Las ecuaciones han tenido en la evidencia una estructura oculta a nuestro intelecto durante muchos siglos. Hoy en día es tan fácil verla que carece de valor enunciarla, pero sin estos conocimientos casi seguro que no podremos entender el presente científico.
A continuación, pondré de manifiesto dicha estructura ya conocida en la actualidad. Si ya la has estudiado, ya la has visto, pero te aportaré rigor y claridad. De ese modo pretendo complementar tus clases de matemáticas. Eso sí, requiere más paciencia y mayor grado de abstracción. Empecemos.
Definición de ecuación
En primer lugar, ya que voy a hablar de ecuaciones en sentido riguroso y formal me veo en la necesidad de definir qué es una ecuación. Esto no es necesario para ir por las calles, pero sí hace que las bibliotecas y otros lugares de culto sean más agradables. Cosa que termina viéndose en la calle porque la cultura mejora la empatía interpersonal.
Para definir qué es una ecuación, me basaré en lo aprendido en la asignatura de ecuaciones diferenciales ordinarias. No te asustes, con los conocimientos de secundaria será suficiente. Simplemente lo digo para aquellos que aspiren al grado de matemáticas o la hayan cursado.
Sabemos que una función tiene un dominio y un recorrido o codominio; que toma valores de un conjunto dentro de los reales y los deja en otro conjunto real. Así que, diré que una ecuación es una función que toma como imagen un valor real.
Para decir esto de manera formal se sigue del siguiente modo. Sea \(f:A\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\ B\subseteq\mathbb{R}, x\in\ A\) y \(c\in\mathbb{R}\) definimos como ecuación a \(f(x)=c\), es decir,
\(f:A\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\ B\subseteq\mathbb{R}\) tal que \(f(x)=c\)
En donde \(x\in\ A\) y \(c\in\mathbb{R}\). Así es en principio no se exige que \(c\in\ B\).
Dicho de otro modo y un tanto informal, una ecuación es una función forzada a tomar un valor concreto. Muchas veces, el valor de c es el 0, pero puede ser otro.
Otras definiciones
Como consecuencia se tiene que, si una función es lineal, diremos que la ecuación es lineal. Lo mismo para el caso no lineal. Si la función es de diversas variables, entonces diremos que la ecuación es de varias incógnitas. Esto es una forma de heredar las características de las funciones.
Una suma para la estructura algebraica
Para tener una estructura algebraica necesitamos tener al menos una suma de ecuaciones. Como en el caso anterior vamos a definir una por herencia. Debemos tener presente que se pueden definir más sumas de ecuaciones, pero la que vamos a ver es la que se ha estudiado desde la antigüedad.
Sean \(E1\ \equiv\ f(x)=a\) y \(E2\ \equiv\ g(x)=b\), esto es, \(E1\) representa la ecuación \(f(x)=a\) y \(E2\) representa la ecuación \(g(x)=b\). Supongamos que dichas funciones son lineales y de una incógnita, defino la suma de ecuaciones de la siguiente forma:
\(E1+E2\equiv(f+g)(x)=a+b\)
Dicho así es muy abstracto, pero fíjense en que es la suma de la parte de la izquierda tal y como se define en las funciones y la suma de los números reales de la parte derecha. Recuerda que \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Esta definición se puede extender a funciones de más de una variable, pero seguiremos en una para el resto del artículo.
La estructura
Una vez hemos visto la definición de una suma, estamos en disposición de conocer cuál es su estructura algebraica. Esto no es más que ver las propiedades que cumple la suma en dicho conjunto, el de las ecuaciones lineales, para las cuales usaré el siguiente símbolo \(\mathfrak{E}\).
Veamos que \((\mathfrak{E},\ +)\) es un grupo abeliano. Esto es, cumple la asociativa, tiene elemento neutro, todas las ecuaciones tienen una simétrica y, además, cumple la conmutativa. Como la definición proviene del concepto de función y estas son un grupo abeliano y también lo son los reales (son un cuerpo), cabe la posibilidad de que hereden dicha estructura.
