Las funciones continuas forman un espacio vectorial

Algo que nos sorprende a todos es el hecho de que las funciones reales definidas en un intervalo cerrado formen un espacio vectorial. Ello se debe a que estamos acostumbrados a identificar a los vectores con las flechas que es una manera muy sencilla de representarlos y de hecho históricamente se procedía así. No obstante, este hecho lo dejaré como ejercicio que demostraré próximamente.

Ejercicio: funciones que forman un espacio vectorial

Sea \( \mathcal{C}\) el siguiente conjunto \(\mathcal{C}=\left\{f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}/f\ continua\right\},\ a,b\in\mathbb{R}\) , sea \(+:\mathcal{C}\times\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}\) de manera que \(\left(f+g\right)(x)=f(x)+g(x)\).

Entonces: \(\left(\mathcal{C},\ +\right)\) es un \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial.

Demostración

Antes de nada, un aviso:

Esta demostración, que más bien es la solución de un ejercicio, solamente tiene mi firma. Ello significa que no está supervisada por un tercero o, mejor dicho, no está revisada a pares. Así pues, si vas a usarla en una decisión importante en tu vida o para algún otro menester de importancia, te recomiendo que otra persona la revise. Por tanto, quedo al margen de toda consecuencia negativa que implique su uso.

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Encantados de verte.

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