Sistema generador de vectores

Una vez hemos visto la dependencia lineal de vectores es conveniente conocer el concepto de sistema generador de vectores. Para ello necesitaremos estar familiarizados con los axiomas de espacio vectorial y la definición de combinación lineal de vectores.

Definición de sistema generador

Decimos que un conjunto de vectores es un sistema generador de vectores cuando para todo vector del espacio vectorial se puede expresar como combinación lineal del conjunto inicial. Dicho de un modo más formal, es:

Sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, el conjunto \({ v 1 , v 2 , … , v n }\) se dice sistema generador de vectores si:

\(\forall v\in V\exists\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\in K/\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}=v\)

Aplicación

Esta definición junto con las anteriores nos serán útiles para desarrollar la teoría de los espacios vectoriales. Por ello que son imprescindibles. Para ver su aplicación sin apenas haber visto nada solo se me ocurre recordar cuál es la utilidad de la suma, en los naturales y la utilidad de los números primos.

La suma es muy útil en los números naturales porque nos permite obtener cualquier otro número a partir de unas cantidades más pequeñas. Ello hace posible que podamos llegar a 200 l. con 1 l. Este ejemplo es tan básico que parece carecer de importancia, pero sucede lo contrario.

Con la ayuda de esta definición llegaremos al concepto de base, el cual nos permitirá conseguir algo parecido a lo anterior: a partir de unos pocos y pequeños vectores, obtener el resto del espacio vectorial. En el próximo post expondré el concepto de base.

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