La estructura algebraica de las matrices

La estructura algebraica del conjunto de las matrices reales define un grupo abeliano, lo que da paso a un espacio vectorial cuando añadimos el producto exterior entre las matrices y los escalares. Esto lo anuncié en el artículo Ejemplos matemáticos de espacios vectoriales, pero en esta entrada lo demostraré.

Partiré de que los números reales forman un cuerpo conmutativo. Algo que se estudia en muchos libros. Si lo deseas, puedes consultar las referencias de este blog. No obstante, al final del artículo dejaré unas recomendaciones más específicas para este propósito.

Definición de matrices

Dados dos números naturales n y m (diferentes de cero), se define una matriz, A, de n filas con m columnas de números reales, es decir,  como sigue:

\(\left(\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{matrix}\right)\)

Donde \(a_{ij}\in\mathbb{R}\), es decir, todas sus componentes son números reales. Esta definición es fácilmente extensible a otro cuerpo.

Con esto solo tenemos un conjunto de números agrupados entre paréntesis. Para dotar a este conjunto de estructura algebraica de una manera bastante natural, no nos vamos a complicar más las cosas y usaremos la suma por componentes, es decir:

\(A,B\in M_{n\times m}\left(\mathbb{R}\right)\)

\(A=\left(\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{matrix}\right),\ B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&\cdots&b_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&\cdots&b_{nm}\end{matrix}\right)\)

\(A+B=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&\cdots&a_{1m}+b_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}+b_{n1}&\cdots&a_{nm}+b_{nm}\end{matrix}\right)\)

Así de simple.

Con ello ya tenemos definido el conjunto de las matrices con una ley de composición interna \(\left(M_{n\times m}\left(\mathbb{R}\right),+\right)\), pero aún desconocemos su estructura.

La estructura algebraica de las matrices

Veamos que son un grupo abeliano y luego un espacio vectorial.

Estructura de grupo abeliano

Para ver que forman un grupo abeliano debemos demostrar que se cumplen cuatro propiedades: asociativa, elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa. Todas estas propiedades las hereda del cuerpo al que pertenecen sus componentes. Veámoslo:

Asociativa

\((A+B)+C=?=A+(B+C)\)

\(
(A+B)+C=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&\cdots&a_{1m}+b_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}+b_{n1}&\cdots&a_{nm}+b_{nm}\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}c_{11}&\cdots&c_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\c_{n1}&\cdots&c_{nm}\end{matrix}\right)=\)

\(\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}+c_{11}&\cdots&a_{1m}+b_{1m}+c_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}+b_{n1}+c_{n1}&\cdots&a_{nm}+b_{nm}+c_{nm}\end{matrix}\right)=\)

\(\left(\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_{11}+c_{11}&\cdots&b_{1m}+c_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}+c_{n1}&\cdots&b_{nm}+c_{nm}\end{matrix}\right)=A+(B+C)\)

Elemento neutro

\(\left(\begin{matrix}0&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0\end{matrix}\right)\)

Elemento simétrico

\(\left(\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}{-a}_{11}&\cdots&{-a}_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{-a}_{n1}&\cdots&{-a}_{nm}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0\end{matrix}\right)\)

Conmutativa

\(A+B=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&\cdots&a_{1m}+b_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}+b_{n1}&\cdots&a_{nm}+b_{nm}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}b_{11}+a_{11}&\cdots&b_{1m}+a_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}+a_{n1}&\cdots&b_{nm}+a_{nm}\end{matrix}\right)=B+A\)

Estructura de espacio vectorial

A continuación, veremos que es un espacio vectorial. Para tal fin, definiremos un producto exterior que cumple el elemento neutro, la “asociativa” y las “distributivas”. Si quieres tener una mayor comprensión, te invito a leer: Explicación de los axiomas de los vectores en álgebra.

Definición de producto exterior de las matrices

Sea una matriz A de dimensión n y m, i.e., n filas y m columnas. Se define el producto exterior de un escalar por una matriz como sigue:
Dado que \(M_{n\times m}\left(\mathbb{R}\right)\) es un grupo abeliano y \((\mathbb{R},\ +,\ ·)\) es un cuerpo abeliano se deduce entonces que:
\(A\in M_{n\times m}\left(\mathbb{R}\right),\ a\epsilon\mathbb{R}\)

Propiedades

Asociativa

\((a·B)·A=?=a·(b·A)\) \( (a·b)\left(\begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix} (a·b)a_{11} & \cdots & (a·b)a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (a·b)a_{n1} & \cdots & (a·b)a_{nm} \end{matrix}\right)=\) \(\left( \begin{matrix} a(b·a_{11}) & \cdots & a(b·a_{1m}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a(b·a_{n1}) & \cdots & a(b·a_{nm}) \end{matrix}\right)=\) \(a ( b \left(\begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{matrix}\right) )\)

Distributiva

\((a+b)\left( \begin{matrix}
a_{11} & \cdots & a_{1m} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nm}
\end{matrix} \right)=
\left( \begin{matrix}
(a+b)a_{11} & \cdots & (a+b)a_{1m} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
(a+b)a_{n1} & \cdots & (a+b)a_{nm}
\end{matrix} \right)=
\)

\(a\left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{matrix} \right) + b\left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{matrix} \right)\)

Distributiva

\(a \left( \left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} b_{11} & \cdots & b_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nm} \end{matrix} \right) \right)=\cdots\)

Elemento neutro

El 1. Obviamente la unidad por una matriz es la matriz.

Bibliografía

  • Castellet, M., y I. Llerena. 2020. Álgebra lineal y geometría. Reverte.
  • Liesen, Jorg, y Volker Mehrmann. 2015. Linear algebra. Springer.
  • Olivert Pellicer, Joaquín. 2014. Estructuras de álgebra multilineal. Universitat de València.
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