Ejercicios sobre independencia lineal de vectores

En anterioridad vimos los axiomas de los espacios vectoriales y más adelante el concepto de vectores linealmente independientes. Con ello tenemos suficiente para realizar estos ejercicios. Son convenientes para despertar y mantener nuestras habilidades matemáticas.

Ejercicios

En lo que sigue vamos a considerar el \(K\)-espacio vectorial siguiente \(\left( V,+ \right)\). No se requiere más información.

1. Sean \({u_1,u_2}\) dos vectores linealmente independientes, demostrar que \({u_1, u_1 + u_2}\) también lo son.
2. Sean \({u_1,u_2,u_3}\) tres vectores linealmente independientes, demostrar que los siguientes vectores también lo son: \({u_1+u_2,u_2+u_3,u_1+u_3}\).
3. Sean \({u_1,u_2,u_3}\) tres vectores linealmente independientes, demostrar que los siguientes vectores también lo son: \({u_1+u_3,2u_2,u_2+u_3}\).

Resolución

En los tres casos se trata de aplicar la definición de vectores linealmente independientes y ver que se verifica para cada caso. Para ello debemos recurrir a los axiomas de espacio vectoriales, los de grupo abeliano y los de cuerpo.

1.-

Esto es, sean \(\lambda_1,\lambda_2 \in K\) si \(\lambda_1u_1+\lambda_2(u_1+u_2)=0\) debemos demostrar que \(\lambda_1 = \lambda_2 = 0\).
Por un axioma tenemos que si \(\lambda_1u_1+\lambda_2(u_1+u_2)=0\), entonces \(\lambda_1u_1+\lambda_2u_1 + \lambda_2 u_2=0\) entonces tenemos que \((\lambda_1+\lambda_2)u_1 + \lambda_2 u_2=0\). Ahora bien, sabemos por el enunciado que \(u_1\) y \(u_2\) son independientes, entonces \(\lambda_1+\lambda_2=0\) y \(\lambda_2=0\). En todo cuerpo K, si \(\lambda_2=0, \lambda_1+\lambda_2 = 0 \rightarrow \lambda_1=0\).

2.-

Esto es, sean \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \in K\) si \(\lambda_1(u_1+u_2,)+\lambda_2(u_2+u_3)+\lambda_3(u_1+u_3)=0\) debemos demostrar que \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0\). Aplicamos la distributiva del producto entre un escalar y un vector. \(\lambda_1(u_1+u_2)+\lambda_2(u_2+u_3)+\lambda_3(u_1+u_3)=\) \( \lambda_1 u_1+\lambda_1 u_2+\lambda_2 u_2+\lambda_2 u_3+\lambda_3 u_2+\lambda u_3)=\) Aplicamos la conmutativa de grupos abelianos \(\lambda_1 u1 + \lambda_3 u_1 +\lambda_1 u_2 + \lambda_2 u_2\) \( + \lambda_2 u_3\)\( + \lambda_3 u_3 =\). Aplicamos otra vez la distributiva entre escalares y vectores para tener «factor común» \((\lambda_1 + \lambda_3) u_1 + (\lambda_1 + \lambda_2) u_2 + (\lambda_2 + \lambda_3) u_3 = 0\).
Como estos tres son linealmente independientes por el enunciado, se debe cumplir que: \((\lambda_1 + \lambda_3) = 0, (\lambda_1 + \lambda_2) = 0, (\lambda_2 + \lambda_3) = 0 \). Usando los axiomas pertinentes de los cuerpos tenemos:

\( \begin{array}{lcr} \lambda_1 + \lambda_3 & = & 0 \\ \lambda_1 + \lambda_2 & = & 0 \\ \lambda_2 + \lambda_3 & = & 0 \end{array} \rightarrow \) \( \begin{array}{lcr} \lambda_1 & = & – \lambda_3 \\ \lambda_1 & = & – \lambda_2 \\ \lambda_2 & = & – \lambda_3 \end{array} \rightarrow\)

\( \begin{array}{lcr} \lambda_1 & = & \lambda_2 \\ \lambda_1 & = & – \lambda_2 \\ \end{array} \rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 \).

3.-

Análogamente.

Si tienes alguna pregunta no dudes en comentar.