En este artículo vamos a ver dos ejercicios simples sobre bases de espacios vectoriales. Seguramente conozcas la base canónica de \(\mathbb{R}^n\) y que en \(\mathbb{R}^2\) un vector al cual le cambiamos el orden de las coordenadas y el signo a una de ellas nos da una base cuyo ángulo es recto. Así que vamos a demostrar que en ambos casos son base y en qué casos no, pero solo para el caso de \(\mathbb{R}^2\).
Ejercicio 1
Deduce para qué valores de \(a\in\mathbb{R}\) se tiene que el conjunto de vectores \(\left\{(1,a),(a,1)\right\}\) es una base en \(\mathbb{R}^2\).
Solución
Para que nuestro conjunto sea base debe ser linealmente independiente y sistema generador.
LI
\(\lambda_1(1,a)+\lambda_2(a,1)=(0,0)\rightarrow\lambda_1=0=\lambda_2\)
\(\begin{matrix}\lambda_1&+&\lambda_2a&=&0\\a\lambda_1&+&\lambda_2&=&0\end{matrix}\).
De la primera ecuación tenemos que \(\lambda_1=\lambda_2a\). Introducimos esto en la segunda y tenemos que \(a^2\lambda_2+\lambda_2=0\) entonces \((a^2+{1)\lambda}_2=0\), con lo cual o bien \(\lambda_2=0\) o bien \(a^2+1=0\). Como no queremos que se dé el último caso, exigimos que \(a\neq\pm1\).
SG
Hemos de buscar para todo vector de \(\mathbb{R}^2\), \(v\), la combinación lineal que iguala la nuestra base con \(v\). Esto es equivalente a resolver el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
\(\begin{matrix}\alpha&+&a\beta&=&x_1\\a\alpha&+&\beta&=&x_2\end{matrix}\)
Por sustitución, he obtenido el siguiente resultado:
\(\begin{matrix}\alpha&=&\frac{x_2-{\mathrm{ax}}_1}{1-a^2}\\ \beta&=&\frac{x_1-ax_2}{1-a^2}\end{matrix}\)
Una vez más se necesita que el valor de \(a\) sea distinto de 1 y de -1 para poder realizar los cálculos pertinentes o de lo contrario no se pueden obtener todos los demás vectores a partir de estos dos (vectores) mediante combinación lineal.
Ejercicio 2
Deduce para qué valores de \(a\) y \(b\) se tiene que el conjunto \(\left\{(a,b),(-b,a)\right\}\) es base en \(\mathbb{R}^2\).
Solución
Se trata de seguir los pasos anteriores. Sustituye el 1 por \(b\), añade un signo negativo a la primera \(b\) y lo tendrás.
LI
De aquí se tiene que \(a\neq 0 \neq{b}\).
SG
Aquí obtendrás que:
\(\begin{matrix}\alpha&=&\frac{ax_1+{bx}_2}{a^2+b^2} \\ \beta&=&\frac{ax_2-{bx}_1}{a^2+b^2}\end{matrix}\)
Para ayudarte puede empezar con un ejemplo concreto. Como es el caso de \(\left\{(1,1),(-1,1)\right\}\) son base y las coordenadas o la combinación lineal adecuadas para el vector \((5,-3)\) son \((1,-4)\).
En todo caso si tienes alguna duda o no te sale, puedes comentar.
