Algo que nos sorprende a todos es el hecho de que las funciones reales definidas en un intervalo cerrado formen un espacio vectorial. Ello se debe a que estamos acostumbrados a identificar a los vectores con las flechas que es una manera muy sencilla de representarlos y de hecho históricamente se procedía así. No obstante, este hecho lo dejaré como ejercicio que demostraré próximamente.
Ejercicio: funciones que forman un espacio vectorial
Sea \( \mathcal{C}\) el siguiente conjunto \(\mathcal{C}=\left\{f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}/f\ continua\right\},\ a,b\in\mathbb{R}\) , sea \(+:\mathcal{C}\times\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}\) de manera que \(\left(f+g\right)(x)=f(x)+g(x)\).
Entonces: \(\left(\mathcal{C},\ +\right)\) es un \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial.
Demostración
Antes de nada, un aviso:
Esta demostración, que más bien es la solución de un ejercicio, solamente tiene mi firma. Ello significa que no está supervisada por un tercero o, mejor dicho, no está revisada a pares. Así pues, si vas a usarla en una decisión importante en tu vida o para algún otro menester de importancia, te recomiendo que otra persona la revise. Por tanto, quedo al margen de toda consecuencia negativa que implique su uso.
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En primer lugar, el enunciado del ejercicio elude una operación importante para ser un espacio vectorial. Esto sucede a menudo cuando la respuesta es sabida, aunque, para mayor claridad, diré que el producto exterior entre el conjunto de las funciones reales definidas anteriormente y los números reales el siguiente:
\(·: \mathbb{R}×\mathcal{C}→\mathcal{C}/α·f(x)=αf(x)\)
Aunque parezca que he escrito dos veces lo mismo, primero he escrito el producto de un escalar por una función y luego he escrito el producto de un real por otro real. Podría haberlo definido de forma diferente como, por ejemplo: \(·: \mathbb{R}×\mathcal{C}→\mathcal{C}/α·f(x)=f(αx)\). Ahora bien, lo que vendría sería muy diferente, en el supuesto caso de que tuviera sentido.
En segundo lugar, vamos a repasar la definición de espacio vectorial para asegurarnos que no se nos despista nada. Para ello este enlace. Ya sabemos que \(\mathbb{R}\) es un cuerpo. Faltaría demostrar que el conjunto de funciones al que nos referimos es un grupo abeliano. Luego podríamos pasar a demostrar las últimas cinco propiedades del artículo enlazado.
Grupo abeliano
Veamos que \(\left(\mathcal{C},\ +\right)\) es:
Asociativa…
La hereda de la suma de los números reales de la siguiente manera:
Sea \(x_0\) un valor fijo. Sea \(x_0\in[a,b]\) un valor fijo.
\(\left(f+\left(g+h\right)\right)(x_0)=f(x_0)+\left(g+h\right)(x_0)=f(x_0)+\left(g(x_0)+h(x_0)\right)=\)Como las funciones evaluadas en un valor fijo son un número real, podemos aplicar la asociativa.
\(\left(f(x_0)+g(x_0)\right)+h(x_0)=\left(f+g\right)(x_0)+h(x_0)=\left(\left(f+g\right)+h\right)(x_0)\)Neutro…
La función definida en \(\left[a,b\right]\) constante a 0 es la función neutra o nuestro vector nulo.
Simétrico…
Sea \(f\in\mathcal{C}\), su simétrica –desde el punto de vista de esta suma algebraica– la denotamos como \(-f\) y la identificamos con otra \(-f\ =\ g\) de manera que \(g\ +f=0\). Para que ocurra esto se debe verificar para todo valor de \(x\). Tenemos que \(\left(g\ +f\right)\left(x\right)=g\left(x\right)+f\left(x\right)=0\rightarrow\ g\left(x\right)=-f\left(x\right)\). Así que llegamos a \(\left(-f\right)\left(x\right)=-f\left(x\right)\).
Ya sabemos cuál es su simétrico, pero falta ver si pertenece al mismo conjunto definido. Para ello debemos ver que es una función definida en \(\left[a,b\right]\) y es continua. Este es un ejercicio más propio del análisis que del álgebra, pero lo veremos. Como , es decir, los valores de \(\left[a,b\right]\) en x, estas pueden tomar cualquier valor independientemente de si es nulo o negativo. También es continua porque solo cambia el signo del valor que toma la función.
Análogamente para \(f+g\).
Conmutativa…
La hereda de la suma de los reales.
Por tanto, las funciones con la suma es un grupo abeliano.
Cuerpo
Se da por visto en otros ámbitos del álgebra.
Axiomas entre el cuerpo y el grupo abeliano
Los axiomas que vienen van dirigidos a las operaciones definidas, tanto a la suma anterior como al producto de un escalar por un presunto vector, es decir, una función del grupo abeliano. Al tratar con un objeto del análisis matemático tal vez tendremos que usar los resultados de dicha disciplina.
