La asociativa

Normalmente, cuando se define una operación entre números se expresa para un par de ellos. Se puede decir, entonces, de manera informal y bastante fidedigna que la asociativa nos permite emparejar según nos interese en ese momento. Ello nos facilitará la labor de operar con los números.

Asociativa: la manera de emparejar no afecta al resultado.

Definición

Sea una ley de composición interna, +, en un conjunto C; puedes pensarlo para cualquier operación entre dos números de C (sean naturales, enteros, reales, o cualquier otro conjunto). Sean a, b y c tres elementos de C. Entonces, decimos que (C, +) cumple la asociativa si:

Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

Se puede demostrar haciendo un cambio de variables que si se cumple lo anterior también se cumple que: (a + b) + c = (a + c) + b.

Nota: Fíjate que me refiero a (C, +). No basta con decir que la asociativa es una propiedad de los números o de la ley de composición interna (la operación). Se necesitan los dos. Aunque muchas veces nos entandamos, debemos tener claro que es solo una manera de abreviar el habla coloquial.

Ejemplos

1.- La media aritmética como suma en los reales

La media aritmética no cumple la asociativa.

Defino una nueva suma entre a y b reales: a + b = 1/2 · (a + b)

Veamos que no cumple la asociativa, para ello con un caso para el cual no sea cierto es suficiente.

(2 + 3) + 5 = 2,5 + 5 = 7,5

2 + (3 + 5) = 2 + 4 = 6

Así tenemos que los reales con esta nueva suma NO cumplen la asociativa.

2.- La suma natural NO es asociativa en los reales sin el cero

Sea la suma convencional en los reales. Si quitamos el cero, ya no podemos decir que cumplen la asociativa. Para ello basta en mostrar un caso como antes. De hecho, la suma deja de ser una ley porque 1, -1 son reales distintos de 0, pero su suma es el cero y no pertenece a este conjunto.

Semigrupos y magmas

Cuando un conjunto con una suma o producto (ley de composición interna) cumplen la asociativa tenemos que es un semigrupo. Ejemplo de ello tenemos los naturales con la suma convencional.

En caso contrario, cuando no cumplen la asociativa, aun podemos decir que es un magma. Por ello que todo semigrupo es un magma, pero no todo magma es un semigrupo.

Así que, si tenemos un conjunto con una ley de composición interna o una operación binaria que cumple la clausura es un magma. Si además cumple la asociativa es un semigrupo, si además cumple otras propiedades irá tomando otros nombres (grupo, grupo abeliano, anillo, cuerpo, etc.)

Referencias

  • Olivert Pellicer, Joaquín. (2014). Estructuras de álgebra multilineal. Universitat de València.
  • Wolfram Mathworld: 1, 2. Última visita octubre de 2022.

Créditos

  • Imagen de cabecera de Andrew Martin en Pixabay
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