La gran importancia que da nuestra sociedad a los espacios vectoriales es un hecho que no podemos negar. Muchas veces creo que es excesiva, ya que se pueden usar otros objetos algebraicos para el mismo propósito o trabajo. Eso sí, los otros objetos no son tan fáciles de aprender y tampoco suelen estar en el temario que tuvimos que superar en la facultad. Contrario a lo que induzco pensar, en este artículo voy a seguir hablando de espacios vectoriales.
En la actualidad existen al menos cuatro cuerpos algebraicos distintos. Uno es el de los racionales, otro son los reales, los complejos y los cuerpos cíclicos de orden primo. Sobre los tres primeros cuerpos he encontrado bastantes ejemplos en internet. Por lo que no despiertan mi curiosidad. Ahora me interesa explorar los espacios vectoriales sobre cuerpos finitos que son todos cíclicos: \(\mathbb{Z}_p\).
Para tal efecto voy “vestir” los axiomas de los vectores con palabras. Esto nos permitirá ver este objeto tan deseado desde una perspectiva diferente. Por vestir quiero expresar la acción de dotar una interpretación subjetiva que permite tapar zonas feas y realzar su belleza. Al finalizar el apartado espero que descubras que se pueden usar palabras donde hay fórmulas y expresiones matemáticas. Después de vestir los axiomas veremos ejemplos de espacios vectoriales sobre cuerpos finitos y finalmente unas dudas para terminar.
Vestir a los espacios vectoriales
Al igual que nos vestimos para presentarnos ante la sociedad y ante el espejo podemos interpretar de manera subjetiva los axiomas de los espacios vectoriales. Del mismo modo tampoco resulta fácil conseguir este propósito de vestir y tal vez al final no nos guste la prenda como sucede con la ropa y puede que, aun gustándonos, prefiramos ir sin chaqueta.
En bachillerato se usa el símil de las flechas para hablar por primera vez de los espacios vectoriales y para que no nos resulte tan abstracto. Este símil coincide con los orígenes de estos espacios. Así que tomaré este para no ser demasiado rompedor. Recuerda que entre todas las flechas que podíamos dibujar en el plano (vectores libres) nos quedábamos con un conjunto solo (los vectores fijos). Estos son todas aquellas que partían de un mismo punto.
Las flechas junto con la suma que se definía formaban un grupo abeliano. Es hora de que veamos que estos espacios no son solo un objeto simple sino un objeto compuesto por dos entes del algebra: el grupo abeliano y el cuerpo. Para garantizar un buen funcionamiento, se exigen sus axiomas. Estos son: todo ente del cuerpo “elonga” (estira o contrae) a todo ente del grupo abeliano de tal manera que:
- El producto de elongaciones es la elongación de la elongación. \(\left(\alpha\beta\right)\vec{v}=\alpha\left(\beta\vec{v}\right)\)
- La elongación neutra deja invariante a las flechas. \(1\vec{v}=\vec{v}\)
- La elongación de una suma es la suma de elongaciones. \(\alpha\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}\)
- La elongación compuesta por una suma se descompone en la suma de las dos elongaciones simples. \(\left(\alpha+\beta\right)\vec{v}=\alpha\vec{v}+\beta\vec{v}\)
Como ves tenemos una forma verbal de expresar los axiomas. Espero que resulte útil, pero sobre todo que pensemos en la gente que le es más fácil cuando hay palabras de por medio.
Espacios vectoriales sobre cuerpos finitos
Como hemos dicho los espacios vectoriales están formados por un grupo abeliano y un cuerpo. Cuando el cuerpo es finito se dice que el espacio vectorial está sobre un cuerpo finito. Tal vez haya otra manera de llamar a estos espacios porque cuando busco información sobre ellos en los buscadores académicos, encuentro resultados, pero pocos.
El ejemplo más trivial es el cuerpo multiplicado por sí mismo un número natural de veces. Si tomamos \(\mathbb{Z}_p\), entonces estoy hablando de \(\mathbb{Z}_p^n\). Si, por ejemplo, \(p=3\) y \(n=1\), tenemos tres flechas. Estas las podemos representar de las siguientes maneras:
En el primer cuadro interpretamos que \(\mathbb{Z}_3 = \left\{ \overrightarrow{0},\overrightarrow{1},\overrightarrow{2} \right\}\) que es la manera habitual de entender el cuerpo de los enteros modulo 3, pero como 2 es el simétrico de 1, puedo escribir también \(\mathbb{Z}_3 = \left\{ \overrightarrow{-1},\overrightarrow{0},\overrightarrow{1} \right\}\) que es la interpretación que se da en el segundo cuadro de la imagen superior.
Si ahora le damos dimensiones con \(n\geq2\), tendremos que el orden (el cardinal) del cuerpo, divide al orden del grupo abeliano, obvio. Si con este cuerpo formamos matrices, sucederá lo mismo. Estas relaciones de cardinalidad no las he estudiado, pero parece ser que se puede extender a todos los espacios vectoriales.
Un comentario: mientras una interpretación da lugar a pensar que el vector unidad se puede estirar una vez, la otra, en cambio, nos sugiere que sólo podemos invertir el sentido de la flecha. Aquí cada uno es libre de elegir la que prefiera para su propósito o el objetivo de su trabajo, pero deberá ser coherente y consecuente en lo que deduzca de ello.
Preguntas curiosas
Una de las preguntas que me saltan al verlo de esta manera es la siguiente:
¿Qué relación hay entre la cardinalidad de un conjunto y otro?
Obviamente, esta pregunta no será fácil de responder por lo que la voy a dejar en el aire, si bien se ha expuesto la respuesta para algunos casos concretos.
Otra pregunta es la siguiente:
¿Dado un grupo abeliano existe algún cuerpo que juntos formen un espacio vectorial?
Esta cuestión no la he estudiado en la carrera, pero tal vez ya se haya respondido. Quizás para un grupo abeliano se le pueda añadir una segunda operación de forma que sea cuerpo y enlazaríamos con lo que sabemos que el producto cartesiano de cuerpos es un espacio vectorial, pero tan solo es una posibilidad hipotética.
Bibliografía
- Estructuras de algebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer. 1996. Servei de Publicacions de la Universitat de València. València, España.
- Algebra lineal y Geometría. Manuel Castellet, Irene Llerena. 2016. Editorial Reverté. Barcelona, España.