En primer lugar, veamos que el producto está bien definido, esto es, una ley de composición externa. Para ello, debemos ver que toda función de \(\mathcal{C}\) permanece en \(\mathcal{C}\) después de multiplicarse por un escalar.
¿Es \(\left(\alpha\ f\right)\) una aplicación?
Será aplicación si cumple la siguiente condición: si \(x=y\), entonces \(\alpha\ f\left(x\right)=\alpha\ f\left(y\right)\ \forall\alpha\in\mathbb{R}\). Algo que parece obvio, pero en matemáticas se debe demostrar. Para ello nos basaremos en que \(f\) es aplicación, es decir, si \(x=y\), entonces \(f\left(x\right)=f\left(y\right)\ \).
Veamos:
\(\left(\alpha\ f\right)\left(x\right)=\alpha\ f\left(x\right)\ =\) dado que f es aplicacion\(= f(y)=αf(y)\)
¿Es \(\left[a,b\right]\) su dominio? Por definición, esta multiplicación no altera al dominio de la función.
¿Es \(\left(\alpha\ f\right)\) continua?
La definición de función continua es la siguiente:
\(\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0/\left|x-y\right|<\delta\rightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon\)Sea, \(\varepsilon>0\) debo encontrar un \(\delta>0\) que nos asegure que
\(\left|x-y\right|<\delta\rightarrow\left|\left(\alpha\ f\right)\left(x\right)-\left(\alpha\ f\right)\left(y\right)\right|<\varepsilon\).
Con lo cual, vamos a tomar \(\varepsilon\text{‘}=\frac{\varepsilon}{\left|\alpha\right|}>0\).
Como \(f\) es continua existe un delta mayor que cero que cumple:
\(\left|x-y\right|<\delta\rightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon\text{‘}=\frac{\varepsilon}{\left|\alpha\right|}\rightarrow\)
\(\left|\alpha\right|\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon\text{‘}\rightarrow\left|\alpha\ f\left(x\right)-\alpha\ f\left(y\right)\right|<\varepsilon\)
Que es lo mismo que: \(\left|x-y\right|<\delta\rightarrow\left|\left(\alpha\ f\right)\left(x\right)-\left(\alpha\ f\right)\left(y\right)\right|<\varepsilon\).
Así pues, es continua.
A continuación, veremos que el producto es una aplicación.
\(\begin{matrix}·:&\mathbb{R}×\mathcal{C}&→&\mathcal{C}\\{}&α,f&↦&αfx\end{matrix}\)
Para ello debe cumplir dos requisitos: \(\alpha=\beta\rightarrow\alpha\ f=\beta\ f\) y si \(f=g\rightarrow\alpha\ f=\alpha\ g\). Pero lo dejaré a petición del lector, es decir, si el lector lo pide, lo publicaré.
Con todo ello, llegamos a que el producto definido es una ley de composición externa (LCE).
En segundo lugar, veremos las demás condiciones para que sea un espacio vectorial.
1.- \(\alpha\left(f+g\right)=\alpha\ f+\alpha\ g
\alpha\left(f+g\right)=\alpha\left(f+g\right)\left(x\right)=\alpha\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\)
Tenemos la distributiva en los reales
\(=\alpha\ f\left(x\right)+\alpha\ g\left(x\right)=\alpha\ f+\alpha\ g\)2.- \(\left(\alpha+\beta\right)f=\alpha\ f+\beta\ f\left(\alpha+\beta\right)f=\left(\alpha+\beta\right)f\left(x\right)\)
Dado que \(f\left(x\right)\) es un real y aplicando la distributiva de los reales tenemos:
\(\alpha f\left(x\right)+\beta f\left(x\right)=\alpha f+\beta f\)3.- \(α·βf=α·βf\)
Otro camino más riguroso sería el siguiente:
\((\alpha·β)f=α·(βf)↔∀x∈[a,b],(α·β)f(x)=(α·β)f(x)↔\)Como \(\mathbb{R}\) es un cuerpo, se cumple.
\(\forall\ x\in\left[a,b\right],\alpha\beta f\left(x\right)=\alpha\beta f\left(x\right)\)Lo cual es cierto en \(\mathbb{R}\).
4.- \(1·f=f\)
\(1·f=f↔∀x∈a,b,1·f(x)=f(x)↔∀x∈a,b,1·f(x)=f(x)\)Observación
Este es un ejercicio fronterizo entre el álgebra y el análisis, ya que debemos tomar resultados que proceden de ambas especialidades. Este tipo de ejercicios me gustan porque evitan el aislamiento disciplinario dentro de una misma ciencia. Además, en este caso, son resultados básicos por lo que no requiere la cooperación de dos especialistas.
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