Admiro el valor que muchos estudiantes manifiestan al ponerse en contacto conmigo para resolver algunas de sus dudas. Muestran un interés por las matemáticas más allá de lo académico y la expectativa laboral. Esto es pasión por las matemáticas y no hay que ocultarla. Reconozco que muchos ven las matemáticas y huyen, pero también es cierto que esto pasa en todos los campos. Por ejemplo, el romanticismo es algo bonito en una relación de pareja, pero hay cierta gente que la tacha de cursi.
En esta entrada pretendo resolver una duda que tiene miga. En principio los números complejos forman un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\), por lo que puedo concluir que son vectores. Sin embargo, los complejos son un cuerpo en álgebra y ello nos lleva a concluir que son escalares. También tenemos que todos los cuerpos son espacios vectoriales de dimensión uno, pero nos han dicho que los números complejos es de dimensión 2. Así que, se nos vuelve a confundir el concepto de vector con el de escalar.
Esta es una situación que requiere que le prestes cierta atención. Si en esta entrada no consigo resolver este galimatías, no hay que preocuparse mucho. Anota la duda en tus apuntes y, quizás, más adelante la resuelvas por ti mismo. Al igual que al caminar, en matemáticas se avanza poco a poco y se llega.
Como he dicho, lo que hay es un galimatías no un error. Así que, como primer paso, se trata de abrir la mente, de entender los conceptos y de repasar la teoría cuando sea necesario. En el caso de que fuese un error también se tiene que hacer ese paso pues puede que estemos confundidos y, en caso afirmativo, nos ayudará a mostrar a nuestros compañeros el error.
Empecemos.
En primer lugar, las palabras tienen varias acepciones, lo que significa que se les asigna varios conceptos, pero no solo eso, cuando cambiamos de especialidad los mismos conceptos designados por las mismas palabras cambian sutilmente y a veces tanto que no tienen nada en común. Por ejemplo, el concepto de dimensión tiene acepciones diferentes –digámoslo así– intuitiva, coloquial, geométrica, algebraicamente entre otras. Es cierto que en los espacios afines euclídeos coinciden la acepción (o la concepción, si lo prefieres) geométrica y algebraica. Sin embargo, cuando salimos de los espacios afines son dos conceptos diferentes.
Ejercicio: ¿Cuál es la dimensión de \(\mathbb{R}\) como un espacio vectorial sobre el cuerpo de los racionales \(\mathbb{Q}\)?
Espero que esto nos lleve a ver que el hecho de la dimensión sea 1 o 2, no es suficiente para decir que es un vector o escalar.
En segundo lugar, recomiendo ante este tipo de situación recurrir a la definición. Aquí no se trata de entender o captar el verdadero significado de escalar y de vector. Las matemáticas son una ciencia formal más cerca del arte que de las ciencias experimentales. Al menos así lo veo. Por lo que ante una teoría matemática debemos tener la misma actitud, enfoque o predisposición que ante una obra de arte. La cuestión es qué quiere expresar el autor y la respuesta está en la definición. Eso es lo que dice y en eso nos tenemos que basar.
En tercer lugar, no queramos ir más allá de la definición. Aprende lo que dice y aplícala. Todo es mejorable, pero aprendamos primero lo que el autor ha escrito. Normalmente, se usan palabras coloquiales para conceptos matemáticos que no tienen nada que ver. Un grupo de gente, que viene a ser un conjunto, no es lo mismo que un grupo algebraico. Muchas veces las conexiones entre el significado coloquial de la palabra y el significado matemático son tan lejanas que no hay que ir más allá.
En cuarto lugar, repasemos el concepto de espacio vectorial en álgebra. Estos son entes algebraicos formados por un conjunto abeliano y un cuerpo conmutativo junto con una ley de composición externa que cumple los requisitos llamados axiomas de espacios vectoriales. Más aquí.
Un ejemplo sencillo es \((\mathbb{R}^2,+)\) junto con \(((\mathbb{C},+),(\mathbb{R},+,·),·)\) y el mismo producto entre reales. Por lo que se puede decir que \((\mathbb{R}, +, ·)\). Fijémonos que hay en realidad cuatro operaciones binarias definidas, a pesar de que podamos pensar que son solo dos. Esto nos dice que en otro espacio vectorial podría ser diferente. Aquí las sumas coinciden y las mutilaciones también.
Saltemos a los complejos, el espacio vectorial sería \(((\mathbb{C},+),(\mathbb{R},+,·),·)\) que junto con y el producto ordinario forma un espacio vectorial de dos dimensiones. Pero ¿qué pasa con \(((\mathbb{C},+),(\mathbb{R},+,·),·)\)? Es otro espacio vectorial donde encontrarás que su dimensión es uno. En el primer espacio vectorial de este párrafo que es como nos dan a conocer el concepto de los números complejos la dimensión de este es dos. Aquí los números complejos son los vectores y los reales los escalares. Mientras que en el segundo de este párrafo los complejos son vectores y escalares.
Por tanto, no se trata de debatir que es un escalar y qué es un vector, sino de distinguir los elementos del grupo abeliano de los elementos del cuerpo. A unos se les llama vectores (el grupo) y a otros escalares (el cuerpo). Simplemente se tiene que asignar unas palabras en cada caso para referirnos a cada elemento de cada conjunto.
Conclusiones
Hemos visto la diferencia entre conceptos de una misma palabra ya no como acepciones sino como concepciones diferentes. Así dependiendo del contexto en el que estemos tendremos una concepción u otra. También hemos visto que para hablar hemos de elegir unos términos que, si bien muchas veces confunden, solo es una elección para diferenciar conceptos.
Espero que hayamos visto que recurrir a la definición nos ayuda a entender lo que el autor quiere expresar y que no hay que ir más allá, por mucho que veamos algo detrás. No se trata tampoco de menospreciar eso que vemos solo de darle la justa atención.
Espero también que se haya dado un paso más de la concepción geométrica de los números complejos y veamos que no coincide con la concepción algebraica de estos números. Si bien en cursos anteriores nos mostraron primero la geométrica es solo un recurso didáctico que no debemos confundir con su significado intrínseco.
La siguiente pregunta, tal vez, ayude finalmente a abrir los horizontes de nuestra visión vectorial en los complejos ¿Cómo se puede construir un espacio afín geométrico con el espacio vectorial \(((\mathbb{C},+),(\mathbb{C},+,·),·)\) de dimensión uno? ¿En qué se diferencia del plano complejo \(((\mathbb{C},+),(\mathbb{R},+,·),·)\)?
