Antes de definir un subespacio vectorial, recordemos que en publicaciones anteriores vimos la definición axiomática y explicada de los espacios vectoriales, seguimos con algunos ejemplos muy usados en matemáticas y también vimos aplicaciones reales de los espacios vectoriales. Pero, una vez llegados aquí uno puede preguntarse ¿y ahora qué? El siguiente paso para seguir elaborando esta teoría necesitamos responder a preguntas.
En álgebra la pregunta inmediata después de definir el objeto de estudio –con o sin haber visto que tiene aplicaciones– suele ser ¿en ese nuevo objeto existen más como él mismo? Es decir, si estamos en un espacio vectorial, la pregunta sería: ¿existen subconjuntos que también verifiquen los axiomas de espacio vectorial? Si hay alguno lo llamaremos subespacio vectorial. Acabamos de leer la idea intuitiva, veamos la definición formal seguidamente.
Definición formal de subespacio vectorial
Sea V un K-espacio vectorial, donde K es un cuerpo. Sea V’ un subconjunto de V. Diremos que V’ es un subespacio vectorial si verifica todos los axiomas de espacio vectorial teniendo a K como cuerpo. No obstante, como es un subconjunto de V sabemos mucho ya de antemano, con lo cual nos bastará que cumpla lo siguiente:
- \(u+v\in V’,\forall u,v\in V’\).
- \(\alpha v\in V’\), donde \(\alpha\in K,v\in V’\).
En palabras más sencillas se dice para la primera condición que sea cerrado para la suma y para la segunda, que sea cerrado para el producto exterior entre los vectores y los escalares. Es buen ejercicio ver que los demás axiomas ya se cumplen con tener estas dos propiedades y con saber que es un subconjunto de un espacio vectorial.
Otra pregunta inmediata
Una vez hemos respondido a esta pregunta, puede que nos venga a la mente la siguiente: ¿y puede este espacio vectorial formar parte de un espacio vectorial más grande? Es decir, hemos encontrado los V’ que están en V, pero ¿y los W que contienen a V? Esta es una pregunta muy interesante, a la que hace falta hacer un uso creativo de las matemáticas. A este proceso se le llama abstracción porque pasamos de un conjunto pequeño a uno más grande o, mejor dicho, porque pasamos de algo concreto a algo más genérico.
Por desgracia, la creatividad no se fomenta mucho en las Universidades; si bien el mundo laboral y la sociedad en sí premian sus resultados. Por esta vez, puedo ayudarte diciéndote que puedes usar el producto cartesiano. Así, si V es un espacio vectorial sobre K, seguramente \(V\times V\) también lo sea y de alguna manera tenemos a \(V\) dentro de otro conjunto más grande.
