Los polinomios como espacio vectorial

Todo polinomio es la suma de varios monomios. Un monomio viene formado por una letra o variable multiplicado por un número generalmente real. En esta entrada veremos una demostración de que los polinomios forman un espacio vectorial para la suma y el producto por un real convencionales.

Sea \(\mathbb{R}_n[x]={p(x)\ =\ a_0+\ a_1x+\ a_2x^2+⋯+a_nx^n/a_0,…,a_n\in\mathbb{R}}\), es decir, el conjunto de polinomios de grado finito y natural, n. En adelante tomaremos a con el valor 3. Lo dicho servirá para un n natural cualquiera con tan solo adaptar la notación de las expresiones matemáticas.

Definición de suma de polinomios

Definimos en \(\mathbb{R}_3[x]\) una suma en base a sumar manzanas con manzanas como sigue:

Dados \(p(x)\ =\ a_0+\ a_1x+\ a_2x^2+\ a_3x^3,\) y

\(q(x)=\ b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3,\).

\((p+q)(x)={a_0+b}_0+({a_0+b}_0)x+({a_0+b}_0)x^2+({a_0+b}_0)x^3\).

Definición de producto de un real por un polinomio

Definimos en \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}_3[x]\) el producto como sigue: dado \(\alpha\in\mathbb{R}\) y dado \(p(x)\in\mathbb{R}_3[x]\) el producto entre ellos es denotado como \(\alpha p(x)=\alpha a_0+\alpha a_1x+\alpha a_2x^2+\alpha a_3x^3\).

Verificación de los axiomas de espacio vectorial

En primer lugar, veamos que los polinomios junto con su suma tienen una estructura algebraica de grupo abeliano.

Grupo abeliano

Para que sea un grupo abeliano debe cumplir la asociativa, disponer elemento neutro, disponer de simétrico para todo elemento distinto del neutro y conmutativo. Vayamos para allá.

Sean \(p(x)\ =\ a_0+\ a_1x+\ a_2x^2+\ a_3x^3\), \(q(x)=\ b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3\), \(r(x)=\ c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3\), tres polinomios de \(\mathbb{R}_3[x]\).

Asociativa

Queremos demostrar que se cumple la asociativa de polinomios con su suma convencional, la que hemos definido. Recuerda que los números son asociativos es decir que cumplen que (a+b)+c=a+(b+c). Para los polinomios debemos tener lo mismo. Empecemos.

\(\left(p\left(x\right)+q\left(x\right)\right)+r\left(x\right)=\left({(a}_0+\ a_1x+\ a_2x^2+\ a_3x^3)+(b_0+\ b_1x+\ b_2x^2+\ b_3x^3)\right)+c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3\)

Tan solo he sustituido los polinomios por sus expresiones genéricas. A continuación, aplico la definición de suma de polinomios para obtener:

\(=\left(a_0+b_0+\ (a_1+b_1)x+\ (a_2+b_2)x^2+\ (a_3+b_3)x^3\right)+c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3=\)

Vuelvo a aplicar la suma de polinomios y obtengo:

\(=(a_0+b_0)+c_0+\ ((a_1+b_1)+c_1)x+\ ((a_2+b_2)+c_2)x^2+\ ((a_3+b_3)+c_3)x^3=\)

Los valores a, b y c con sus subíndices correspondientes son valores reales. Como en los números reales se cumple la asociativa porque forman un cuerpo puedo realizar el siguiente paso:

\(=a_0+{(b}_0+c_0)+\ (a_1+(b_1+c_1))x+\ (a_2+(b_2+c_2))x^2+\ (a_3+(b_3+c_3))x^3=\)

Ahora aplico la definición de suma, pero en sentido contrario a los pasos iniciales.

\(=a_0+{(b}_0+c_0)+\ a_1x+(b_1+c_1)x+\ a_2x^2+(b_2+c_2)x^2+\ a_3x^3+(b_3+c_3)x^3=\) \(=a_0+\ a_1x+\ a_2x^2+\ a_3x^3+\left({(b}_0+c_0)+(b_1+c_1)x+(b_2+c_2)x^2+(b_3+c_3)x^3\right)=\)

Otra vez aplico la definición de suma como en el anterior paso.

