuye. En este caso, puedo usar otro disco, pero prefiero la opción de seguir con el mismo. Para ello, aumentaré el radio de manera que cada nueva circunferencia sea más grande que la anterior. Es decir, en vez de decrecer un \( \varepsilon\), crecerá ese mismo valor. Si el radio de la intersección del plano con la esfera es de \( r_{i}\) y el de la esfera es de \( r_{e}\), la nueva circunferencia en el disco será de \( r_{c}=r_{e}+(r_{e}-r_{i})=2r_{e}-r_{i}\). Si \( \varepsilon=r_{e}-r_{i}\), entonces \( r_{c}=r_{e}+\varepsilon\).

La antípoda es un punto y la intersección del plano perpendicular con la esfera también. Este punto tiene la propiedad de estar al «lado» de todos los puntos de la «última» circunferencia. Para mantener dicha característica, representaré dicho punto como una circunferencia situada en la frontera del disco, es decir la más exterior del disco. Pero, todos sus puntos serán del mismo color. Así se puede ver en la imagen de arriba.