En efecto, esto lo podemos ver con la asociativa. Veamos:
\(E1+(E2+E3)=(E1+E2)+E3\)
Esto es:
\(E1+(E2+E3)\equiv\ f(x)+(g+h)(x)=a+(b+c)\)
Por definición de suma de funciones y por la suma de reales, se sigue que:
\(f(x)+(g(x)+h(x))=a+b+c\)
Por la asociativa de las funciones:
\((f(x)+g(x))+h(x)=a+b+c\)
Por definición de la suma de funciones y por propiedades de los reales, tenemos:
\((f+g)(x)+h(x)=(a+b)+c\equiv(E1+E2)+E3\)
Siguiendo del mismo modo se pueden demostrar las demás propiedades. Si tienes alguna dificultad sea la que sea puedes enviarme un correo electrónico o introducir un comentario en la entrada más abajo. Eso sí, se requiere la aceptación de la política de privacidad para proteger tu información personal.
Por cierto, la ecuación neutra sería la nula, es decir, \(E0\ \equiv0=0\).
Más allá del grupo abeliano
En otra entrada decía que las funciones son un espacio vectorial por lo que no está demás preguntarse si las ecuaciones pueden formar un espacio vectorial. La respuesta en este caso depende de cómo se defina la relación entre el cuerpo, en este caso los reales,\mathbb{R}, y el conjunto de las ecuaciones definidas,\(\mathfrak{E}\).
Si usamos otro cuerpo como puede ser los racionales, tendríamos, tal vez, otros resultados. Para definir una relación entre los conjuntos antes mencionados voy a recurrir a la multiplicación.
Definición de producto exterior
Sea \(\lambda\in\mathbb{R}\) y \(E1\in\mathfrak{E}\) de manera que \(E1\equiv\ f(x)=a\), se define el producto entre ambos del siguiente modo:
\(\lambda\ E1\equiv(\lambda\ f)(x)=\lambda\ a\)
Recuerda que \((\lambda\ f)(x)=\lambda\ f(x)\).
Las ecuaciones forman un espacio vectorial
Debo concretar que son las ecuaciones lineales de una incógnita y se puede extender a más incógnitas.
Con esta definición podemos demostrar que se cumplen las propiedades necesarias para decir que las ecuaciones son un espacio vectorial en el cuerpo de los reales. Como muestra de ello probaré una de ellas. Recuerda el concepto de espacio vectorial en esta entrada del link anterior.
Veamos que \(\lambda(E1+E2)=\lambda\ E1+\lambda\ E2\).
Para ello debo recurrir a la definición de ecuación. Siguiendo con la notación anterior podemos obtener:
\(\lambda(E1+E2)\equiv\lambda(f+g)(x)=\lambda(a+b)\)
Aplicando la suma de funciones, tenemos:
\(\lambda(f(x)+g(x))=\lambda(a+b)\)
Como las funciones lineales son continúas cosa que se vio en esta entrada y como se cumple la distributiva en los reales, se sigue que:
\(\lambda\ f(x)+\lambda\ g(x)=\lambda\ a+\lambda\ b\equiv\lambda\ E1+\lambda\ E2\)
Que es a donde queríamos llegar.
Conclusión
Los espacios vectoriales son fundamentales para resolver muchas ecuaciones. Sin embargo, queda mucho por hacer en las ecuaciones no lineales. Fue Giuseppe Peano, s. XX, quien dio por primera vez una definición formal de espacio vectorial. Por ello, que digo que permaneció oculta durante siglos si bien la han tenido desde el inicio.
Pregunta
Debajo de este párrafo encontrarás una caja de búsqueda para que introduzcas tu duda. Tal vez ya la haya respondido en otra entrada y encuentres la repuesta. De lo contrario me ofreces la oportunidad de responderte en una próxima entrada. (Esto es a modo de prueba. No se registra ni la IP ni ningún dato personal) Gracias.