\(=a_0+\ a_1x+\ a_2x^2+\ a_3x^3+\left(b_0+c_0+b_1x+c_1x+b_2x+c_2x^2+b_3x+c_3x^3\right)=\) \(=a_0+\ a_1x+\ a_2x^2+\ a_3x^3+\left(b_0+{b_1x+b_2x+b_3x+c}_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3\right)=\)

Para finalizar sustituimos las expresiones genéricas…

\(=p(x)+\left(q(x)+r(x)\right)\)

Por tanto, hemos llegado a la conclusión de que:

\(\left(p(x)\ +q(x)\right)+r(x)=p(x)+\left(q(x)+r(x)\right)\)

Que no es más que la definición de asociativa aplicada a los polinomios.

Elemento neutro

El elemento neutro de los reales y la suma convencional es el 0. Así tenemos que \(a+0=a=0+a\) . Así pues, para nuestro caso queremos demostrar que existe un polinomio \(p(x)\in\mathbb{R}_3[x]\) que sumado a cualquier otro no lo altera. Este será el polinomio neutro.

Sea \(p(x)=0\), es decir, \(p(x)=\ 0+0x+0x^2+0x^3\). Se puede ver fácilmente que es el neutro.

Sea \(q(x)=\ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\), \(p(x)+q(x)=0+0x+0x^2+0x^3+a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\).

Elemento simétrico

Una vez tenemos el elemento neutro podemos plantearnos si todos tienen su respectivo elemento simétrico. Esto dicho con expresiones más rigurosas es:

\(p(x)\in\ \mathbb{R}_3[x],¿∃q(x)\in\mathbb{R}_3[x]/p(x)+q(x)=0?\)

Dado \(p(x)=\ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\), sea \(q(x)=\ (-a_0)+(-a_1)x+(-a_2)x^2+(-a_3)x^3\). Obviamente al sumar estos dos polinomios llegaremos al polinomio neutro, el 0.

Así tenemos que todo polinomio dispone de un simétrico.

Conmutativa

Para terminar de ver que el conjunto de los polinomios junto con la suma definida más arriba son un grupo abeliano nos falta ver que cumple la conmutativa. Esta es aquella que dice que el orden de los fatores (o de los sumandos) no altera el resultado.
En nuestro caso esto equivale a demostrar que:

\(p(x)+q(x)=q(x)+p(x)\)

Sean \(p(x),q(x)\in\mathbb{R}_3[x]/p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,q(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3\), entonces

\(p(x)+q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+(a_3+b_3)x^3=\)

Como en los reales se cumple la conmutativa y los \(a_i,b_j\) son reales, podemos conmutar los coeficientes.

\(=(b_0+a_0)+(b_1+a_1)x+(b_2+a_2)x^2+(b_3+a_3)x^3=\ \ b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3=q(x)+p(x)\)

Como queríamos demostrar.

Así que estamos en condiciones de poder afirmar con voz alta y firmemente que:

\(\left( \mathbb{R}_3[x],+\right)\) es un grupo abeliano

Axiomas de espacio vectorial restantes

Para terminar de ver que es un espacio vectorial debemos demostrar que cumple unos axiomas más. Esta vez para el producto exterior, es decir, el producto entre un real y un polinomio. Si finalmente vemos que es un espacio vectorial, los reales serán llamados como escalares para distinguirlos de los polinomios que será nuestros vectores.

Producto exterior

Aquí trataremos de ver que efectivamente es un producto exterior. Para ello necesitamos ver lo siguiente.
El resultado de un real por un polinomio es un polinomio:

\(·: \mathbb{R}×\mathbb{R}_3[x]→\mathbb{R}_3[x]/(α,p(x))=αp(x)\in\mathbb{R}_3[x]\)
\(\alpha p(x)=\alpha(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=p(x)=\alpha a_0+\alpha a_1x+\alpha a_2x^2+{\alpha a}_3x^3\)

Como los \(\alpha a_i\in\mathbb{R}{\rightarrow\alpha p(x)\in\mathbb{R}}_3[x]\).

El producto exterior es una aplicación.

Sean \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) y \(p(x),q(x)\in\mathbb{R}_3[x]/p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,q(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3\). Entonces ¿se cumple que si \(\alpha=\beta,p(x)=q(x)\rightarrow\alpha p(x)=\beta q(x)\)?

Sabemos que si \(p(x)=q(x)\leftrightarrow a_i=b_i\leftrightarrow\alpha a_i={\alpha b}_i\leftrightarrow\alpha a_i=\beta b_i\leftrightarrow\alpha p(x)=\beta q(x)\). Con lo cual es aplicación.

Escalar neutro

En este caso nuestro neutro es respecto al producto por lo que debemos pensar en el 1 de los reales. Allí el 1·a=a=a·1. Es decir, el uno no altera a ningún elemento si se multiplican. Así que ¿existirá un escalar que no altere a los polinomios si se multiplican? Sí, este es el 1.

\(1\in\mathbb{R}\) entonces \(1·p(x)=p(x)=p(x)·1\); porque los coeficientes son reales.

Asociativa respecto al producto exterior

La asociativa como hemos visto anteriormente, permite agrupar en diferentes parejas tres o más elementos. Aquí, vamos a ver algo similar y por ello mantengo el nombre de asociativa si bien es más orientativo.

\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}, p(x)\in\mathbb{R}_3[x]\) entonces ¿se cumple que \((\alpha\beta)p(x)=\alpha(\beta p(x))\in\mathbb{R}_3[x]\)? Veamos cómo llegar a afirmar con rotundidad lo anterior.

\((\alpha\beta)p(x)=(\alpha\beta)(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=(αβ)a_0+(αβ)a_1x+(αβ)a_2x^2+(αβ)a_3x^3=\)
Como en \(\mathbb{R}\) se cumple la asociativa respecto al producto y se trata de reales (otro cuerpo, no sé qué pasaría), entonces tenemos

\(\alpha\left(\beta\right)a_0+\alpha\left(\beta\right)a_1x+\alpha\left(\beta\right)a_2x^2+\alpha\left(\beta\right)a_3x^3=\alpha\left(\beta p\left(x\right)\right)\)

Distributiva del producto exterior respecto la suma de polinomios

Esta es una distributiva orientativa. Debemos ver que cumple esta condición:
\(\alpha(p(x)+q(x))=\alpha p(x)+\alpha q(x)\)

Sean \(p(x),q(x)\in\mathbb{R}_3[x]/p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,q(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3, \alpha\in\mathbb{R}\), Entonces, tenemos que:

\(\alpha\left(p\left(x\right)+q\left(x\right)\right)=\alpha\left(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3\right)=\)

Aplicando la definición de suma de polinomios,

\(\alpha((a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+(a_3+b_3)x^3)=\)

Aplicando la definición de producto exterior de un real por un polinomio,

\(=\alpha(a_0+b_0)+\alpha(a_1+b_1)x+\alpha(a_2+b_2)x^2+\alpha(a_3+b_3)x^3=\)

Aplicando la distributiva en los reales,

\(=\alpha a_0+\alpha b_0+(\alpha a_1+\alpha b_1)x+(\alpha a_2+\alpha b_2)x^2+(\alpha a_3+{\alpha b}_3)x^3=\)

Aplicando la definición de suma entre polinomios,

\(=\alpha\ a_0 +\alpha a_1x+\alpha a_2x^2+\alpha a_3x^3+\alpha b_0+\alpha b_1x+\alpha b_2x^2+\alpha b_3x^3=\)

Aplicando la definición de producto exterior de un real por un polinomio,

\(=\alpha p\left(x\right)+\alpha q\left(x\right)\)

En conclusión,

\(\alpha(p(x)+q(x))=\alpha p(x)+\alpha q(x)\)

Distributiva de la suma de reales respecto el producto exterior

Esta es otra distributiva orientativa. Debemos ver que cumple la siguiente condición.

\((\alpha+\beta)p(x)=\alpha p(x)+\beta p(x)\)

Vamos a partir de,

\(\left(\alpha+\beta\right)p\left(x\right)=\left(\alpha+\beta\right)\left(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\right)=\)

Como la suma de reales es un real podemos aplicar la definición de producto exterior,

\(=\left(\alpha+\beta\right)a_0+\left(\alpha+\beta\right)a_1x+\left(\alpha+\beta\right)a_2x^2+\left(\alpha+\beta\right)a_3x^3=\)

Como los reales son un cuerpo, puedo aplicar la distributiva.

\(=(\alpha a_0+\beta a_0)+(\alpha a_1+\beta a_1)x+(\alpha a_2+\beta a_2)x^2+(\alpha a_3+\beta a_3)x^3=\)

Aplicando la definición de suma de polinomios,

\(=\alpha a_0+\alpha a_1x+\alpha a_2x^2+\alpha a_3x^3+\beta a_0+\beta a_1x+\beta a_2x^2+\beta a_3x^3=\) \(=\alpha p(x)+\beta p(x)\)

Que es donde queríamos llegar.